grupo totalmente desligado - Totally disconnected group

Em matemática , um grupo totalmente desligado é um grupo topológica que é totalmente desligada . Tais grupos topológicos são necessariamente Hausdorff .

Centros de juro sobre localmente compactos grupos totalmente desconectadas (variadamente referidos como grupos de TD do tipo , localmente grupos profinitos , grupos td ). O compacto caso tem sido fortemente estudou - estes são os grupos profinitos - mas por um longo tempo não se sabia muito sobre o caso geral. Um teorema de van Dantzig de 1930, afirmando que cada tal grupo contém um compacto aberto subgrupo , era tudo o que era conhecido. Em seguida, um trabalho inovador sobre o assunto foi feito em 1994, quando George Willis mostrou que cada grupo totalmente desconectado localmente compacto contém um chamado arrumado subgrupo e uma função especial em seus automorfismos, a função de escala , avançando, assim, o conhecimento da estrutura local. Avanços na estrutura mundial de grupos totalmente desconectados foram obtidos em 2011 por Caprace e Monod , com nomeadamente a classificação dos grupos caracteristicamente simples e de grupos noetherianos.

caso localmente compacto

Em um grupo localmente compacto, totalmente desconectado, cada bairro da identidade contém um subgrupo aberto compacto. Por outro lado, se um grupo é tal que a identidade tem uma base bairro constituído por subgrupos abertos compactos, então é localmente compacto e totalmente desconectado.

subgrupos Tidy

Deixe L ser um grupo localmente compacto, totalmente desligado, L um subgrupo aberto compacta de L e um automorphism contínua de L . ${\ Displaystyle \ alfa}$

Definir:

${\ Displaystyle U _ {+} = \ bigcap _ {n \ GEQ 0} \ ^ {alfa} n (L)}$

${\ Displaystyle U _ {-} = \ bigcap _ {n \ GEQ 0} \ alfa ^ {-} n (L)}$

${\ Displaystyle U _ {} ++ = \ bigcup _ {n \ GEQ 0} \ ^ {alfa} n (U _ {+})}$

${\ Displaystyle U _ {-} = \ bigcup _ {n \ GEQ 0} \ alfa ^ {-} n (U _ {-})}$

U é dito ser arrumado para se e somente se e e estão fechados. ${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle U = U _ {+} U _ {-} = U _ {-} U _ {+}}$${\ Displaystyle U _ {++}}$${\ Displaystyle U _ {-}}$

A função de escala

O índice de em é mostrado para ser finito e independente do U , que é arrumado em . Definir a função de escala como este índice. Restrição de automorfismos internos dá uma função no G com propriedades interessantes. Estes são, em particular: Definir a função em G por , onde é o automorphism interior de em L . ${\ Displaystyle \ alfa (U _ {+})}$${\ Displaystyle U _ {+}}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle s (\ alfa)}$
${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle s (x): = s (\ _ alfa {x})}$${\ Displaystyle \ alpha _ {x}}$${\ Displaystyle x}$

propriedades

• ${\ Displaystyle s}$ é contínua.
• ${\ Displaystyle s (x) = 1}$, Quando x em L é um elemento compacto.
• ${\ DisplayStyle s (x ^ {n}) = s (x) ^ {n}}$para cada número inteiro não negativo .${\ N} displaystyle$
• A função modular em G é dada por .${\ DisplayStyle \ Delta (x) = S (X) s (X ^ {- 1}) ^ {- 1}}$

Cálculos e aplicações

A função de escala foi usada para provar uma conjectura por Hofmann e Mukherja e foi explicitamente calculada para p-adic grupos de Lie e grupos lineares sobre os campos de enviesamento locais por Helge Glöckner.

Notas

Referências

• van Dantzig, David (1936), "Zur topologischen álgebra III Brouwersche und Cantorsche Gruppen.." , Compositio Mathematica , 3 : 408-426
• Borel, Armand ; Wallach, Nolan (2000), cohomology contínua, subgrupos discretos, e representações de grupos redutoras , pesquisas matemáticas e monografias, 67 , Providence, Rhode Island (Segunda ed.): American Mathematical Society , ISBN  978-0-8218-0851-1 , MR  1721403
• Bushnell, Colin J .; Henniart, Guy (2006), A conjectura Langlands local para GL (2) , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Princípios Fundamentais de Ciências Matemáticas], 335 , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , doi : 10,1007 / 3-540-31511- X , ISBN  978-3-540-31486-8 , MR  2234120
• Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), "Decompondo localmente grupos compactos em pedaços simples", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 150 : 97-128, arXiv : 0.811,4101 , bibcode : 2011MPCPS.150 ... 97C , doi : 10,1017 / S0305004110000368 , MR  2739075
• Cartier, Pierre (1979), "Representações de grupos -adic: uma pesquisa", no Borel, Armand ; Casselman, William , formas automórficas, Representações e L-Funções (PDF) , Anais do Simpósio em Matemática Pura, 33, Parte 1, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society ., Pp 111-155, ISBN 978-0-8218 -1.435-2 , MR 0.546.593${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$   
• GA Willis - A estrutura de grupos totalmente desligadas, localmente compactos , Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)