Sistema invariante no tempo - Time-invariant system

Diagrama de blocos ilustrando a invariância de tempo para um sistema SISO de tempo contínuo determinístico. O sistema é invariável no tempo se e somente se para todo o tempo , para todas as constantes reais e para todas as entradas . Clique na imagem para expandi-la.${\ displaystyle y_ {2} (t) = y_ {1} (t-t_ {0})}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle x_ {1} (t)}$

Um invariante no tempo (TIV) sistema tem um tempo-dependente a função do sistema que não é uma função directa do tempo. Esses sistemas são considerados uma classe de sistemas no campo da análise de sistemas . A função do sistema dependente do tempo é uma função da função de entrada dependente do tempo . Se essa função depende apenas indiretamente do domínio do tempo (por meio da função de entrada, por exemplo), então esse é um sistema que seria considerado invariante no tempo. Por outro lado, qualquer dependência direta no domínio do tempo da função do sistema pode ser considerada como um "sistema variável no tempo".

Matematicamente falando, a "invariância no tempo" de um sistema é a seguinte propriedade:

Dado um sistema com uma função de saída dependente do tempo e uma função de entrada dependente do tempo, o sistema será considerado invariante no tempo se um atraso na entrada for diretamente igual a um atraso na função de saída . Por exemplo, se o tempo é "tempo decorrido", então "invariância no tempo" implica que a relação entre a função de entrada e a função de saída é constante em relação ao tempo :${\ displaystyle y (t),}$${\ displaystyle x (t);}$${\ displaystyle x (t + \ delta)}$${\ displaystyle y (t + \ delta)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle y (t) = f (x (t), t) = f (x (t)).}$

Na linguagem do processamento de sinais , essa propriedade pode ser satisfeita se a função de transferência do sistema não for uma função direta do tempo, exceto conforme expresso pela entrada e saída.

No contexto de um esquema de sistema, esta propriedade também pode ser declarada da seguinte forma, conforme mostrado na figura à direita:

Se um sistema for invariante no tempo, o bloco do sistema comuta com um atraso arbitrário.

Se um sistema invariante no tempo também é linear , é o assunto da teoria invariante no tempo linear ( invariante no tempo linear) com aplicações diretas em espectroscopia NMR , sismologia , circuitos , processamento de sinal , teoria de controle e outras áreas técnicas. Os sistemas não lineares invariantes no tempo carecem de uma teoria governante abrangente. Os sistemas invariantes no tempo discretos são conhecidos como sistemas invariantes ao deslocamento . Os sistemas que carecem da propriedade invariante no tempo são estudados como sistemas variantes no tempo .

Exemplo simples

Para demonstrar como determinar se um sistema é invariante no tempo, considere os dois sistemas:

• Sistema A: ${\ displaystyle y (t) = tx (t)}$
• Sistema B: ${\ displaystyle y (t) = 10x (t)}$

Visto que a Função do Sistema para o sistema A depende explicitamente de t fora de , ela não é invariante no tempo porque a dependência do tempo não é explicitamente uma função da função de entrada. ${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle x (t)}$

Em contraste, a dependência do tempo do sistema B é apenas uma função da entrada variável no tempo . Isso torna o sistema B invariante no tempo . ${\ displaystyle x (t)}$

O exemplo formal abaixo mostra com mais detalhes que, embora o sistema B seja um sistema invariante ao deslocamento em função do tempo, t , o sistema A não é.

Exemplo formal

Uma prova mais formal de porque os sistemas A e B acima diferem é agora apresentada. Para realizar esta prova, será utilizada a segunda definição.

Sistema A: Comece com um atraso da entrada${\ displaystyle x_ {d} (t) = x (t + \ delta)}$

${\ displaystyle y (t) = tx (t)}$

${\ displaystyle y_ {1} (t) = tx_ {d} (t) = tx (t + \ delta)}$

Agora atrase a saída em ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle y (t) = tx (t)}$

${\ displaystyle y_ {2} (t) = y (t + \ delta) = (t + \ delta) x (t + \ delta)}$

Claramente , portanto, o sistema não é invariável no tempo.${\ displaystyle y_ {1} (t) \ neq y_ {2} (t)}$

Sistema B: Comece com um atraso da entrada${\ displaystyle x_ {d} (t) = x (t + \ delta)}$

${\ displaystyle y (t) = 10x (t)}$

${\ displaystyle y_ {1} (t) = 10x_ {d} (t) = 10x (t + \ delta)}$

Agora atrase a saída em ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle y (t) = 10x (t)}$

${\ displaystyle y_ {2} (t) = y (t + \ delta) = 10x (t + \ delta)}$

Claramente , portanto, o sistema é invariável no tempo.${\ displaystyle y_ {1} (t) = y_ {2} (t)}$

Mais geralmente, a relação entre a entrada e a saída é

${\ displaystyle y (t) = f (x (t), t),}$

e sua variação com o tempo é

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}.}$

Para sistemas invariantes no tempo, as propriedades do sistema permanecem constantes com o tempo,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0.}$

Aplicado aos Sistemas A e B acima:

${\ displaystyle f_ {A} = tx (t) \ qquad \ implica \ qquad {\ frac {\ partial f_ {A}} {\ partial t}} = x (t) \ neq 0}$ em geral, por isso não é invariante no tempo,

${\ displaystyle f_ {B} = 10x (t) \ qquad \ implica \ qquad {\ frac {\ partial f_ {B}} {\ partial t}} = 0}$ por isso é invariável no tempo.

Exemplo abstrato

Podemos denotar o operador de deslocamento por onde é o valor pelo qual o conjunto de índices de um vetor deve ser deslocado. Por exemplo, o sistema "advance-by-1" ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle x (t + 1) = \ delta (t + 1) * x (t)}$

pode ser representado nesta notação abstrata por

${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} {\ tilde {x}}}$

onde é uma função dada por ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$

${\ displaystyle {\ tilde {x}} = x (t) \ forall t \ in \ mathbb {R}}$

com o sistema produzindo a saída deslocada

${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = x (t + 1) \ forall t \ in \ mathbb {R}}$

O mesmo ocorre com um operador que avança o vetor de entrada em 1. ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}$

Suponha que representemos um sistema por um operador . Este sistema é invariante no tempo se comutar com o operador de turno, ou seja, ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \ mathbb {H} = \ mathbb {H} \ mathbb {T} _ {r} \ forall r}$

Se a nossa equação do sistema é dada por

${\ displaystyle {\ tilde {y}} = \ mathbb {H} {\ tilde {x}}}$

em seguida, ele é invariante no tempo se pode aplicar o operador do sistema em seguida pelo operador de deslocamento , ou pode-se aplicar o operador de deslocamento seguido pelo operador do sistema , com as duas computações produzindo resultados equivalentes. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Aplicar o operador do sistema primeiro dá

${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \ mathbb {H} {\ tilde {x}} = \ mathbb {T} _ {r} {\ tilde {y}} = {\ tilde {y}} _ {r}}$

Aplicar o operador de turno primeiro dá

${\ displaystyle \ mathbb {H} \ mathbb {T} _ {r} {\ tilde {x}} = \ mathbb {H} {\ tilde {x}} _ {r}}$

Se o sistema for invariante no tempo, então

${\ displaystyle \ mathbb {H} {\ tilde {x}} _ {r} = {\ tilde {y}} _ {r}}$

Veja também

• Resposta de impulso finito
• Sequência de Sheffer
• Espaço de estado (controles)
• Gráfico de fluxo de sinal
• Teoria do sistema LTI
• Sistema autônomo (matemática)

Referências