Número do táxi - Taxicab number

Em uma anedota de GH Hardy , um doente Srinivasa Ramanujan ( foto ) desenvolveu a ideia dos números dos táxis.

Em matemática , o n th número táxi , tipicamente denotado Ta ( n ) ou Taxicab ( n ), também chamado o n th número de Hardy-Ramanujan , é definido como o menor número inteiro que pode ser expresso como uma soma de dois positivos cubos inteiros em n maneiras distintas. O número de táxi mais famoso é 1729 = Ta (2) = 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ .

O nome é derivado de uma conversa em cerca de 1919 envolvendo os matemáticos G. H. Hardy e Srinivasa Ramanujan . Conforme contado por Hardy:

Lembro-me de ter ido vê-lo [Ramanujan] quando ele estava doente em Putney . Eu havia viajado no táxi nº 1729 e observei que o número parecia bastante enfadonho e que esperava que não fosse um presságio desfavorável. "Não", respondeu ele, "é um número muito interessante; é o menor número expressável como a soma de dois cubos [positivos] de duas maneiras diferentes."

História e definição

O conceito foi mencionado pela primeira vez em 1657 por Bernard Frénicle de Bessy , que publicou o número de Hardy – Ramanujan Ta (2) = 1729. Este exemplo particular de 1729 ficou famoso no início do século 20 por uma história envolvendo Srinivasa Ramanujan . Em 1938, GH Hardy e EM Wright provaram que tais números existem para todos os inteiros positivos n , e sua prova é facilmente convertida em um programa para gerar tais números. No entanto, a prova não faz nenhuma afirmação sobre se os números assim gerados são os menores possíveis e, portanto, não pode ser usada para encontrar o valor real de Ta ( n ).

Os números dos táxis posteriores a 1729 foram encontrados com a ajuda de computadores. John Leech obteve Ta (3) em 1957. E. Rosenstiel, JA Dardis e CR Rosenstiel encontraram Ta (4) em 1989. JA Dardis encontrou Ta (5) em 1994 e foi confirmado por David W. Wilson em 1999. Ta ( 6) foi anunciado por Uwe Hollerbach na lista de mala direta NMBRTHRY em 9 de março de 2008, após um artigo de 2003 de Calude et al. isso deu uma probabilidade de 99% de que o número era realmente Ta (6). Os limites superiores de Ta (7) a Ta (12) foram encontrados por Christian Boyer em 2006.

A restrição das somas a números positivos é necessária, porque permitir números negativos permite mais (e menores) instâncias de números que podem ser expressos como somas de cubos de n maneiras distintas. O conceito de número de cabtaxi foi introduzido para permitir definições alternativas e menos restritivas dessa natureza. Em certo sentido, a especificação de duas somas e potências de três também é restritiva; um número generalizado de táxi permite que esses valores sejam diferentes de dois e três, respectivamente.

Números de táxis conhecidos

Até agora, são conhecidos os seguintes 6 números de táxis:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {Ta} (1) = 2 & = 1 ^ {3} + 1 ^ {3} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {Ta} (2) = 1729 & = 1 ^ {3} + 12 ^ {3} \\ & = 9 ^ {3} + 10 ^ {3} \ end {alinhado }}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {Ta} (3) = 87539319 & = 167 ^ {3} + 436 ^ {3} \\ & = 228 ^ {3} + 423 ^ {3} \\ & = 255 ^ {3} + 414 ^ {3} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {Ta} (4) = 6963472309248 & = 2421 ^ {3} + 19083 ^ {3} \\ & = 5436 ^ {3} + 18948 ^ {3} \\ & = 10200 ^ {3} + 18072 ^ {3} \\ & = 13322 ^ {3} + 16630 ^ {3} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {Ta} (5) = 48988659276962496 & = 38787 ^ {3} + 365757 ^ {3} \\ & = 107839 ^ {3} + 362753 ^ {3} \\ & = 205292 ^ {3} + 342952 ^ {3} \\ & = 221424 ^ {3} + 336588 ^ {3} \\ & = 231518 ^ {3} + 331954 ^ {3} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {Ta} (6) = 24153319581254312065344 & = 582162 ^ {3} + 28906206 ^ {3} \\ & = 3064173 ^ {3} + 28894803 ^ {3} \\ & = 8519281 ^ {3} + 28657487 ^ {3} \\ & = 16218068 ^ {3} + 27093208 ^ {3} \\ & = 17492496 ^ {3} + 26590452 ^ {3} \\ & = 18289922 ^ {3} + 26224366 ^ {3} \ end {alinhado}}}$

Limites superiores para números de táxis

Para os seguintes números de táxis, os limites superiores são conhecidos:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Ta} (7) & \ leq & 24885189317885898975235988544 & = & 2648660966 ^ {3} + 1847282122 ^ {3} \\ &&&& = & 2685635652 ^ {3} + 1766742096 ^ {3} \\ &&& = & 2736414008 ^ {3} + 1638024868 ^ {3} \\ &&& = & 2894406187 ^ {3} + 860447381 ^ {3} \\ &&& = & 2915734948 ^ {3} + 459531128 ^ {3} \\ &&&& = & 2918375103 ^ { 3} + 309481473 ^ {3} \\ &&& = & 2919526806 ^ {3} + 58798362 ^ {3} \ end {matriz}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Ta} (8) & \ leq & 50974398750539071400590819921724352 & = & 299512063576 ^ {3} + 288873662876 ^ {3} \\ &&& = & 336379942682 ^ {3} + 23460482942682 ^ {3} + 2346048294262 \\ ^\ &&& = & 341075727804 ^ {3} + 224376246192 ^ {3} \\ &&& = & 347524579016 ^ {3} + 208029158236 ^ {3} \\ &&& = & 367589585749 ^ {3} + 109276817387 ^ {3 }396\ & {&298 & = 3} + 58360453256 ^ {3} \\ &&& = & 370633638081 ^ {3} + 39304147071 ^ {3} \\ &&& = & 370779904362 ^ {3} + 7467391974 ^ {3} \ end {matriz}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Ta} (9) & \ leq & 136897813798023990395783317207361432493888 & = & = & 41632176837064 ^ {3} + 40153439139764 ^ {3} \\ &&& = & 4675681209966798 ^ {3} +1200 ^ 3200 ^ {3} + 61126666798 &&& = & 47409526164756 ^ {3} + 31188298220688 ^ {3} \\ &&& = & 48305916483224 ^ {3} + 28916052994804 ^ {3} \\ &&& = & 51094952419111 ^ {3} \\ &&& = & 48305916483224 ^ {3} + 28916052994804 ^ {3} \\ &&& = & 51094952419111 ^ {3} + 15189477616703 ^ {3904&514 \ 31614 \ 314 \ 616793 & 39044\ ^ 614\ 3} + 8112103002584 ^ {3} \\ &&& = & 51518075693259 ^ {3} + 5463276442869 ^ {3} \\ &&& = & 51530042142656 ^ {3} + 4076877805588 ^ {3} \\ &&& = & 515384846442869 ^ {3} \\ &&& = & 51530042142656 ^ {3} + 4076877805588 ^ {3} \\ &&& = & 51538406706318 ^ {3} \ end {matriz}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Ta} (10) & \ leq & 7335345315241855602572782233444632535674275447104 & = & 15695330667573128 ^ {3} + 15137846555691028 ^ {399687 \\ &&& = {336272918} ^ {399687 &&& = {33627213} ^ {3} + 15137846555691028 ^ {399687 &&& = {33627213} ^ {3} 6362138 ^ 12406 \ 399687 12138 \ 12362138 \ 12362138 \ 0127186 ^ 12406 &&& = & 17873391364113012 ^ {3} + 11757988429199376 ^ {3} \\ &&& = & 18211330514175448 ^ {3} + 10901351979041108 ^ {3} \\ &&& = & 1926279706200484740 ^ {3} + 572643530 & 15884\ {3} + 57264330&156154 \\\\\\\\\=945964\ {3} + 572643306156154 \\\ {3} 269.6461 & 15884 \\ {3} 26661 & lt. 3} + 3058262831974168 ^ {3} \\ &&& = & 19422314536358643 ^ {3} + 2059655218961613 ^ {3} \\ &&& = & 19426825887781312 ^ {3} + 1536982932706676 ^ {3} \\6870 &&& = & 1942940 ^ {3} \\68704&& = & 1942940 ^ {3} \ 8270560460369 + 1942937837838837781312 ^ {3} + 1536982932706676 ^ {3} \ 8270560460379 + 1942940 {3} \\ &&& = & 19429979328281886 ^ {3} + 391313741613522 ^ {3} \ end {matriz}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Ta} (11) & \ leq & 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632 & = & = & 11410505395325664056 ^ {3} + 11005214445987377356 ^ {3} \\1351724&127377356 ^ {3} \\137 & 244174 & 77377356 ^ {3} \\ & 14504174 & 117377356 ^ {3} 5135 \\ & 14504 & 11; 7737 12737 & 8737 & 244174 & 11; 12737 & 873 5174 & 54; 1724 & 11; &&& = & 12993955521710159724 ^ {3} + 8548057588027946352 ^ {3} \\ &&& = & 13239637283805550696 ^ {3} + 7925282888762885516 ^ {3} \\ &&& = & 13600192974314732786 ^ {3} + 6716379921779399326 ^ {3} \\ &&& = & 14004053464077523769 ^ { 3} + 4163116835733008647 ^ {3} \\ &&& = & 14107248762203982476 ^ {3} + 2223357078845220136 ^ {3} \\ &&& = & 14120022667932733461 ^ {3} + 1497369344185092651 ^ {3} \\ &&& = & 14123302420417013824 ^ {3} + 1117386592077753452 ^ {3} \\ &&& = & 14125159098802697120 ^ {3} + 657258405504578668 ^ {3} \\ &&& = & 14125594971660931122 ^ {3} + 284485090153030494 ^ {3} \ end {matrix}}}$

${\ {\ Displaystyle começar {alinhados} \ operatorname {Ta} (12) \ leq & 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152 \\ & = 33900611529512547910376 ^ {3} + 32696492119028498124676 ^ {3} \\ & = 38073544107142749077782 ^ {3} + 26554012859002979271194 ^ {3} \\ & = 38605041855000884540004 ^ {3} + 25396279094031028611792 ^ {3} \\ & = 39334962370186291117816 ^ {3} + 23546015462514532868036 ^ {3} \\ & = 40406173326689071107206 ^ {3} + 19954364747606595397546 ^ {3} \\ & = 41606042841774323117699 ^ {3} + 12368620118962768690237 ^ {3} \\ & = 41912636072508031936196 ^ {3} + 6605593881249149024056 ^ {3} \\ & = 41950587346428151112631 ^ {3} + 4448684321573910149024056 ^ {3} \\ & = 41950587346428151112631 ^ {3} + 4448684328010 \ 391049024056 ^ {3} \\ & = 41950587346428151112631 ^ {3} + 4448684328010 \ 391049024056 ^ {3} \\ & = 41950587346428151112631 ^ {3} + 44486843280157391049024056 ^ {3} \\ & = 41950587346428151112631 ^ {3} + 44486843280157391049024056 ^ {3} \\ & = 41960141 3319755565063005505892 ^ {3} \\ & = 41965847682542813143520 ^ {3} + 1952714722754103222628 ^ {3} \\ & = 41965889731136229476526 ^ {3} + 193309754261812224102680 {3} 67.64.646 743574 + 1933097542642618122241026 80 {3} 67.64.642 86574 + 193 664 364 646 764 564 664 64 864 364 646 64 864 364 646 64 64 64 864 5674 9731136229476526 \ end {alinhado}}}$

Números de táxis do Cubefree

Um problema de táxi mais restritivo requer que o número do táxi seja livre de cubos, o que significa que não é divisível por nenhum cubo diferente de 1 ³ . Quando um táxi sem cubos, número T, é escrito como T = x ³  +  y ³ , os números x e y devem ser relativamente primos. Entre os números de táxi Ta (n) listados acima, apenas Ta (1) e Ta (2) são números de táxi sem cubos. O menor número de táxi sem cubos com três representações foi descoberto por Paul Vojta (não publicado) em 1981, quando ele era um estudante de graduação. Isto é

15170835645

= 517 ³ + 2468 ³

= 709 ³ + 2456 ³

= 1733 ³ + 2152 ³ .

O menor número de táxi sem cubos com quatro representações foi descoberto por Stuart Gascoigne e independentemente por Duncan Moore em 2003. É

1801049058342701083

= 92227 ³ + 1216500 ³

= 136635 ³ + 1216102 ³

= 341995 ³ + 1207602 ³

= 600259 ³ + 1165884 ³

(sequência A080642 no OEIS ).

Veja também

Notas

Referências

• GH Hardy e EM Wright, Uma Introdução à Teoria dos Números , 3ª ed., Oxford University Press, London & NY, 1954, Thm. 412.
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations , Proc. Camb. Phil. Soc. 53, 778–780, 1957.
• E. Rosenstiel, JA Dardis e CR Rosenstiel, As quatro menores soluções em números inteiros positivos distintos das equações Diofantinas = x ³ + y ³ = z ³ + w ³ = u ³ + v ³ = m ³ + n ³ , Bull. Inst. Matemática. Appl. , 27 (1991) 155-157; MR 1125858 , online .
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 , Journal of Integer Sequences , Vol. 2 (1999), online . (Wilson não sabia da descoberta anterior de Ta (5) por JA Dardis em 1994, quando escreveu isso.)
• DJ Bernstein, Enumerating solutions to p (a) + q (b) = r (c) + s (d) , Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389-394.
• CS Calude, E. Calude e MJ Dinneen: Qual é o valor do Taxicab (6)? , Journal of Universal Computer Science , vol. 9 (2003), p. 1196-1203

links externos

• Uma postagem de 2002 na lista de discussão da Teoria dos Números por Randall L. Rathbun
• Grime, James; Bowley, Roger. Haran, Brady (ed.). 1729: Número do táxi ou número Hardy-Ramanujan . Numberphile.
• Táxi e outras matemáticas na Euler
• Singh, Simon . Haran, Brady (ed.). “Números de Táxis em Futurama” . Numberphile.