Número superior altamente composto - Superior highly composite number

Função divisora d ( n ) até n = 250

Fatores de potência primária

Em matemática , um número altamente composto superior é um número natural que tem mais divisores por alguma potência positiva de si mesmo do que qualquer outro número. É uma restrição mais forte do que a de um número altamente composto , que é definido como tendo mais divisores do que qualquer inteiro positivo menor.

Os primeiros 10 números altamente compostos superiores e sua fatoração são listados.

# fatores primos	SHCN n	fatoração primária	expoentes principais	# divisores d ( n )		fatoração primorial
1	2	$2$	1	2	2	$2$
2	6	$2 \cdot 3$	1,1	2 ²	4	$6$
3	12	$22 \cdot 3$	2,1	3 × 2	6	$2 \cdot 6$
4	60	$22 \cdot 3 \cdot 5$	2,1,1	3 × 2 ²	12	$2 \cdot 30$
5	120	$23 \cdot 3 \cdot 5$	3,1,1	4 × 2 ²	16	$22 \cdot 30$
6	360	$23 \cdot 3 2 \cdot 5$	3,2,1	4 × 3 × 2	24	$2 \cdot 6 \cdot 30$
7	2520	$23 \cdot 3 2 \cdot 5 \cdot 7$	3,2,1,1	4 × 3 × 2 ²	48	$2 \cdot 6 \cdot 210$
8	5040	$24 \cdot 3 2 \cdot 5 \cdot 7$	4,2,1,1	5 × 3 × 2 ²	60	$22 \cdot 6 \cdot 210$
9	55440	$24 \cdot 3 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$	4,2,1,1,1	5 × 3 × 2 ³	120	$22 \cdot 6 \cdot 2310$
10	720720	$24 \cdot 3 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$	4,2,1,1,1,1	5 × 3 × 2 ⁴	240	$22 \cdot 6 \cdot 30030$

Gráfico do número de divisores de inteiros de 1 a 1000. Números altamente compostos são marcados em negrito e os números altamente compostos superiores são marcados com estrela. No arquivo SVG , passe o mouse sobre uma barra para ver suas estatísticas.

Para um número n altamente composto superior existe um número real positivo ε tal que para todos os números naturais k menores que n temos

{\ displaystyle {\ frac {d (n)} {n ^ {\ varepsilon}}} \ geq {\ frac {d (k)} {k ^ {\ varepsilon}}}}

e para todos os números naturais k maiores do que n temos

{\ displaystyle {\ frac {d (n)} {n ^ {\ varepsilon}}}> {\ frac {d (k)} {k ^ {\ varepsilon}}}}

onde d (n) , a função divisora , denota o número de divisores de n . O termo foi cunhado por Ramanujan (1915).

Os primeiros 15 números altamente compostos superiores, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (sequência A002201 no OEIS ) também são os primeiros 15 colossalmente números abundantes , que atendem a uma condição semelhante com base na função de soma de divisores, e não no número de divisores. Nenhum dos conjuntos, entretanto, é um subconjunto do outro.

Propriedades

Diagrama de Euler de números abundantes , abundantes primitivos , altamente abundantes , superabundantes , colossalmente abundantes , altamente compostos , altamente compostos superiores , estranhos e perfeitos abaixo de 100 em relação aos números deficientes e compostos

Todos os números altamente compostos superiores são altamente compostos .

Uma construção eficaz do conjunto de todos os números altamente compostos superiores é dada pelo seguinte mapeamento monotônico dos números reais positivos. Deixar

{\ displaystyle e_ {p} (x) = \ left \ lfloor {\ frac {1} {{\ sqrt [{x}] {p}} - 1}} \ right \ rfloor \ quad}

para qualquer número primo pe real x positivo . Então

{\ displaystyle \ quad s (x) = \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} p ^ {e_ {p} (x)} \ quad}

é um número altamente composto superior.

Observe que o produto não precisa ser calculado indefinidamente, porque se então , o produto a ser calculado pode ser encerrado uma vez . ${\ displaystyle p> 2 ^ {x}}$ ${\ displaystyle e_ {p} (x) = 0}$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle p \ geq 2 ^ {x}}$

Observe também que na definição de , é análogo a na definição implícita de um número altamente composto superior. ${\ displaystyle e_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle 1 / x}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Além disso, para cada número superior altamente composto existe um intervalo semiaberto tal que . ${\ displaystyle s ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in I: s (x) = s ^ {\ prime}}$

Esta representação implica que existe uma sequência infinita de tal que, para o n- ésimo número altamente composto superior, vale ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle s_ {n}}$

{\ displaystyle s_ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ pi _ {i}}

Os primeiros são 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (sequência A000705 no OEIS ). Em outras palavras, o quociente de dois números sucessivos superiores altamente compostos é um número primo. ${\ displaystyle \ pi _ {i}}$

Radices altamente compostos superiores

Os primeiros números superiores altamente compostos têm sido freqüentemente usados como radices , devido à sua alta divisibilidade para seu tamanho. Por exemplo:

Binário (base 2)
Senário (base 6)
Duodecimal (base 12)
Sexagesimal (base 60)

SHCNs maiores podem ser usados de outras maneiras. 120 aparece como a centena longa , enquanto 360 aparece como o número de graus em um círculo.

Notas

Referências

Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compostos" (PDF) . Proc. London Math. Soc . Series 2. 14 : 347–409. doi : 10.1112 / plms / s2_14.1.347 . JFM 45.1248.01 . Reimpresso em Collected Papers (Ed. GH Hardy et al.), Nova York: Chelsea, pp. 78-129, 1962
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual da teoria dos números que eu . Dordrecht: Springer-Verlag . pp. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .

links externos

Weisstein, Eric W. "Número altamente composto superior" . MathWorld .

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