Estabilidade estrutural - Structural stability

Em matemática , a estabilidade estrutural é uma propriedade fundamental de um sistema dinâmico, o que significa que o comportamento qualitativo das trajetórias não é afetado por pequenas perturbações (para ser exatamente C ^{1 -} pequenas perturbações).

Exemplos de tais propriedades qualitativas são números de pontos fixos e órbitas periódicas (mas não seus períodos). Ao contrário da estabilidade de Lyapunov , que considera perturbações das condições iniciais de um sistema fixo, a estabilidade estrutural lida com perturbações do próprio sistema. Variantes dessa noção se aplicam a sistemas de equações diferenciais ordinárias , campos de vetores em variedades suaves e fluxos gerados por eles e difeomorfismos .

Sistemas estruturalmente estáveis ​​foram introduzidos por Aleksandr Andronov e Lev Pontryagin em 1937 sob o nome de "systèmes grossiers", ou sistemas brutos . Eles anunciaram uma caracterização de sistemas brutos no plano, o critério de Andronov-Pontryagin . Neste caso, sistemas estruturalmente estáveis ​​são típicos , eles formam um conjunto denso aberto no espaço de todos os sistemas dotados de topologia apropriada. Em dimensões superiores, isso não é mais verdade, indicando que a dinâmica típica pode ser muito complexa (cf atrator estranho ). Uma classe importante de sistemas estruturalmente estáveis ​​em dimensões arbitrárias é dada pelos difeomorfismos e fluxos de Anosov .

Definição

Seja G um domínio aberto em R ⁿ com fechamento compacto e limite ( n -1) -dimensional suave . Considere o espaço X ¹ ( G ) que consiste em restrições a G de campos vetoriais C ¹ em R ⁿ que são transversais à fronteira de G e são orientados para dentro. Este espaço é dotado da métrica C ¹ da maneira usual. Um campo vetorial F ∈ X ¹ ( G ) é fracamente estruturalmente estável se para qualquer perturbação suficientemente pequena F ₁ , os fluxos correspondentes são topologicamente equivalentes em G : existe um homeomorfismo h : G → G que transforma as trajetórias orientadas de F no trajetórias orientadas de F ₁ . Se, além disso, para qualquer ε > 0 o homeomorfismo h pode ser escolhido para ser C ⁰ ε- próximo ao mapa de identidade quando F ₁ pertence a uma vizinhança adequada de F dependendo de ε , então F é chamado (fortemente) estruturalmente estável . Essas definições se estendem de maneira direta ao caso de variedades suaves compactas n- dimensionais com limite. Andronov e Pontryagin originalmente consideraram a propriedade forte. Definições análogas podem ser dadas para difeomorfismos no lugar de campos de vetores e fluxos: neste cenário, o homeomorfismo h deve ser uma conjugação topológica .

É importante notar que a equivalência topológica é realizada com uma perda de suavidade: o mapa h não pode, em geral, ser um difeomorfismo. Além disso, embora a equivalência topológica respeite as trajetórias orientadas, ao contrário da conjugação topológica, ela não é compatível com o tempo. Assim, a noção relevante de equivalência topológica é um enfraquecimento considerável da conjugação C ¹ ingênua de campos de vetores. Sem essas restrições, nenhum sistema de tempo contínuo com pontos fixos ou órbitas periódicas poderia ter sido estruturalmente estável. Os sistemas estruturalmente estáveis ​​fracamente formam um conjunto aberto em X ¹ ( G ), mas não se sabe se a mesma propriedade se mantém no caso forte.

Exemplos

As condições necessárias e suficientes para a estabilidade estrutural dos campos vetoriais C ¹ no disco unitário D que são transversais ao contorno e nas duas esferas S ² foram determinadas no artigo fundamental de Andronov e Pontryagin. De acordo com o critério de Andronov-Pontryagin , tais campos são estruturalmente estáveis ​​se e somente se eles têm apenas pontos singulares finitos ( estados de equilíbrio ) e trajetórias periódicas ( ciclos limites ), que são todos não degenerados (hiperbólicos), e não têm conexões sela a sela. Além disso, o conjunto não errante do sistema é precisamente a união de pontos singulares e órbitas periódicas. Em particular, campos vetoriais estruturalmente estáveis ​​em duas dimensões não podem ter trajetórias homoclínicas , o que complica enormemente a dinâmica, conforme descoberto por Henri Poincaré .

A estabilidade estrutural de campos vetoriais lisos não singulares no toro pode ser investigada usando a teoria desenvolvida por Poincaré e Arnaud Denjoy . Usando o mapa de recorrência de Poincaré , a questão se reduz a determinar a estabilidade estrutural dos difeomorfismos do círculo . Como consequência do teorema de Denjoy , uma orientação que preserva o difeomorfismo C ² ƒ do círculo é estruturalmente estável se e somente se seu número de rotação for racional, ρ ( ƒ ) = p / q , e as trajetórias periódicas, que têm período q , são não degenerados: o Jacobiano de ƒ ^q nos pontos periódicos é diferente de 1, consulte o mapa do círculo .

Dmitri Anosov descobriu que os automorfismos hiperbólicos do toro, como o mapa do gato de Arnold , são estruturalmente estáveis. Ele então generalizou essa afirmação para uma classe mais ampla de sistemas, que desde então foram chamados de difeomorfismos de Anosov e fluxos de Anosov. Um exemplo famoso de fluxo Anosov é dado pelo fluxo geodésico em uma superfície de curvatura negativa constante, conforme o bilhar de Hadamard .

História e significado

A estabilidade estrutural do sistema fornece uma justificativa para a aplicação da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos à análise de sistemas físicos concretos. A ideia dessa análise qualitativa remonta ao trabalho de Henri Poincaré sobre o problema dos três corpos na mecânica celeste . Na mesma época, Aleksandr Lyapunov investigou rigorosamente a estabilidade de pequenas perturbações de um sistema individual. Na prática, a lei de evolução do sistema (ou seja, as equações diferenciais) nunca é conhecida exatamente, devido à presença de várias pequenas interações. É, portanto, crucial saber que as características básicas da dinâmica são as mesmas para qualquer pequena perturbação do sistema "modelo", cuja evolução é governada por uma certa lei física conhecida. A análise qualitativa foi desenvolvida por George Birkhoff na década de 1920, mas foi formalizada pela primeira vez com a introdução do conceito de sistema bruto por Andronov e Pontryagin em 1937. Isso foi imediatamente aplicado à análise de sistemas físicos com oscilações por Andronov, Witt e Khaikin. O termo "estabilidade estrutural" deve-se a Solomon Lefschetz , que supervisionou a tradução de sua monografia para o inglês. As ideias de estabilidade estrutural foram adotadas por Stephen Smale e sua escola na década de 1960 no contexto da dinâmica hiperbólica. Anteriormente, Marston Morse e Hassler Whitney iniciaram e René Thom desenvolveu uma teoria paralela de estabilidade para mapas diferenciáveis, que constitui uma parte fundamental da teoria da singularidade . Thom imaginou aplicações desta teoria para sistemas biológicos. Tanto Smale quanto Thom trabalharam em contato direto com Maurício Peixoto , que desenvolveu o teorema de Peixoto no final dos anos 1950.

Quando Smale começou a desenvolver a teoria dos sistemas dinâmicos hiperbólicos, ele esperava que os sistemas estruturalmente estáveis ​​fossem "típicos". Isso teria sido consistente com a situação em dimensões baixas: dimensão dois para fluxos e dimensão um para difeomorfismos. No entanto, ele logo encontrou exemplos de campos vetoriais em variedades de dimensão superior que não podem se tornar estruturalmente estáveis ​​por uma perturbação arbitrariamente pequena (tais exemplos foram posteriormente construídos em variedades de dimensão três). Isso significa que em dimensões mais altas, os sistemas estruturalmente estáveis ​​não são densos . Além disso, um sistema estruturalmente estável pode ter trajetórias homoclínicas transversais de órbitas fechadas em sela hiperbólica e infinitas órbitas periódicas, embora o espaço de fase seja compacto. O análogo de dimensão superior mais próximo de sistemas estruturalmente estáveis ​​considerados por Andronov e Pontryagin é dado pelos sistemas de Morse-Smale .

Veja também

• Homeostase
• Autoestabilização , superestabilização
• Teoria da estabilidade

Referências

• Andronov, Aleksandr A .; Lev S. Pontryagin (1988) [1937]. VI Arnold (ed.). "Грубые системы" [Sistemas grosseiros]. Métodos geométricos na teoria das equações diferenciais . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 250. Springer-Verlag, Nova York. ISBN   0-387-96649-8 .
• DV Anosov (2001) [1994], "Rough system" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Charles Pugh e Maurício Matos Peixoto (ed.). "Estabilidade estrutural" . Scholarpedia .