Competição Stackelberg - Stackelberg competition

O modelo de liderança de Stackelberg é um jogo estratégico em economia em que a empresa líder se move primeiro e, em seguida, as empresas seguidoras se movem sequencialmente. É o nome do economista alemão Heinrich Freiherr von Stackelberg, que publicou a Estrutura e Equilíbrio do Mercado (Marktform und Gleichgewicht) em 1934, que descreveu o modelo.

Em termos de teoria dos jogos , os jogadores deste jogo são um líder e um seguidor e competem em quantidade. O líder Stackelberg às vezes é chamado de Líder de Mercado.

Existem algumas restrições adicionais à manutenção de um equilíbrio de Stackelberg. O líder deve saber ex ante que o seguidor observa sua ação. O seguidor não deve ter meios de se comprometer com a ação de um futuro líder não Stackelberg e o líder deve saber disso. De fato, se o 'seguidor' pudesse se comprometer com uma ação de líder Stackelberg e o 'líder' soubesse disso, a melhor resposta do líder seria jogar uma ação de seguidor Stackelberg.

As empresas podem se envolver na competição de Stackelberg se alguém tiver algum tipo de vantagem que o permita agir primeiro. De maneira mais geral, o líder deve ter poder de comprometimento . Mover-se observavelmente primeiro é o meio mais óbvio de compromisso: uma vez que o líder tenha feito seu movimento, ele não pode desfazê-lo - ele está comprometido com aquela ação. Mover-se primeiro pode ser possível se o líder for o monopólio titular do setor e o seguidor for um novo participante. Manter o excesso de capacidade é outra forma de compromisso.

Equilíbrio de Nash perfeito do subjogo

O modelo de Stackelberg pode ser resolvido para encontrar o subjogo equilíbrio ou equilíbrios perfeitos de Nash (SPNE), ou seja, o perfil de estratégia que melhor atende a cada jogador, dadas as estratégias do outro jogador e que envolve cada jogador jogando em equilíbrio de Nash em cada subjogo .

Em termos muito gerais, deixe a função de preço para a indústria (duopólio) ser ; o preço é simplesmente uma função da produção total (indústria), então é onde o subscrito 1 representa o líder e 2 representa o seguidor. Suponha que a empresa tenha a estrutura de custos . O modelo é resolvido por indução retroativa . O líder considera que a melhor resposta do seguidor é, ou seja, como ele vai responder sempre que observe a quantidade do líder. O líder então escolhe uma quantidade que maximiza seu retorno, antecipando a resposta prevista do seguidor. O seguidor realmente observa isso e, em equilíbrio, escolhe a quantidade esperada como resposta. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P (q_ {1} + q_ {2})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle C_ {i} (q_ {i})}$

Para calcular o SPNE, as melhores funções de resposta do seguidor devem ser calculadas primeiro (o cálculo se move 'para trás' devido à indução para trás).

O lucro da empresa 2 (seguidora) é a receita menos o custo. Receita é o produto de preço e quantidade e custo é dada pela estrutura de custos da empresa, de modo que o lucro é: . A melhor resposta é encontrar o valor de que maximiza dado , ou seja, dado o produto do líder (empresa 1), encontra-se o produto que maximiza o lucro do seguidor. Portanto, o máximo de em relação a deve ser encontrado. Primeiro diferencie com respeito a : ${\ displaystyle \ Pi _ {2} = P (q_ {1} + q_ {2}) \ cdot q_ {2} -C_ {2} (q_ {2})}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$${\ displaystyle q_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi _ {2}} {\ partial q_ {2}}} = {\ frac {\ partial P (q_ {1} + q_ {2})} {\ partial q_ { 2}}} \ cdot q_ {2} + P (q_ {1} + q_ {2}) - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}} .}$

Definindo como zero para maximização:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi _ {2}} {\ partial q_ {2}}} = {\ frac {\ partial P (q_ {1} + q_ {2})} {\ partial q_ { 2}}} \ cdot q_ {2} + P (q_ {1} + q_ {2}) - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}} = 0.}$

Os valores de que satisfazem esta equação são as melhores respostas. Agora a melhor função de resposta do líder é considerada. Essa função é calculada considerando a saída do seguidor como uma função da saída do líder, conforme calculado. ${\ displaystyle q_ {2}}$

O lucro da empresa 1 (o líder) é , onde é a quantidade do seguidor em função da quantidade do líder, ou seja, a função calculada acima. A melhor resposta é encontrar o valor de que maximiza dado , ou seja, dada a melhor função de resposta do seguidor (empresa 2), encontra-se o produto que maximiza o lucro do líder. Portanto, o máximo de em relação a deve ser encontrado. Primeiro, diferencie com respeito a : ${\ displaystyle \ Pi _ {1} = P (q_ {1} + q_ {2} (q_ {1})). q_ {1} -C_ {1} (q_ {1})}$${\ displaystyle q_ {2} (q_ {1})}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$${\ displaystyle q_ {2} (q_ {1})}$${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$${\ displaystyle q_ {1}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi _ {1}} {\ partial q_ {1}}} = {\ frac {\ partial P (q_ {1} + q_ {2})} {\ partial q_ { 2}}} \ cdot {\ frac {\ parcial q_ {2} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}} \ cdot q_ {1} + {\ frac {\ parcial P (q_ {1 } + q_ {2})} {\ parcial q_ {1}}} \ cdot q_ {1} + P (q_ {1} + q_ {2} (q_ {1})) - {\ frac {\ parcial C_ {1} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}}.}$

Definindo como zero para maximização:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Pi _ {1}} {\ partial q_ {1}}} = {\ frac {\ partial P (q_ {1} + q_ {2})} {\ partial q_ { 2}}} \ cdot {\ frac {\ parcial q_ {2} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}} \ cdot q_ {1} + {\ frac {\ parcial P (q_ {1 } + q_ {2})} {\ parcial q_ {1}}} \ cdot q_ {1} + P (q_ {1} + q_ {2} (q_ {1})) - {\ frac {\ parcial C_ {1} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}} = 0.}$

Exemplos

O exemplo a seguir é muito geral. Ele assume uma estrutura de demanda linear generalizada

${\ displaystyle p (q_ {1} + q_ {2}) = {\ bigg (} ab (q_ {1} + q_ {2}) {\ bigg)}}$

e impõe algumas restrições às estruturas de custo para simplificar para que o problema possa ser resolvido.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} C_ {i} (q_ {i})} {\ partial q_ {i} \ cdot \ partial q_ {j}}} = 0, \ forall j}$ e ${\ displaystyle {\ frac {\ partial C_ {i} (q_ {i})} {\ partial q_ {j}}} = 0, j \ neq \ i}$

para facilidade de computação.

O lucro do seguidor é:

${\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ bigg (} ab (q_ {1} + q_ {2}) {\ bigg)} \ cdot q_ {2} -C_ {2} (q_ {2}). }$

O problema de maximização resolve (do caso geral):

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bigg (} ab (q_ {1} + q_ {2}) {\ bigg)}} {\ partial q_ {2}}} \ cdot q_ {2} + ab ( q_ {1} + q_ {2}) - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}} = 0,}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ -bq_ {2} + ab (q_ {1} + q_ {2}) - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}} } = 0,}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ q_ {2} = {\ frac {a-bq_ {1} - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}}} { 2b}}.}$

Considere o problema do líder:

${\ displaystyle \ Pi _ {1} = {\ bigg (} ab (q_ {1} + q_ {2} (q_ {1})) {\ bigg)} \ cdot q_ {1} -C_ {1} ( q_ {1}).}$

Substituindo do problema do seguidor: ${\ displaystyle q_ {2} (q_ {1})}$

${\ displaystyle \ Pi _ {1} = {\ bigg (} ab {\ bigg (} q_ {1} + {\ frac {a-bq_ {1} - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ { 2})} {\ partial q_ {2}}}} {2b}} {\ bigg)} {\ bigg)} \ cdot q_ {1} -C_ {1} (q_ {1}),}$

${\ displaystyle \ Rightarrow \ Pi _ {1} = {\ bigg (} {\ frac {ab.q_ {1} + {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ { 2}}}} {2}}) {\ bigg)} \ cdot q_ {1} -C_ {1} (q_ {1}).}$

O problema de maximização resolve (do caso geral):

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ pi _ {1}} {\ partial q_ {1}}} = {\ bigg (} {\ frac {a-2bq_ {1} + {\ frac {\ partial C_ { 2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}}} {2}} {\ bigg)} - {\ frac {\ parcial C_ {1} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}} = 0.}$

Agora, resolvendo os rendimentos , a ação ideal do líder: ${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle q_ {1} ^ {*}}$

${\ displaystyle q_ {1} ^ {*} = {\ frac {a + {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}} - 2 \ cdot {\ frac {\ parcial C_ {1} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}}} {2b}}.}$

Esta é a melhor resposta do líder à reação do seguidor em equilíbrio. O real do seguidor agora pode ser encontrado alimentando-o em sua função de reação calculada anteriormente:

${\ displaystyle q_ {2} ^ {*} = {\ frac {ab \ cdot {\ frac {a + {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}} -2 \ cdot {\ frac {\ parcial C_ {1} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}}} {2b}} - {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2 })} {\ parcial q_ {2}}}} {2b}},}$

${\ displaystyle \ Rightarrow q_ {2} ^ {*} = {\ frac {a-3 \ cdot {\ frac {\ parcial C_ {2} (q_ {2})} {\ parcial q_ {2}}} + 2 \ cdot {\ frac {\ parcial C_ {1} (q_ {1})} {\ parcial q_ {1}}}} {4b}}.}$

Os equilíbrios de Nash são tudo . É claro (se os custos marginais forem considerados zero - isto é, o custo é essencialmente ignorado) que o líder tem uma vantagem significativa. Intuitivamente, se o líder não estivesse em melhor situação do que o seguidor, simplesmente adotaria uma estratégia de competição de Cournot . ${\ displaystyle (q_ {1} ^ {*}, q_ {2} ^ {*})}$

Conectar a quantidade do seguidor , de volta à melhor função de resposta do líder, não renderá . Isso ocorre porque, uma vez que o líder se compromete com uma produção e observa os seguidores, ele sempre deseja reduzir sua produção ex-post. No entanto, sua incapacidade de fazer isso é o que lhe permite receber lucros mais elevados do que sob Cournot. ${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1}}$

Análise econômica

Uma representação de forma extensiva é freqüentemente usada para analisar o modelo líder-seguidor de Stackelberg. Também conhecido como uma " árvore de decisão ", o modelo mostra a combinação de produtos e payoffs que ambas as empresas têm no jogo Stackelberg

A imagem à esquerda mostra de forma extensa um jogo Stackelberg. Os ganhos são mostrados à direita. Este exemplo é bastante simples. Existe uma estrutura básica de custos envolvendo apenas o custo marginal (não há custo fixo ). A função de demanda é linear e a elasticidade-preço da demanda é 1. No entanto, ilustra a vantagem do líder.

O seguidor deseja escolher maximizar seu retorno . Tomando a derivada de primeira ordem e igualando-a a zero (para maximização), obtém-se o valor máximo de . ${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle q_ {2} \ times (5000-q_ {1} -q_ {2} -c_ {2})}$${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {5000-q_ {1} -c_ {2}} {2}}}$${\ displaystyle q_ {2}}$

O líder quer escolher maximizar seu retorno . No entanto, em equilíbrio, ele sabe o seguidor vai escolher como acima. Portanto, de fato, o líder deseja maximizar seu retorno (substituindo a função de melhor resposta do seguidor). Por diferenciação, o ganho máximo é dado por . Alimentar isso com os melhores rendimentos da função de resposta do seguidor . Suponha que os custos marginais sejam iguais para as empresas (de modo que o líder não tem nenhuma vantagem de mercado além do primeiro movimento) e, em particular . O líder produziria 2.000 e o seguidor produziria 1.000. Isso daria ao líder um lucro (recompensa) de dois milhões e ao seguidor um lucro de um milhão. Simplesmente movendo-se primeiro, o líder acumula duas vezes o lucro do seguidor. No entanto, os lucros de Cournot aqui são 1,78 milhão cada (estritamente, cada), então o líder não ganhou muito, mas o seguidor perdeu. No entanto, este é um exemplo específico. Pode haver casos em que um líder Stackelberg tenha ganhos enormes além do lucro de Cournot que se aproximam dos lucros de monopólio (por exemplo, se o líder também tivesse uma grande vantagem de estrutura de custos, talvez devido a uma função de produção melhor ). Também pode haver casos em que o seguidor realmente desfrute de lucros maiores do que o líder, mas apenas porque, digamos, tem custos muito mais baixos. Esse comportamento funciona consistentemente em mercados de duopólio, mesmo que as empresas sejam assimétricas. ${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle q_ {1} \ times (5000-q_ {1} -q_ {2} -c_ {1})}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1} \ times (5000-q_ {1} - {\ frac {5000-q_ {1} -c_ {2}} {2}} - c_ {1})}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1} = {\ frac {5000-2c_ {1} + c_ {2}} {2}}}$${\ displaystyle q_ {2} = {\ frac {5000 + 2c_ {1} -3c_ {2}} {4}}}$${\ displaystyle c_ {1} = c_ {2} = 1000}$${\ displaystyle (16/9) 10 ^ {6}}$

Ameaças credíveis e não credíveis por parte do seguidor

Se, depois que o líder selecionou sua quantidade de equilíbrio, o seguidor se desviou do equilíbrio e escolheu alguma quantidade não ótima, isso não apenas prejudicaria a si mesmo, mas também poderia prejudicar o líder. Se o seguidor escolhesse uma quantidade muito maior do que sua melhor resposta, o preço de mercado cairia e os lucros do líder seriam prejudicados, talvez abaixo dos lucros de Cournot. Nesse caso, o seguidor pode anunciar ao líder antes do início do jogo que, a menos que o líder escolha uma quantidade de equilíbrio de Cournot, o seguidor escolherá uma quantidade desviante que atingirá os lucros do líder. Afinal, a quantidade escolhida pelo líder em equilíbrio só é ótima se o seguidor também jogar em equilíbrio. O líder, entretanto, não corre perigo. Uma vez que o líder escolheu sua quantidade de equilíbrio, seria irracional para o seguidor se desviar, porque também seria prejudicado. Uma vez que o líder tenha escolhido, o seguidor fica melhor jogando no caminho do equilíbrio. Conseqüentemente, tal ameaça por parte do seguidor não seria crível.

No entanto, em um jogo de Stackelberg repetido (indefinidamente), o seguidor pode adotar uma estratégia de punição onde ameaça punir o líder no próximo período, a menos que escolha uma estratégia não ótima no período atual. Essa ameaça pode ser crível porque pode ser racional para o seguidor punir no próximo período, de forma que o líder escolha as quantidades de Cournot depois disso.

Stackelberg comparado com Cournot

Os modelos Stackelberg e Cournot são semelhantes porque em ambos a competição é em quantidade. No entanto, como visto, o primeiro movimento dá ao líder em Stackelberg uma vantagem crucial. Há também a importante suposição de informação perfeita no jogo Stackelberg: o seguidor deve observar a quantidade escolhida pelo líder, caso contrário o jogo se reduz a Cournot. Com informações imperfeitas, as ameaças descritas acima podem ser confiáveis. Se o seguidor não pode observar o movimento do líder, não é mais irracional para o seguidor escolher, digamos, um nível de quantidade de Cournot (na verdade, essa é a ação de equilíbrio). No entanto, ele deve ser que não é informação imperfeita e o seguidor é incapaz de observar o movimento do líder, porque é irracional para que o seguidor não observar se ele pode uma vez que o líder se moveu. Se puder observar, o fará para que possa tomar a decisão ideal. Qualquer ameaça do seguidor alegando que não observará, mesmo que possa, é tão incrível quanto as acima. Este é um exemplo de excesso de informação prejudicando o jogador. Na competição de Cournot, é a simultaneidade do jogo (a imperfeição do conhecimento) que faz com que nenhum dos jogadores ( ceteris paribus ) fique em desvantagem.

Considerações teóricas do jogo

Como mencionado, informações imperfeitas em um jogo de liderança se reduzem à competição de Cournot. No entanto, alguns perfis de estratégia de Cournot são mantidos como equilíbrios de Nash, mas podem ser eliminados como ameaças incríveis (conforme descrito acima) aplicando o conceito de solução de perfeição de subjogo . Na verdade, é exatamente o que torna um perfil de estratégia de Cournot um equilíbrio de Nash em um jogo Stackelberg que o impede de ser um subjogo perfeito.

Considere um jogo Stackelberg (ou seja, aquele que preenche os requisitos descritos acima para sustentar um equilíbrio de Stackelberg) no qual, por algum motivo, o líder acredita que qualquer ação que tomar, o seguidor escolherá uma quantidade de Cournot (talvez o líder acredite que o seguidor é irracional). Se o líder fez uma ação de Stackelberg, (acredita) que o seguidor jogará Cournot. Portanto, não é ideal para o líder jogar com Stackelberg. Na verdade, sua melhor resposta (pela definição do equilíbrio de Cournot) é jogar a quantidade de Cournot. Depois de fazer isso, a melhor resposta do seguidor é jogar Cournot.

Considere os seguintes perfis de estratégia: o líder joga Cournot; o seguidor joga Cournot se o líder joga Cournot e o seguidor joga Stackelberg se o líder joga Stackelberg e se o líder joga outra coisa, o seguidor joga uma estratégia arbitrária (portanto, isso na verdade descreve vários perfis). Este perfil é um equilíbrio de Nash. Como argumentado acima, no caminho do equilíbrio, o jogo é a melhor resposta a uma melhor resposta. No entanto, jogar Cournot não teria sido a melhor resposta do líder se o seguidor jogasse Stackelberg se ele (o líder) jogasse Stackelberg. Nesse caso, a melhor resposta do líder seria jogar Stackelberg. Portanto, o que torna esse perfil (ou melhor, esses perfis) um equilíbrio de Nash (ou melhor, equilíbrios de Nash) é o fato de que o seguidor jogaria não-Stackelberg se o líder jogasse Stackelberg.

No entanto, esse mesmo fato (que o seguidor jogaria não-Stackelberg se o líder jogasse Stackelberg) significa que esse perfil não é um equilíbrio de Nash do subjogo começando quando o líder já jogou Stackelberg (um subjogo fora do caminho de equilíbrio) . Se o líder já jogou Stackelberg, a melhor resposta do seguidor é jogar Stackelberg (e, portanto, é a única ação que produz um equilíbrio de Nash neste subjogo). Portanto, o perfil da estratégia - que é Cournot - não é um subjogo perfeito.

Comparação com outros modelos de oligopólio

Em comparação com outros modelos de oligopólio,

• A saída agregada de Stackelberg é maior que a saída agregada de Cournot, mas menor que a saída agregada de Bertrand .
• O preço de Stackelberg é inferior ao preço de Cournot, mas maior do que o preço de Bertrand.
• O excedente do consumidor de Stackelberg é maior do que o excedente do consumidor de Cournot, mas menor do que o excedente do consumidor de Bertrand.
• A produção agregada de Stackelberg é maior do que o monopólio ou cartel puro , mas menor do que a produção perfeitamente competitiva .
• O preço de Stackelberg é inferior ao preço do monopólio puro ou do cartel, mas maior do que o preço perfeitamente competitivo.

Formulários

O conceito Stackelberg foi estendido para jogos Stackelberg dinâmicos. Com o acréscimo do tempo como dimensão, foram descobertos fenômenos não encontrados nos jogos estáticos, como a violação do princípio da otimalidade pelo líder.

Nos últimos anos, os jogos Stackelberg foram aplicados no domínio da segurança. Nesse contexto, o defensor (líder) desenha uma estratégia para proteger um recurso, de forma que o recurso permaneça seguro independentemente da estratégia adotada pelo atacante (seguidor). Os jogos diferenciais de Stackelberg também são usados ​​para modelar cadeias de suprimentos e canais de marketing . Outras aplicações de jogos Stackelberg incluem redes heterogêneas , robótica , condução autónoma e redes elétricas .

Veja também

• Teoria econômica
• Competição de Cournot
• Competição Bertrand
• Jogo extenso de forma
• Organização industrial
• Programação matemática com restrições de equilíbrio

Referências

• H. von Stackelberg, Market Structure and Equilibrium: 1st Edition Translation to English, Bazin, Urch & Hill, Springer 2011, XIV, 134 p., ISBN  978-3-642-12585-0
• Fudenberg, D. e Tirole, J. (1993) Game Theory , MIT Press. (ver Capítulo 3, seção 1)
• Gibbons, R. (1992) A primer in game theory , Harvester-Wheatsheaf. (ver Capítulo 2, seção 1B)
• Osborne, MJ e Rubenstein, A. (1994) A Course in Game Theory , MIT Press (ver p. 97-98)
• Oligoply Theory made Simple , Capítulo 6 de Surfing Economics por Huw Dixon .