Projeção vetorial - Vector projection
A projeção vetorial de um vetor a sobre (ou sobre) um vetor diferente de zero b , às vezes denotado (também conhecido como o componente vetorial ou resolução vetorial de a na direção de b ), é a projeção ortogonal de a em uma linha reta paralela a b . É um vetor paralelo a b , definido como:
onde é um escalar, chamado de projeção escalar de a em b , e b̂ é o vetor unitário na direção de b .
Por sua vez, a projeção escalar é definida como:
onde o operador ⋅ denota um produto escalar , ‖ a ‖ é o comprimento de a , e θ é o ângulo entre a e b .
O que finalmente dá:
A projeção escalar é igual ao comprimento da projeção vetorial, com um sinal de menos se a direção da projeção for oposta à direção de b . O componente vetorial ou vetor resoluto de a perpendicular a b , às vezes também chamado de rejeição vetorial de a de b (denotado ), é a projeção ortogonal de a no plano (ou, em geral, hiperplano ) ortogonal a b . Tanto a projeção a 1 quanto a rejeição a 2 de um vetor a são vetores, e sua soma é igual a a , o que implica que a rejeição é dada por:
Notação
Tipicamente, um vector de projecção é indicada em negrito (por exemplo, um 1 ), e a projecção escalar correspondente com fonte normal (por exemplo, um 1 ). Em alguns casos, especialmente em escrita, a projecção vector é também denotado usando um diacrítico acima ou abaixo da letra (por exemplo, ou uma 1 ). A projeção vetorial de a sobre b e a rejeição correspondente às vezes são denotadas por a ∥ b e a ⊥ b , respectivamente.
Definições baseadas no ângulo θ
Projeção escalar
A projeção escalar de a em b é um escalar igual a
onde θ é o ângulo entre a e b .
Uma projeção escalar pode ser usada como um fator de escala para calcular a projeção vetorial correspondente.
Projeção vetorial
A projeção vetorial de a sobre b é um vetor cuja magnitude é a projeção escalar de a sobre b com a mesma direção de b . Ou seja, é definido como
onde é a projeção escalar correspondente, conforme definido acima, e é o vetor unitário com a mesma direção de b :
Rejeição de vetor
Por definição, a rejeição de vetor de a em b é:
Por isso,
Definições em termos de a e b
Quando θ não é conhecido, o cosseno de θ pode ser calculado em termos de a e b , pela seguinte propriedade do produto escalar a ⋅ b
Projeção escalar
Pela propriedade acima mencionada do produto escalar, a definição da projeção escalar torna-se:
Em duas dimensões, isso se torna
Projeção vetorial
Da mesma forma, a definição da projeção vetorial de a sobre b torna-se:
que é equivalente a qualquer um
ou
Rejeição escalar
Em duas dimensões, a rejeição escalar é equivalente para a projecção de um na , que é rodado 90 ° para a esquerda. Por isso,
Esse produto escalar é chamado de "produto escalar perp".
Rejeição de vetor
Por definição,
Por isso,
Propriedades
Projeção escalar
A projeção escalar a sobre b é um escalar com sinal negativo se 90 graus < θ ≤ 180 graus . Ele coincide com o comprimento ‖ c ‖ da projeção do vetor se o ângulo for menor que 90 °. Mais exatamente:
- a 1 = ‖ a 1 ‖ se 0 ° ≤ θ ≤ 90 °,
- a 1 = −‖ a 1 ‖ se 90 ° < θ ≤ 180 °.
Projeção vetorial
A projeção vetorial de a sobre b é um vetor a 1 que é nulo ou paralelo a b . Mais exatamente:
- a 1 = 0 se θ = 90 °,
- a 1 e b têm a mesma direção se 0 ° ≤ θ <90 °,
- a 1 e b têm direções opostas se 90 ° < θ ≤ 180 °.
Rejeição de vetor
O vetor de rejeição de a em b é um vetor a 2 que é nulo ou ortogonal a b . Mais exatamente:
- a 2 = 0 se θ = 0 ° ou θ = 180 °,
- a 2 é ortogonal a b se 0 < θ <180 °,
Representação matricial
A projeção ortogonal pode ser representada por uma matriz de projeção. Para projetar um vetor no vetor unitário a = ( a x , a y , a z ), ele precisaria ser multiplicado por esta matriz de projeção:
Usos
A projeção vetorial é uma operação importante na ortonormalização de Gram-Schmidt de bases do espaço vetorial . Ele também é usado no teorema do eixo de separação para detectar se duas formas convexas se cruzam.
Generalizações
Uma vez que as noções de comprimento de vetor e ângulo entre vetores podem ser generalizadas para qualquer espaço de produto interno n- dimensional , isso também é verdadeiro para as noções de projeção ortogonal de um vetor, projeção de um vetor em outro e rejeição de um vetor de outro .
Em alguns casos, o produto interno coincide com o produto escalar. Sempre que eles não coincidem, o produto interno é usado em vez do produto escalar nas definições formais de projeção e rejeição. Para um espaço de produto interno tridimensional , as noções de projeção de um vetor em outro e rejeição de um vetor de outro podem ser generalizadas para as noções de projeção de um vetor em um plano e rejeição de um vetor de um plano. A projeção de um vetor em um plano é sua projeção ortogonal nesse plano. A rejeição de um vetor de um plano é sua projeção ortogonal em uma linha reta ortogonal a esse plano. Ambos são vetores. O primeiro é paralelo ao plano, o segundo é ortogonal.
Para um determinado vetor e plano, a soma da projeção e rejeição é igual ao vetor original. Da mesma forma, para espaços de produto interno com mais de três dimensões, as noções de projeção em um vetor e rejeição de um vetor podem ser generalizadas para as noções de projeção em um hiperplano e rejeição de um hiperplano . Na álgebra geométrica , eles podem ser generalizados para as noções de projeção e rejeição de um multivetor geral para / de qualquer k- lâmina invertível .