Quadrilátero Saccheri - Saccheri quadrilateral

Quadriláteros Saccheri

Um quadrilátero Saccheri (também conhecido como quadrilátero Khayyam – Saccheri ) é um quadrilátero com dois lados iguais perpendiculares à base. Seu nome é uma homenagem a Giovanni Gerolamo Saccheri , que o usou extensivamente em seu livro Euclides ab omni naevo vindicatus (literalmente Euclides Liberto de Cada Falha) publicado pela primeira vez em 1733, uma tentativa de provar o postulado paralelo usando o método Reductio ad absurdum .

A primeira consideração conhecida do quadrilátero Saccheri foi feita por Omar Khayyam no final do século 11, e pode ocasionalmente ser referido como quadrilátero Khayyam-Saccheri.

Para um quadrilátero de Saccheri ABCD, os lados AD e BC (também chamados de pernas) são iguais em comprimento e também perpendiculares à base AB. O CD superior é o cume ou base superior e os ângulos em C e D são chamados de ângulos de cume.

A vantagem de usar quadriláteros de Saccheri ao considerar o postulado paralelo é que eles colocam as opções mutuamente exclusivas em termos muito claros:

Os ângulos do cume são ângulos retos, ângulos obtusos ou ângulos agudos?

Acontece que:

• quando os ângulos do ápice são ângulos retos, a existência desse quadrilátero é equivalente à afirmação exposta pelo quinto postulado de Euclides.
• Quando os ângulos do ápice são agudos, este quadrilátero leva à geometria hiperbólica , e
• quando os ângulos do ápice são obtusos, o quadrilátero leva à geometria elíptica ou esférica (desde que também algumas outras modificações sejam feitas aos postulados).

O próprio Saccheri, entretanto, achava que tanto os casos obtusos quanto os agudos podiam ser contraditórios . Ele mostrou que o caso obtuso era contraditório, mas falhou em lidar adequadamente com o caso agudo.

História

Os quadriláteros de Saccheri foram considerados pela primeira vez por Omar Khayyam (1048-1131) no final do século 11 no Livro I das Explicações das Dificuldades nos Postulados de Euclides . Ao contrário de muitos comentaristas sobre Euclides antes e depois dele (incluindo, é claro, Saccheri), Khayyam não estava tentando provar o postulado paralelo como tal, mas derivá-lo de um postulado equivalente que formulou a partir dos "princípios do Filósofo" ( Aristóteles ):

Duas linhas retas convergentes se cruzam e é impossível para duas linhas retas convergentes divergir na direção para a qual convergem.

Khayyam então considerou os três casos certos, obtusos e agudos que os ângulos de cume de um quadrilátero de Saccheri podem assumir e depois de provar uma série de teoremas sobre eles, ele (corretamente) refutou os casos obtusos e agudos com base em seu postulado e, portanto, derivou o postulado clássico de Euclides.

Foi só 600 anos depois que Giordano Vitale avançou sobre Khayyam em seu livro Euclide restituo (1680, 1686), quando usou o quadrilátero para provar que se três pontos são equidistantes na base AB e no cume CD, então AB e CD são equidistantes em todos os lugares.

O próprio Saccheri baseou toda a sua prova longa e, em última análise, falha do postulado paralelo em torno do quadrilátero e seus três casos, provando muitos teoremas sobre suas propriedades ao longo do caminho.

Quadriláteros de Saccheri em geometria hiperbólica

Seja ABCD um quadrilátero de Saccheri tendo AB como base , CD como cume e CA e DB como os lados iguais que são perpendiculares à base. As seguintes propriedades são válidas em qualquer quadrilátero de Saccheri em geometria hiperbólica :

• Os ângulos do ápice (os ângulos em C e D ) são iguais e agudos.
• O cume é mais longo que a base .
• Dois quadriláteros Saccheri são congruentes se:
  • os segmentos de base e os ângulos do cume são congruentes
  • os segmentos do cume e os ângulos do cume são congruentes.
• O segmento de linha que une o ponto médio da base e o ponto médio do cume:
  • É perpendicular à base e ao cume,
  • é a única linha de simetria do quadrilátero,
  • é o segmento mais curto que conecta a base e o cume,
  • é perpendicular à linha que une os pontos médios dos lados,
  • divide o quadrilátero Saccheri em dois quadriláteros de Lambert .
• O segmento de linha que une os pontos médios dos lados não é perpendicular a nenhum dos lados.

Equações

No plano hiperbólico de curvatura constante , o cume de um quadrilátero de Saccheri pode ser calculado a partir da perna e da base usando a fórmula ${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ cosh s = (\ cosh b-1) \ cosh ^ {2} l + 1 = \ cosh b \ cdot \ cosh ^ {2} l- \ sinh ^ {2} l}$

${\ displaystyle \ sinh \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) = \ cosh \ left (l \ right) \ sinh \ left ({\ frac {b} {2}} \ right)}$

Tilings no modelo de disco de Poincaré

Existem títulos do modelo de disco de Poincaré do plano hiperbólico tendo quadriláteros de Saccheri como domínios fundamentais . Além dos 2 ângulos retos, esses quadriláteros têm ângulos de pico agudos. As telhas exibem uma simetria * nn22 ( notação orbifold ) e incluem:

* 3322 simetria

* Simetria ∞∞22

Veja também

• Quadrilátero de Lambert

Notas

Referências

• Coxeter, HSM (1998), Non-Euclidean Geometry (6ª ed.), Washington, DC: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• MJ Greenberg , Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History , 4ª edição, WH Freeman, 2008.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane , Springer-Verlag, 1975