Postulado paralelo - Parallel postulate

Se a soma dos ângulos internos α e β for menor que 180 °, as duas retas, produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado.

Em geometria , o postulado paralelo , também chamado Euclides quinto postulado 's porque é o quinto postulado de Euclides Elements , é um distintivo axioma em geometria euclidiana . Ele afirma que, na geometria bidimensional:

Se um segmento de linha cruza duas linhas retas formando dois ângulos internos no mesmo lado que somam menos de dois ângulos retos , então as duas linhas, se estendidas indefinidamente, se encontram naquele lado em que os ângulos somam menos de dois ângulos retos.

Este postulado não fala especificamente sobre linhas paralelas; é apenas um postulado relacionado ao paralelismo. Euclides deu a definição de linhas paralelas no Livro I, Definição 23, pouco antes dos cinco postulados.

A geometria euclidiana é o estudo da geometria que satisfaz todos os axiomas de Euclides, incluindo o postulado paralelo.

O postulado foi considerado por muito tempo óbvio ou inevitável, mas as provas eram elusivas. Eventualmente, descobriu-se que inverter o postulado dava geometrias válidas, embora diferentes. Uma geometria em que o postulado paralelo não se sustenta é conhecida como geometria não euclidiana . A geometria que é independente do quinto postulado de Euclides (isto é, assume apenas o equivalente moderno dos primeiros quatro postulados) é conhecida como geometria absoluta (ou às vezes "geometria neutra").

Propriedades equivalentes

Provavelmente, o equivalente mais conhecido do postulado paralelo de Euclides, dependente de seus outros postulados, é o axioma de Playfair , em homenagem ao matemático escocês John Playfair , que afirma:

Em um plano, dada uma linha e um ponto que não está nele, no máximo uma linha paralela à linha dada pode ser traçada através do ponto.

Este axioma por si só não é logicamente equivalente ao postulado do paralelo euclidiano, uma vez que existem geometrias em que uma é verdadeira e a outra não. No entanto, na presença dos axiomas restantes que fornecem a geometria euclidiana, cada um deles pode ser usado para provar o outro, de modo que são equivalentes no contexto da geometria absoluta .

Muitas outras afirmações equivalentes ao postulado paralelo foram sugeridas, algumas delas parecendo inicialmente não relacionadas ao paralelismo, e algumas parecendo tão evidentes que foram inconscientemente assumidas por pessoas que alegaram ter provado o postulado paralelo de outros postulados de Euclides. . Essas declarações equivalentes incluem:

  1. Há, no máximo, uma linha que pode ser traçada paralela a outra, dada por meio de um ponto externo. ( Axioma da Playfair )
  2. A soma dos ângulos em cada triângulo é 180 ° ( postulado do triângulo ).
  3. Existe um triângulo cujos ângulos somam 180 °.
  4. A soma dos ângulos é a mesma para todos os triângulos.
  5. Existe um par de triângulos semelhantes , mas não congruentes .
  6. Cada triângulo pode ser circunscrito .
  7. Se três ângulos de um quadrilátero são ângulos retos , o quarto ângulo também é um ângulo reto.
  8. Existe um quadrilátero em que todos os ângulos são ângulos retos, ou seja, um retângulo .
  9. Existe um par de linhas retas que estão a uma distância constante uma da outra.
  10. Duas linhas paralelas à mesma linha também são paralelas entre si.
  11. Em um triângulo retângulo , o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados ( Teorema de Pitágoras ).
  12. A Lei dos cossenos , uma generalização do Teorema de Pitágoras.
  13. Não há limite superior para a área de um triângulo. ( Axioma de Wallis )
  14. Os ângulos do ápice do quadrilátero de Saccheri são 90 °.
  15. Se uma linha cruza uma das duas linhas paralelas, ambas coplanares com a linha original, então ela também cruza a outra. ( Axioma de Proclo )

No entanto, as alternativas que empregam a palavra "paralelo" deixam de parecer tão simples quando somos obrigados a explicar qual das quatro definições comuns de "paralelo" se refere - separação constante, nunca se encontrando, mesmos ângulos onde são cruzados por alguma terceira linha, ou os mesmos ângulos foram cruzados por qualquer terceira linha - uma vez que a equivalência desses quatro é em si uma das suposições inconscientemente óbvias equivalente ao quinto postulado de Euclides. Na lista acima, é sempre considerado como se referindo a linhas que não se cruzam. Por exemplo, se a palavra "paralelo" no axioma de Playfair significa 'separação constante' ou 'mesmos ângulos cruzados por qualquer terceira linha', então não é mais equivalente ao quinto postulado de Euclides, e pode ser provado a partir dos quatro primeiros (o axioma diz 'Há no máximo uma linha ...', o que é consistente com a inexistência de tais linhas). No entanto, se a definição for tomada de forma que as linhas paralelas são linhas que não se cruzam, ou que têm alguma linha cruzando-as nos mesmos ângulos, o axioma de Playfair é contextualmente equivalente ao quinto postulado de Euclides e, portanto, é logicamente independente dos primeiros quatro postulados. Observe que as duas últimas definições não são equivalentes, porque na geometria hiperbólica a segunda definição é válida apenas para linhas ultraparalelas .

História

Por dois mil anos, muitas tentativas foram feitas para provar o postulado paralelo usando os primeiros quatro postulados de Euclides. A principal razão pela qual tal prova foi tão procurada foi que, ao contrário dos primeiros quatro postulados, o postulado paralelo não é autoevidente. Se a ordem em que os postulados foram listados nos Elementos for significativa, isso indica que Euclides incluiu esse postulado apenas quando percebeu que não poderia prová-lo ou prosseguir sem ele. Muitas tentativas foram feitas para provar o quinto postulado a partir dos outros quatro, muitos deles sendo aceitos como provas por longos períodos até que o erro fosse encontrado. Invariavelmente, o erro foi assumir alguma propriedade "óbvia" que acabou por ser equivalente ao quinto postulado ( axioma de Playfair ). Embora conhecido desde a época de Proclus, ficou conhecido como Axioma de Playfair depois que John Playfair escreveu um famoso comentário sobre Euclides em 1795 no qual propôs substituir o quinto postulado de Euclides por seu próprio axioma.

Proclus (410-485) escreveu um comentário sobre Os Elementos, onde comenta as tentativas de prova para deduzir o quinto postulado dos outros quatro; em particular, ele observa que Ptolomeu havia produzido uma falsa 'prova'. Proclo então dá uma prova falsa de sua autoria. No entanto, ele deu um postulado que é equivalente ao quinto postulado.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), um matemático árabe , fez uma tentativa de provar o postulado paralelo usando uma prova por contradição , no decorrer da qual ele introduziu o conceito de movimento e transformação em geometria. Ele formulou o quadrilátero de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld chama de "quadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert", e sua tentativa de prova contém elementos semelhantes aos encontrados nos quadriláteros de Lambert e no axioma de Playfair .

O matemático, astrônomo, filósofo e poeta persa Omar Khayyám (1050-1123), tentou provar o quinto postulado de outro postulado explicitamente dado (com base no quarto dos cinco princípios devidos ao Filósofo ( Aristóteles ), a saber, "Dois linhas retas convergentes se cruzam e é impossível para duas linhas retas convergentes divergirem na direção para a qual convergem. "Ele derivou alguns dos resultados anteriores pertencentes à geometria elíptica e à geometria hiperbólica , embora seu postulado excluísse a última possibilidade. O quadrilátero de Saccheri também foi considerado pela primeira vez por Omar Khayyám no final do século 11 no Livro I das Explicações das Dificuldades nos Postulados de Euclides . Ao contrário de muitos comentaristas sobre Euclides antes e depois dele (incluindo Giovanni Girolamo Saccheri ), Khayyám não estava tentando provar o paralelo postulado como tal, mas para derivá-lo de seu postulado equivalente. Ele reconheceu que três possibilidades surgiram da omissão de Euclides quinto postulado de; se duas perpendiculares a uma linha cruzam outra linha, a escolha criteriosa da última pode tornar iguais os ângulos internos onde ela encontra as duas perpendiculares (é então paralelo à primeira linha). Se esses ângulos internos iguais são ângulos retos, obtemos o quinto postulado de Euclides, caso contrário, eles devem ser agudos ou obtusos. Ele mostrou que os casos agudos e obtusos levavam a contradições usando seu postulado, mas agora se sabe que seu postulado é equivalente ao quinto postulado.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), em seu Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discussão que remove a dúvida sobre as linhas paralelas ) (1250), escreveu críticas detalhadas do postulado paralelo e na tentativa de prova de Khayyám um século antes. Nasir al-Din tentou derivar uma prova por contradição do postulado paralelo. Ele também considerou os casos do que agora é conhecido como geometria elíptica e hiperbólica, embora tenha descartado ambos.

Geometria euclidiana, elíptica e hiperbólica. O postulado paralelo é satisfeito apenas para modelos de geometria euclidiana.

O filho de Nasir al-Din, Sadr al-Din (às vezes conhecido como " Pseudo-Tusi "), escreveu um livro sobre o assunto em 1298, baseado nos pensamentos posteriores de seu pai, que apresentou um dos primeiros argumentos para uma hipótese não-euclidiana equivalente ao postulado paralelo. "Ele essencialmente revisou o sistema euclidiano de axiomas e postulados e as provas de muitas proposições dos Elementos ." Seu trabalho foi publicado em Roma em 1594 e estudado por geômetras europeus. Esta obra marcou o ponto de partida para a obra de Saccheri sobre o assunto, que se abriu com uma crítica à obra de Sadr al-Din e à obra de Wallis.

Giordano Vitale (1633-1711), em seu livro Euclide restituo (1680, 1686), usou o quadrilátero de Khayyam-Saccheri para provar que se três pontos são equidistantes na base AB e no cume CD, então AB e CD são equidistantes em todos os lugares. Girolamo Saccheri (1667-1733) seguiu a mesma linha de raciocínio mais profundamente, obtendo corretamente o absurdo do caso obtuso (procedendo, como Euclides, da suposição implícita de que as linhas podem ser estendidas indefinidamente e ter comprimento infinito), mas falhando em refutar o caso agudo (embora ele tenha conseguido erroneamente se convencer de que sim).

Em 1766, Johann Lambert escreveu, mas não publicou, Theorie der Parallellinien, na qual ele tentou, como fez Saccheri, provar o quinto postulado. Ele trabalhou com uma figura que hoje chamamos de quadrilátero de Lambert , um quadrilátero com três ângulos retos (pode ser considerado a metade de um quadrilátero de Saccheri). Ele eliminou rapidamente a possibilidade de que o quarto ângulo fosse obtuso, como Saccheri e Khayyám, e então passou a provar muitos teoremas sob a suposição de um ângulo agudo. Ao contrário de Saccheri, ele nunca sentiu que havia chegado a uma contradição com essa suposição. Ele provou o resultado não euclidiano de que a soma dos ângulos em um triângulo aumenta à medida que a área do triângulo diminui, e isso o levou a especular sobre a possibilidade de um modelo do caso agudo em uma esfera de raio imaginário. Ele não levou essa ideia adiante.

Enquanto Khayyám e Saccheri tentaram provar o quinto de Euclides desmentindo as únicas alternativas possíveis, o século XIX finalmente viu os matemáticos explorando essas alternativas e descobrindo as geometrias logicamente consistentes resultantes. Em 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicou um relato de geometria aguda em um obscuro jornal russo (mais tarde republicado em 1840 em alemão). Em 1831, János Bolyai incluiu, em um livro de seu pai, um apêndice descrevendo a geometria aguda, que, sem dúvida, ele havia desenvolvido independentemente de Lobachevsky. Carl Friedrich Gauss também estudou o problema, mas não publicou nenhum de seus resultados. Ao ouvir sobre os resultados de Bolyai em uma carta do pai de Bolyai, Farkas Bolyai , Gauss declarou:

“Se eu começar dizendo que não posso elogiar esta obra, certamente você ficaria surpreso por um momento. Mas não posso dizer o contrário. Elogiar seria elogiar a mim mesmo. Na verdade, todo o conteúdo da obra, o caminho percorrido por seu filho, os resultados aos quais ele é conduzido coincidem quase inteiramente com minhas meditações, que ocuparam minha mente em parte nos últimos trinta ou trinta e cinco anos. "

As geometrias resultantes foram posteriormente desenvolvidas por Lobachevsky , Riemann e Poincaré em geometria hiperbólica (o caso agudo) e geometria elíptica (o caso obtuso). A independência do postulado paralelo dos outros axiomas de Euclides foi finalmente demonstrada por Eugenio Beltrami em 1868.

Converse do postulado paralelo de Euclides

O inverso do postulado paralelo: se a soma dos dois ângulos internos for igual a 180 °, então as linhas são paralelas e nunca se cruzarão.

Euclides não postulou o inverso de seu quinto postulado, que é uma maneira de distinguir a geometria euclidiana da geometria elíptica . Os Elementos contém a prova de uma afirmação equivalente (Livro I, Proposição 27): Se uma linha reta caindo em duas linhas retas torna os ângulos alternados iguais um ao outro, as linhas retas serão paralelas entre si. Como De Morgan apontou, isso é logicamente equivalente a (Livro I, Proposição 16). Esses resultados não dependem do quinto postulado, mas requerem o segundo postulado, que é violado na geometria elíptica.

Crítica

As tentativas de provar logicamente o postulado paralelo, ao invés do oitavo axioma, foram criticadas por Arthur Schopenhauer em O mundo como vontade e ideia . No entanto, o argumento usado por Schopenhauer era que o postulado é evidente pela percepção, não que não fosse uma consequência lógica dos outros axiomas.

Decomposição do postulado paralelo

O postulado paralelo é equivalente, como mostrado em, à conjunção do Lotschnittaxiom e do axioma de Aristóteles . O primeiro afirma que as perpendiculares aos lados de um ângulo reto se cruzam, enquanto o último afirma que não há limite superior para os comprimentos das distâncias da perna de um ângulo à outra perna. Conforme mostrado em, o postulado paralelo é equivalente à conjunção das seguintes formas geométricas de incidência de Lotschnittaxiom e do axioma de Aristóteles :

Dadas três linhas paralelas, há uma linha que cruza todas as três.

Dada uma linha a e duas linhas distintas que se cruzam m e n, cada uma diferente de a, existe uma linha g que cruza a e m, mas não n.

Veja também

Notas

Referências

links externos

Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , recuperado em 23/01/2008.