Grupo Cubo de Rubik -Rubik's Cube group

O grupo Rubik's Cube é um grupo que representa a estrutura do quebra-cabeça mecânico do Rubik's Cube . Cada elemento do conjunto corresponde a um movimento do cubo, que é o efeito de qualquer sequência de rotações das faces do cubo. Com essa representação, não apenas qualquer movimento do cubo pode ser representado, mas também qualquer posição do cubo, detalhando os movimentos do cubo necessários para girar o cubo resolvido para essa posição. De fato, com a posição resolvida como ponto de partida, há uma correspondência biunívoca entre cada uma das posições legais do Cubo de Rubik e os elementos de . A operação de grupo é a composição${\displaystyle (G,\cdot)}$ ${\estilo de exibição G}$${\estilo de exibição G}$ ${\ estilo de exibição \ cdot }$de movimentos do cubo, correspondendo ao resultado da execução de um movimento do cubo após o outro.

O grupo Cubo de Rubik é construído rotulando cada uma das 48 facetas não centrais com os inteiros de 1 a 48. Cada configuração do cubo pode ser representada como uma permutação dos rótulos de 1 a 48, dependendo da posição de cada faceta. Usando esta representação, o cubo resolvido é a permutação de identidade que deixa o cubo inalterado, enquanto os doze movimentos do cubo que giram uma camada do cubo 90 graus são representados por suas respectivas permutações. O grupo Cubo de Rubik é o subgrupo do grupo simétrico gerado pelas seis permutações correspondentes aos seis movimentos do cubo no sentido horário. Com esta construção, qualquer configuração do cubo alcançável através de uma sequência de movimentos do cubo está dentro do grupo. Seu funcionamento refere-se à composição de duas permutações; dentro do cubo, isso se refere à combinação de duas sequências de movimentos do cubo, fazendo um após o outro. O grupo do cubo de Rubik não é abeliano , pois a composição dos movimentos do cubo não é comutativa ; fazer duas sequências de movimentos do cubo em uma ordem diferente pode resultar em uma configuração diferente. ${\displaystyle S_{48}}$ ${\ estilo de exibição \ cdot }$

Movimentos do cubo

Um cubo de Rubik consiste em faces , cada uma com quadrados coloridos chamados facetas, para um total de facetas. Um cubo resolvido tem todas as facetas em cada face com a mesma cor. ${\displaystyle 3\vezes 3\vezes 3}$${\estilo de exibição 6}$ ${\estilo de exibição 9}$${\estilo de exibição 54}$

Um movimento de cubo gira uma das faces: ou (meia volta métrica). Uma faceta central gira em torno de seu eixo, mas permanece na mesma posição. ${\estilo de exibição 6}$${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ }}$${\displaystyle -90^{\circ }}$

Os movimentos do cubo são descritos com a notação Singmaster :

Básico 90°	180°	-90°
${\estilo de exibição F}$gira a frente no sentido horário	${\estilo de exibição F^{2}}$gira a frente no sentido horário duas vezes	${\displaystyle F^{\prime }}$gira a frente no sentido anti-horário
${\estilo de exibição B}$gira as costas no sentido horário	${\estilo de exibição B^{2}}$gira as costas no sentido horário duas vezes	${\displaystyle B^{\prime }}$gira as costas no sentido anti-horário
${\estilo de exibição U}$gira a parte superior no sentido horário	${\displaystyle U^{2}}$gira a parte superior no sentido horário duas vezes	${\displaystyle U^{\prime }}$gira a parte superior no sentido anti-horário
${\estilo de exibição D}$gira a parte inferior no sentido horário	${\displaystyle D^{2}}$gira a parte inferior no sentido horário duas vezes	${\displaystyle D^{\prime }}$gira a parte inferior no sentido anti-horário
${\estilo de exibição L}$gira a face esquerda no sentido horário	${\estilo de exibição L^{2}}$gira a face esquerda no sentido horário duas vezes	${\displaystyle L^{\prime }}$gira a face esquerda no sentido anti-horário
${\estilo de exibição R}$gira a face direita no sentido horário	${\displaystyle R^{2}}$gira a face direita no sentido horário duas vezes	${\displaystyle R^{\prime }}$gira a face direita no sentido anti-horário

O movimento vazio é . A concatenação é a mesma que , e é a mesma que . ${\displaystyle E}$${\estilo de exibição LLLL}$${\displaystyle E}$${\estilo de exibição RRR}$${\displaystyle R^{\prime }}$

Estrutura de grupo

Estrutura algébrica → Teoria dos grupos Teoria dos grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de guirlanda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente solucionável açao Glossário de teoria de grupo Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos simples finitos cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupo V Grupo diedro D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z} }$ Grupo gratuito Grupos modulares PSL(2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z} }$ SL(2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z} }$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de mentira Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) O ortogonal ( n ) Euclidiano E( n ) SO ortogonal especial ( n ) U Unitário ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp ( n ) simplético G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Laço Grupo de Mentira de Dimensão Infinita O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutivo variedade abeliana Curva elíptica
v t e

O seguinte usa a notação descrita em Como resolver o Cubo de Rubik . A orientação das seis facetas centrais é fixa.

Podemos identificar cada uma das seis rotações de face como elementos do grupo simétrico no conjunto de facetas não centrais. Mais concretamente, podemos rotular as facetas não centrais pelos números de 1 a 48, e então identificar as seis rotações de face como elementos do grupo simétrico S ₄₈ de acordo com como cada movimento permuta as várias facetas. O grupo do cubo de Rubik, G , é então definido como o subgrupo de S ₄₈ gerado pelas 6 rotações de face, . ${\estilo de exibição \{F,B,U,D,L,R\}}$

A cardinalidade de G é dada por

${\displaystyle |G|=43{,}252{,}003{,}274{,}489{,}856{,}000\,\!=12!\cdot 2^{10}\cdot 8! \cdot 3^{7}=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$.

Apesar de ser tão grande, o Número de Deus para o Cubo de Rubik é 20; isto é, qualquer posição pode ser resolvida em 20 ou menos movimentos (onde meia torção é contada como um único movimento; se meia torção é contada como dois quartos de torção, então o número de Deus é 26).

A maior ordem de um elemento em G é 1260. Por exemplo, um tal elemento de ordem 1260 é

${\displaystyle (RU^{2}D^{-1}BD^{-1})}$.

G é não abeliano pois, por exemplo, não é o mesmo que . Ou seja, nem todos os movimentos do cubo comutam entre si. ${\displaystyle FR}$${\displaystyle RF}$

Subgrupos

Consideramos dois subgrupos de G : Primeiro o subgrupo C _o das orientações dos cubos , os movimentos que deixam a posição de cada bloco fixa, mas podem alterar as orientações dos blocos. Este grupo é um subgrupo normal de G . Pode ser representado como o fechamento normal de alguns movimentos que invertem algumas arestas ou torcem alguns cantos. Por exemplo, é o fechamento normal dos dois movimentos a seguir:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\, \!}$(torcer dois cantos)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!}$(virar duas bordas).

Em segundo lugar, pegamos o subgrupo de permutações de cubos , os movimentos que podem mudar as posições dos blocos, mas deixam a orientação fixa. Para este subgrupo existem várias opções, dependendo da forma precisa como você define a orientação. Uma escolha é o seguinte grupo, dado por geradores (o último gerador é um 3 ciclo nas bordas): ${\estilo de exibição C_{P}}$

${\displaystyle C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^ {\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!}$

Como C _o é um subgrupo normal e a interseção de C _o e C _p é a identidade e seu produto é todo o grupo de cubos, segue-se que o grupo de cubos G é o produto semidireto desses dois grupos. Isso é

${\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,}$

A seguir, podemos examinar mais de perto esses dois grupos. A estrutura de C _o é

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\ }$

uma vez que o grupo de rotações de cada canto (resp. aresta) cubo é (resp. ), e em cada caso todos, exceto um, podem ser girados livremente, mas essas rotações determinam a orientação do último. Observando que existem 8 cantos e 12 arestas, e que todos os grupos de rotação são abelianos, dá a estrutura acima. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

As permutações de cubo, C _p , são um pouco mais complicadas. Ele tem os seguintes dois subgrupos normais disjuntos: o grupo de permutações pares nos vértices A ₈ e o grupo de permutações pares nas arestas A ₁₂ . Complementar a esses dois subgrupos é uma permutação que troca dois cantos e troca duas arestas. Acontece que estes geram todas as permutações possíveis, o que significa

${\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$

Juntando todas as peças, obtemos que o grupo cubo é isomórfico a

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12}) \rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$

Este grupo também pode ser descrito como o produto subdireto

${\displaystyle [(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}}$,

na notação de Griess .

Generalizações

Quando as simetrias da faceta central são levadas em conta, o grupo de simetria é um subgrupo de

${\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

(Essa falta de importância das rotações da faceta central é um exemplo implícito de um grupo quociente em ação, protegendo o leitor do grupo de automorfismo completo do objeto em questão.)

O grupo de simetria do Cubo de Rubik obtido por desmontagem e remontagem é um pouco maior: ou seja, é o produto direto

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{ 2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

O primeiro fator é explicado apenas pelas rotações das peças centrais, o segundo apenas pelas simetrias dos cantos e o terceiro apenas pelas simetrias das bordas. Os dois últimos fatores são exemplos de grupos simétricos generalizados , que são eles próprios exemplos de produtos de grinalda .

Os grupos simples que ocorrem como quocientes na série de composição do grupo de cubo padrão (ou seja, ignorando as rotações da peça central) são , , (7 vezes) e (12 vezes). ${\estilo de exibição A_{8}}$${\estilo de exibição A_{12}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Aulas de conjugação

Foi relatado que o Rubik's Cube Group possui 81.120 classes de conjugação . O número foi calculado contando o número de classes de conjugação pares e ímpares nos grupos de borda e canto separadamente e depois multiplicando-os, garantindo que a paridade total seja sempre par. Cuidado especial deve ser tomado para contar as chamadas classes de conjugação sensíveis à paridade , cujos elementos sempre diferem quando conjugados com qualquer elemento par versus qualquer elemento ímpar.

Número de classes de conjugação no Grupo do Cubo de Rubik e vários subgrupos

Grupo	Nem mesmo	Não. estranho	Não. ps	Total
Posições de canto	12	10	2	22
Posições de borda	40	37	3	77
Todas as posições				856
Cantos	140	130	10	270
Arestas	308	291	17	599
Cubo Inteiro				81.120

Veja também

Notas

Referências