Romboedro - Rhombohedron

Romboedro
Modelo	prisma
Rostos	6 losangos
Arestas	12
Vértices	8
Grupo de simetria	C i , [2 + , 2 + ], (×), ordem 2
Propriedades	convexo , zonoedro

Na geometria , um romboedro (também chamado de hexaedro rômbico ) é uma figura tridimensional com seis faces que são rombos . É um caso especial de paralelepípedo em que todas as arestas têm o mesmo comprimento. Ele pode ser usado para definir o sistema de rede romboédrica , um favo de mel com células romboédricas. Um cubo é um caso especial de romboedro com todos os lados quadrados .

Em geral, um romboedro pode ter até três tipos de faces rômbicas em pares opostos congruentes, simetria C _i , ordem 2.

Quatro pontos formando vértices não adjacentes de um romboedro necessariamente formam os quatro vértices de um tetraedro ortocêntrico , e todos os tetraedros ortocêntricos podem ser formados dessa maneira.

Sistema de rede romboédrica

O sistema de rede romboédrica tem células romboédricas, com 3 pares de faces rômbicas únicas:

Casos especiais por simetria

Forma	Cubo	Trapezoedro trigonal	Prisma rômbico direito	Prisma rômbico oblíquo
Restrições de ângulo	α = β = γ = 90 °	α = β = γ	α = β = 90 °	α = β
Simetria	O h pedido 48	D 3d pedido 12	D 2h pedido 8	C 2h ordem 4
Rostos	6 quadrados	6 losangos congruentes	2 losangos, 4 quadrados	6 losangos

• Cubo : comsimetria O _h , ordem 48. Todas as faces são quadrados.
• Trapézio triangular (também chamado de romboedro isohédrico ou hexaedro rômbico ): comsimetriaD _3d , ordem 12. Todos os ângulos internos não obtusos das faces são iguais (todas as faces são losangos congruentes). Isso pode ser visto ao esticar um cubo em seu eixo diagonal do corpo. Por exemplo, um octaedro regularcom dois tetraedros regularesanexados em faces opostas constrói um trapezoedro trigonal de 60 graus.
• Prisma rômbico direito : com simetria D _2h , ordem 8. É constituído por dois losangos e quatro quadrados. Isso pode ser visto ao esticar um cubo em seu eixo diagonal da face. Por exemplo, dois prismas direitos com bases triangulares regulares unidas formam um prisma rômbico direito de 60 graus .
• Prisma rômbico oblíquo : com simetria C _2h , ordem 4. Possui apenas um plano de simetria, através de quatro vértices, e seis faces rômbicas.

Geometria sólida

Para uma unidade (ou seja: com comprimento lateral 1) romboedro isohédrico, com ângulo agudo rômbico , com um vértice na origem (0, 0, 0) e com uma borda situada ao longo do eixo x, os três vetores geradores são ${\ displaystyle \ theta ~}$

e ₁  :${\ displaystyle {\ biggl (} 1,0,0 {\ biggr)},}$

e ₂  :${\ displaystyle {\ biggl (} \ cos \ theta, \ sin \ theta, 0 {\ biggr)},}$

e ₃  :${\ displaystyle {\ biggl (} \ cos \ theta, {\ cos \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ over \ sin \ theta}, {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ over \ sin \ theta} {\ biggr)}.}$

As outras coordenadas podem ser obtidas a partir da adição vetorial dos 3 vetores de direção: e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₃ , e ₂ + e ₃ e e ₁ + e ₂ + e ₃ .

O volume de um romboedro isohédrico, em termos de seu comprimento lateral e seu ângulo agudo rômbico , é uma simplificação do volume de um paralelepípedo , e é dado por ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ theta ~}$

${\ displaystyle V = a ^ {3} (1- \ cos \ theta) {\ sqrt {1 + 2 \ cos \ theta}} = a ^ {3} {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} (1 + 2 \ cos \ theta)}} = a ^ {3} {\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} ~.}$

Podemos expressar o volume de outra forma: ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V = 2 {\ sqrt {3}} ~ a ^ {3} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) {\ sqrt {1 - {\ frac {4} {3}} \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}} ~.}$

Como a área da base (rômbica) é dada por , e como a altura de um romboedro é dada por seu volume dividido pela área de sua base, a altura de um romboedro isohédrico em termos de seu comprimento lateral e seu ângulo agudo romboedro É dado por ${\ displaystyle a ^ {2} \ sin \ theta ~}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle h = a ~ {(1- \ cos \ theta) {\ sqrt {1 + 2 \ cos \ theta}} \ over \ sin \ theta} = a ~ {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ sobre \ sin \ theta} ~.}$

Observação:

${\ displaystyle h = a ~ z}$₃ , onde ₃ é a terceira coordenada de e ₃ .${\ displaystyle z}$

A diagonal do corpo entre os vértices em ângulo agudo é a mais longa. Por simetria rotacional em torno dessa diagonal, as outras três diagonais do corpo, entre os três pares de vértices de ângulos obtusos opostos, têm todas o mesmo comprimento.

Veja também

• Listas de formas

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Rhombohedron" . MathWorld .
• Paralelepípedo
• Calculadora de volume https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php