Reciprocidade (redes elétricas) - Reciprocity (electrical networks)

A reciprocidade em redes elétricas é uma propriedade de um circuito que relaciona tensões e correntes em dois pontos. O teorema da reciprocidade afirma que a corrente em um ponto de um circuito devido a uma tensão em um segundo ponto é a mesma que a corrente no segundo ponto devido à mesma tensão no primeiro. O teorema da reciprocidade é válido para quase todas as redes passivas . O teorema da reciprocidade é uma característica de um princípio mais geral de reciprocidade no eletromagnetismo .

Descrição

Se uma corrente , , injectada no porto A produz uma tensão , , a porta B e injectado no canal B produz na conexão A, em seguida, a rede é dito para ser recíproca. Da mesma forma, a reciprocidade pode ser definida pela situação dual; aplicando tensão,, na porta A produzindo corrente na porta B e na porta B produzindo corrente na porta A. Em geral, as redes passivas são recíprocas. Qualquer rede que consiste inteiramente em capacitâncias ideais , indutâncias (incluindo indutâncias mútuas ) e resistências , ou seja, elementos que são lineares e bilaterais , será recíproca. No entanto, existem componentes passivos que não são recíprocos. Qualquer componente contendo material ferromagnético provavelmente não é recíproco. Exemplos de componentes passivos deliberadamente projetados para serem não recíprocos incluem circuladores e isoladores . ${\ displaystyle I _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {B}}}$${\ displaystyle V _ {\ text {A}}}$${\ displaystyle I _ {\ text {B}}}$

A função de transferência de uma rede de reciprocidade tem a propriedade de que ele é simétrico em relação à diagonal principal se expressa em termos de um z-parâmetro , y-parâmetro , ou s-parâmetro matriz. Uma matriz não simétrica implica uma rede não recíproca. Uma matriz simétrica não implica uma rede simétrica .

Em algumas parametizações de redes, a matriz representativa não é simétrica para redes recíprocas. Exemplos comuns são h-parâmetros e ABCD-parâmetros , mas todos eles têm alguma outra condição de reciprocidade que podem ser calculadas a partir dos parâmetros. Para os parâmetros h, a condição é e para os parâmetros ABCD é . Essas representações misturam tensões e correntes no mesmo vetor coluna e, portanto, nem mesmo têm unidades correspondentes nos elementos transpostos . ${\ displaystyle h_ {12} = - h_ {21}}$${\ displaystyle AD-BC = 1}$

Exemplo

Um exemplo de reciprocidade pode ser demonstrado usando um atenuador resistivo assimétrico . Uma rede assimétrica é escolhida como exemplo porque uma rede simétrica é evidentemente recíproca.

A injeção de seis amperes na porta 1 desta rede produz 24 volts na porta 2.

A injeção de seis amperes na porta 2 produz 24 volts na porta 1.

Portanto, a rede é recíproca. Neste exemplo, a porta que não está injetando corrente é deixada em circuito aberto. Isso ocorre porque um gerador de corrente que aplica corrente zero é um circuito aberto. Se, por outro lado, se desejasse aplicar tensões e medir a corrente resultante, então a porta na qual a tensão não é aplicada estaria em curto-circuito. Isso ocorre porque um gerador de tensão aplicando zero volts é um curto-circuito.

Prova

A reciprocidade de redes elétricas é um caso especial de reciprocidade de Lorentz , mas também pode ser comprovada mais diretamente a partir de teoremas de rede. Esta prova mostra reciprocidade para uma rede de dois nós em termos de sua matriz de admitância , e então mostra reciprocidade para uma rede com um número arbitrário de nós por um argumento de indução . Uma rede linear pode ser representada como um conjunto de equações lineares por meio de análise nodal . Essas equações podem ser expressas na forma de uma matriz de admitância,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I_ {1} \\ I_ {2} \\\ vdots \\ I_ {n} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} & \ cdots & Y_ {1n} \\ Y_ {21} & Y_ {22} & \ cdots & Y_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ Y_ {n1} & Y_ {n2} & \ cdots & Y_ {nn} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {1} \\ V_ {2} \\\ vdots \\ V_ {n} \ end {bmatrix}}}$

Onde

${\ displaystyle I_ {k}}$é a corrente injetada no nó k por um gerador

${\ displaystyle V_ {k}}$é a tensão no nó k

${\ displaystyle Y_ {jk}}$( j ≠ k ) é o negativo da admitância conectada entre os nós j e k

${\ displaystyle Y_ {kk}}$é a soma das admitâncias conectadas ao nó k .

Se ainda exigirmos que a rede seja composta de elementos passivos e bilaterais, então

${\ displaystyle Y_ {jk} = Y_ {kj}}$

visto que a admitância conectada entre os nós j e k é o mesmo elemento que a admitância conectada entre os nós k e j . A matriz é, portanto, simétrica. Para o caso em que a matriz se reduz a, ${\ displaystyle n = 2}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} I_ {1} \\ I_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} Y_ {11} & Y_ {12} \\ Y_ {21} & Y_ {22} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {1} \\ V_ {2} \ end {bmatrix}}}$.

Do qual pode ser visto que,

${\ displaystyle Y_ {12} = \ left. {\ frac {I_ {1}} {V_ {2}}} \ right | _ {V_ {1} = 0}}$ e

${\ displaystyle Y_ {21} = \ left. {\ frac {I_ {2}} {V_ {1}}} \ right | _ {V_ {2} = 0} \.}$

Mas desde então, ${\ displaystyle Y_ {12} = Y_ {21}}$

${\ displaystyle \ left. {\ frac {I_ {1}} {V_ {2}}} \ right | _ {V_ {1} = 0} = \ left. {\ frac {I_ {2}} {V_ { 1}}} \ right | _ {V_ {2} = 0}}$

que é sinônimo de condição de reciprocidade. Em palavras, a relação entre a corrente em uma porta e a tensão em outra é a mesma se as portas sendo acionadas e medidas forem trocadas. Assim, a reciprocidade é comprovada para o caso de . ${\ displaystyle n = 2}$

Para o caso de uma matriz de tamanho arbitrário, a ordem da matriz pode ser reduzida por meio da eliminação dos nós . Depois de eliminar os s th nó, a nova matriz de admissão vai ter a forma,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} (Y_ {11} Y_ {ss} -Y_ {s1} Y_ {1s}) & (Y_ {12} Y_ {ss} -Y_ {s2} Y_ {1s}) & ( Y_ {13} Y_ {ss} -Y_ {s3} Y_ {1s}) & \ cdots \\ (Y_ {21} Y_ {ss} -Y_ {s1} Y_ {2s}) & (Y_ {22} Y_ { ss} -Y_ {s2} Y_ {2s}) & (Y_ {23} Y_ {ss} -Y_ {s3} Y_ {2s}) & \ cdots \\ (Y_ {31} Y_ {ss} -Y_ {s1 } Y_ {3s}) & (Y_ {32} Y_ {ss} -Y_ {s2} Y_ {3s}) & (Y_ {33} Y_ {ss} -Y_ {s3} Y_ {3s}) & \ cdots \ \\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \ end {bmatrix}}}$

Percebe-se que essa nova matriz também é simétrica. Os nós podem continuar a ser eliminados dessa maneira até que apenas uma matriz simétrica 2 × 2 permaneça envolvendo os dois nós de interesse. Como essa matriz é simétrica, está provado que a reciprocidade se aplica a uma matriz de tamanho arbitrário quando um nó é acionado por uma tensão e corrente medidas em outro. Um processo semelhante usando a matriz de impedância da análise de malha demonstra reciprocidade onde um nó é acionado por uma corrente e a tensão é medida em outro.

Referências

Bibliografia

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