Classificação de uma partição - Rank of a partition

Em matemática , particularmente nos campos da teoria dos números e combinatória , a classificação de uma partição de um inteiro positivo é um certo inteiro associado à partição . Na verdade, pelo menos duas definições diferentes de classificação aparecem na literatura. A primeira definição, com a qual a maior parte deste artigo se preocupa, é que a classificação de uma partição é o número obtido subtraindo o número de partes na partição da maior parte da partição. O conceito foi apresentado por Freeman Dyson em um artigo publicado na revista Eureka . Ele foi apresentado no contexto de um estudo de certas propriedades de congruência da função de partição descobertas pelo gênio matemático indiano Srinivasa Ramanujan . Um conceito diferente, com o mesmo nome, é usado em combinatória, onde a classificação é considerada o tamanho do quadrado de Durfee da partição.

Definição

Por uma partição de um inteiro positivo n queremos dizer um multiset finito λ = {λ _k , λ _{k - 1} ,. . . , λ ₁ } de inteiros positivos satisfazendo as duas condições a seguir:

• λ _k ≥. . . ≥ λ ₂ ≥ λ ₁ > 0.
• λ _k +. . . + λ ₂ + λ ₁ = n .

Se λ _k ,. . . , λ ₂ , λ ₁ são distintos, isto é, se

• λ _k >. . . > λ ₂ > λ ₁ > 0

então a partição λ é chamada de partição estrita de n . Os inteiros λ _k , λ _{k - 1} , ..., λ ₁ são as partes da partição. O número de partes na partição λ é k e a maior parte na partição é λ _k . A classificação da partição λ (seja ordinária ou estrita) é definida como λ _k - k .

As classificações das partições de n assumem os seguintes valores e nenhum outro:

n - 1, n −3, n −4,. . . , 2, 1, 0, −1, −2,. . . , - ( n - 4), - ( n - 3), - ( n - 1).

A tabela a seguir fornece as classificações das várias partições do número 5.

Ranks das partições do inteiro 5

Partição (λ)	Maior parte ( λ k )	Número de peças ( k )	Posição da partição ( λ k - k)
{5}	5	1	4
{4, 1}	4	2	2
{3, 2}	3	2	1
{3, 1, 1}	3	3	0
{2, 2, 1}	2	3	-1
{2, 1, 1, 1}	2	4	-2
{1, 1, 1, 1, 1}	1	5	-4

Notações

As notações a seguir são usadas para especificar quantas partições têm uma determinada classificação. Deixe que n , q ser um números inteiros positivos e m ser um número inteiro qualquer.

• O número total de partições de n é denotado por p ( n ).
• O número de partições de n com classificação m é denotado por N ( m , n ).
• O número de partições de n com classificação congruente a m módulo q é denotado por N ( m , q , n ).
• O número de partições estritas de n é denotado por Q ( n ).
• O número de partições estritas de n com classificação m é denotado por R ( m , n ).
• O número de partições estritas de n com classificação congruente a m módulo q é denotado por T ( m , q , n ).

Por exemplo,

p (5) = 7, N (2, 5) = 1, N (3, 5) = 0, N (2, 2, 5) = 5.

Q (5) = 3, R (2, 5) = 1, R (3, 5) = 0, T (2, 2, 5) = 2.

Alguns resultados básicos

Deixe que n , q ser um números inteiros positivos e m ser um número inteiro qualquer.

• ${\ displaystyle N (m, n) = N (-m, n)}$
• ${\ displaystyle N (m, q, n) = N (qm, q, n)}$
• ${\ displaystyle N (m, q, n) = \ sum _ {r = - \ infty} ^ {\ infty} N (m + rq, n)}$

As congruências de Ramanujan e a conjectura de Dyson

Srinivasa Ramanujan em um artigo publicado em 1919 provou as seguintes congruências envolvendo a função de partição p ( n ):

• p (5 n + 4) ≡ 0 (mod 5)
• p (7 n + 5) ≡ 0 (mod 7)
• p (11 n + 6) ≡ 0 (mod 11)

Ao comentar este resultado, Dyson observou que "... embora possamos provar que as partições de 5 n + 4 podem ser divididas em cinco subclasses igualmente numerosas, é insatisfatório receber das provas nenhuma ideia concreta de como a divisão é a ser feita. Exigimos uma prova que não apelará para funções geradoras,... ". Dyson introduziu a ideia de classificação de uma partição para realizar a tarefa que estabeleceu para si mesmo. Usando essa nova ideia, ele fez as seguintes conjecturas:

• N (0, 5, 5 n + 4) = N (1, 5, 5 n + 4) = N (2, 5, 5 n + 4) = N (3, 5, 5 n + 4) = N ( 4, 5, 5 n + 4)
• N (0, 7, 7 n + 5) = N (1, 7, 7 n + 5) = N (2, 7, 7 n + 5) =. . . = N (6, 7, 7 n + 5)

Essas conjecturas foram provadas por Atkin e Swinnerton-Dyer em 1954.

As tabelas a seguir mostram como as partições dos inteiros 4 (5 ×  n  + 4 com n  = 0) e 9 (5 ×  n  + 4 com n  = 1) são divididas em cinco subclasses igualmente numerosas.

Partições do inteiro 4

Partições com classificação ≡ 0 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 1 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 2 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 3 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 4 (mod 5)
{2, 2}	{3, 1}	{1, 1, 1, 1}	{4}	{2, 1, 1}

Partições do inteiro 9

Partições com classificação ≡ 0 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 1 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 2 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 3 (mod 5)	Partições com classificação ≡ 4 (mod 5)
{7, 2}	{8, 1}	{6, 1, 1, 1}	{9}	{7, 1, 1}
{5, 1, 1, 1, 1}	{5, 2, 1, 1}	{5, 3, 1}	{6, 2, 1}	{6, 3}
{4, 3, 1, 1}	{4, 4, 1}	{5, 2, 2}	{5, 4}	{4, 2, 1, 1, 1}
{4, 2, 2, 1}	{4, 3, 2}	{3, 2, 1, 1, 1, 1}	{3, 3, 1, 1, 1}	{3, 3, 2, 1}
{3, 3, 3}	{3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}	{2, 2, 2, 2, 1}	{4, 1, 1, 1, 1, 1}	{3, 2, 2, 2}
{2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}	{2, 2, 2, 1, 1, 1}	{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}	{3, 2, 2, 1, 1}	{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}

Gerando funções

• A função geradora de p ( n ) foi descoberta por Euler e é bem conhecida.

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) x ^ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-x ^ {k})}}}$

• A função geradora para N ( m ,  n ) é dada abaixo:

${\ displaystyle \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} N (m, n) z ^ {m} q ^ {n} = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {n ^ {2}}} {\ prod _ {k = 1} ^ {n} (1-zq ^ {k}) ( 1-z ^ {- 1} q ^ {k})}}}$

• A função geradora para Q ( n ) é dada abaixo:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Q (n) x ^ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(1-x ^ {2k-1})}}}$

• A função geradora para Q ( m , n ) é dada abaixo:

${\ displaystyle \ sum _ {m, n = 0} ^ {\ infty} Q (m, n) z ^ {m} q ^ {n} = 1 + \ sum _ {s = 1} ^ {\ infty} {\ frac {q ^ {s (s + 1) / 2}} {(1-zq) (1-zq ^ {2}) \ cdots (1-zq ^ {s})}}}$

Definição alternativa

Em combinatória, a frase classificação de uma partição é às vezes usada para descrever um conceito diferente: a classificação de uma partição λ é o maior inteiro i tal que λ tem pelo menos i partes cada uma das quais não é menor que i . Equivalentemente, este é o comprimento da diagonal principal no diagrama de Young ou no diagrama de Ferrers para λ, ou o comprimento lateral do quadrado de Durfee de λ.

A tabela de classificações de partições de 5 é fornecida abaixo.

Ranks das partições do inteiro 5

Partição	Classificação
{5}	1
{4, 1}	1
{3, 2}	2
{3, 1, 1}	1
{2, 2, 1}	2
{2, 1, 1, 1}	1
{1, 1, 1, 1, 1}	1

Leitura adicional

• Fórmulas assintóticas para a função de partição de classificação:
• Congruências para função de classificação:
• Generalização da classificação para classificação BG:

Veja também

• Manivela de uma partição

Referências