Entropia relativa quântica - Quantum relative entropy

Na teoria da informação quântica , a entropia relativa quântica é uma medida de distinguibilidade entre dois estados quânticos . É o análogo da mecânica quântica da entropia relativa .

Motivação

Para simplificar, será assumido que todos os objetos no artigo são de dimensão finita.

Primeiro, discutimos o caso clássico. Suponha que as probabilidades de uma sequência finita de eventos sejam dadas pela distribuição de probabilidade P = { p ₁ ... p _n }, mas de alguma forma assumimos erroneamente que é Q = { q ₁ ... q _n }. Por exemplo, podemos confundir uma moeda injusta com uma moeda justa. De acordo com esta suposição errônea, nossa incerteza sobre o j- ésimo evento, ou equivalentemente, a quantidade de informações fornecidas após a observação do j- ésimo evento, é

${\ displaystyle \; - \ log q_ {j}.}$

A incerteza média (assumida) de todos os eventos possíveis é então

${\ displaystyle \; - \ sum _ {j} p_ {j} \ log q_ {j}.}$

Por outro lado, a entropia de Shannon da distribuição de probabilidade p , definida por

${\ displaystyle \; - \ sum _ {j} p_ {j} \ log p_ {j},}$

é a quantidade real de incerteza antes da observação. Portanto, a diferença entre essas duas quantidades

${\ displaystyle \; - \ sum _ {j} p_ {j} \ log q_ {j} - \ left (- \ sum _ {j} p_ {j} \ log p_ {j} \ right) = \ sum _ {j} p_ {j} \ log p_ {j} - \ sum _ {j} p_ {j} \ log q_ {j}}$

é uma medida da distinguibilidade das duas distribuições de probabilidade p e q . Esta é precisamente a entropia relativa clássica, ou divergência de Kullback-Leibler :

${\ displaystyle D _ {\ mathrm {KL}} (P \ | Q) = \ sum _ {j} p_ {j} \ log {\ frac {p_ {j}} {q_ {j}}} \ !.}$

Observação

1. Nas definições acima, a convenção de que 0 · log 0 = 0 é assumida, uma vez que lim _{x  → 0} x  log  x  = 0. Intuitivamente, seria de se esperar que um evento de probabilidade zero não contribuísse em nada para a entropia.
2. A entropia relativa não é uma métrica . Por exemplo, não é simétrico. A discrepância de incerteza em confundir uma moeda justa com injusta não é o mesmo que a situação oposta.

Definição

Tal como acontece com muitos outros objetos na teoria da informação quântica, a entropia relativa quântica é definida pela extensão da definição clássica de distribuições de probabilidade para matrizes de densidade . Seja ρ uma matriz de densidade. A entropia de von Neumann de ρ , que é o análogo mecânico quântico da entropia de Shannon, é dada por

${\ displaystyle S (\ rho) = - \ operatorname {Tr} \ rho \ log \ rho.}$

Para duas matrizes de densidade ρ e σ , a entropia relativa quântica de ρ em relação a σ é definida por

${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma) = - \ operatorname {Tr} \ rho \ log \ sigma -S (\ rho) = \ operatorname {Tr} \ rho \ log \ rho - \ operatorname {Tr} \ rho \ log \ sigma = \ operatorname {Tr} \ rho (\ log \ rho - \ log \ sigma).}$

Vemos que, quando os estados são classicamente relacionados, ou seja, ρσ = σρ , a definição coincide com o caso clássico.

Entropia relativa não finita (divergente)

Em geral, o suporte de uma matriz M é o complemento ortogonal de seu núcleo , ou seja . Ao considerar a entropia relativa quântica, assumimos a convenção de que - s  · log 0 = ∞ para qualquer s  > 0. Isso leva à definição de que ${\ displaystyle {\ text {supp}} (M) = {\ text {ker}} (M) ^ {\ perp}}$

${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma) = \ infty}$

quando

${\ displaystyle {\ text {supp}} (\ rho) \ cap {\ text {ker}} (\ sigma) \ neq 0.}$

Isso pode ser interpretado da seguinte maneira. Informalmente, a entropia relativa quântica é uma medida de nossa capacidade de distinguir dois estados quânticos onde valores maiores indicam estados que são mais diferentes. Ser ortogonal representa os mais diferentes estados quânticos que podem ser. Isso é refletido pela entropia relativa quântica não finita para estados quânticos ortogonais. Seguindo o argumento dado na seção Motivação, se assumirmos erroneamente que o estado tem suporte em , isso é um erro impossível de recuperar. ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle {\ text {ker}} (\ sigma)}$

No entanto, deve-se ter cuidado para não concluir que a divergência da entropia relativa quântica implica que os estados e são ortogonais ou mesmo muito diferentes por outras medidas. Especificamente, pode divergir quando e diferir por uma quantidade muito pequena, conforme medido por alguma norma. Por exemplo, vamos ter a representação diagonal ${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma)}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sigma = \ sum _ {n} \ lambda _ {n} | f_ {n} \ rangle \ langle f_ {n} |}$

com para e para onde está um conjunto ortonormal. O núcleo de é o espaço abrangido pelo conjunto . Próxima vamos ${\ displaystyle \ lambda _ {n}> 0}$${\ displaystyle n = 0,1,2, \ ldots}$${\ displaystyle \ lambda _ {n} = 0}$${\ displaystyle n = -1, -2, \ ldots}$${\ displaystyle \ {| f_ {n} \ rangle, n \ in \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {| f_ {n} \ rangle, n = -1, -2, \ ldots \}}$

${\ displaystyle \ rho = \ sigma + \ epsilon | f _ {- 1} \ rangle \ langle f _ {- 1} | - \ epsilon | f_ {1} \ rangle \ langle f_ {1} |}$

para um pequeno número positivo . Como tem suporte (ou seja, o estado ) no kernel de , é divergente, embora a norma de traço da diferença seja . Isso significa que a diferença entre e medida pela norma de rastreamento é muito pequena, embora seja divergente (ou seja, infinita). Esta propriedade da entropia relativa quântica representa uma deficiência séria se não for tratada com cuidado. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle | f _ {- 1} \ rangle}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma)}$${\ displaystyle (\ rho - \ sigma)}$${\ displaystyle 2 \ epsilon}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ epsilon \ para 0}$${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma)}$

Não negatividade de entropia relativa

Declaração clássica correspondente

Para a divergência clássica de Kullback-Leibler , pode-se mostrar que

${\ displaystyle D _ {\ mathrm {KL}} (P \ | Q) = \ sum _ {j} p_ {j} \ log {\ frac {p_ {j}} {q_ {j}}} \ geq 0, }$

ea igualdade se e somente se P = Q . Coloquialmente, isso significa que a incerteza calculada usando suposições errôneas é sempre maior do que a quantidade real de incerteza.

Para mostrar a desigualdade, reescrevemos

${\ displaystyle D _ {\ mathrm {KL}} (P \ | Q) = \ sum _ {j} p_ {j} \ log {\ frac {p_ {j}} {q_ {j}}} = \ sum _ {j} (- \ log {\ frac {q_ {j}} {p_ {j}}}) (p_ {j}).}$

Observe que log é uma função côncava . Portanto, -log é convexo . Aplicando a desigualdade de Jensen , obtemos

${\ displaystyle D _ {\ mathrm {KL}} (P \ | Q) = \ sum _ {j} (- \ log {\ frac {q_ {j}} {p_ {j}}}) (p_ {j} ) \ geq - \ log (\ sum _ {j} {\ frac {q_ {j}} {p_ {j}}} p_ {j}) = 0.}$

A desigualdade de Jensen também afirma que a igualdade é válida se e somente se, para todo i , q _i = (Σ q _j ) p _i , ou seja, p = q .

O resultado

A desigualdade de Klein afirma que a entropia relativa quântica

${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma) = \ operatorname {Tr} \ rho (\ log \ rho - \ log \ sigma).}$

geralmente não é negativo. É zero se e somente se ρ = σ .

Prova

Sejam ρ e σ decomposições espectrais

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} v_ {i} v_ {i} ^ {*} \;, \; \ sigma = \ sum _ {i} q_ {i} w_ {i} w_ {i} ^ {*}.}$

Então

${\ displaystyle \ log \ rho = \ sum _ {i} (\ log p_ {i}) v_ {i} v_ {i} ^ {*} \;, \; \ log \ sigma = \ sum _ {i} (\ log q_ {i}) w_ {i} w_ {i} ^ {*}.}$

Cálculo direto dá

${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma) = \ sum _ {k} p_ {k} \ log p_ {k} - \ sum _ {i, j} (p_ {i} \ log q_ {j}) | v_ {i} ^ {*} w_ {j} | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ qquad \ quad \; = \ sum _ {i} p_ {i} (\ log p_ {i} - \ sum _ {j} \ log q_ {j} | v_ {i} ^ {*} w_ {j} | ^ {2})}$

${\ displaystyle \ qquad \ quad \; = \ sum _ {i} p_ {i} (\ log p_ {i} - \ sum _ {j} (\ log q_ {j}) P_ {ij}),}$

onde P _{i j} = | v _i * w _j | ² .

Uma vez que a matriz ( P _{i j} ) _ij é uma matriz duplamente estocástica e -log é uma função convexa, a expressão acima é

${\ displaystyle \ geq \ sum _ {i} p_ {i} (\ log p_ {i} - \ log (\ sum _ {j} q_ {j} P_ {ij})).}$

Defina r _i = Σ _j q _j P _{i j} . Então { r _i } é uma distribuição de probabilidade. Da não negatividade da entropia relativa clássica, temos

${\ displaystyle S (\ rho \ | \ sigma) \ geq \ sum _ {i} p_ {i} \ log {\ frac {p_ {i}} {r_ {i}}} \ geq 0.}$

A segunda parte da reivindicação decorre do fato de que, uma vez que -log é estritamente convexo, a igualdade é alcançada em

${\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} (\ log p_ {i} - \ sum _ {j} (\ log q_ {j}) P_ {ij}) \ geq \ sum _ {i} p_ { i} (\ log p_ {i} - \ log (\ sum _ {j} q_ {j} P_ {ij}))}$

se e somente se ( P _{i j} ) é uma matriz de permutação , o que implica ρ = σ , após uma marcação adequada dos autovetores { v _i } e { w _i }.

Convexidade conjunta de entropia relativa

A entropia relativa é convexa em conjunto . Para e estados temos ${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda \ leq 1}$${\ displaystyle \ rho _ {1 (2)}, \ sigma _ {1 (2)}}$

${\ displaystyle D (\ lambda \ rho _ {1} + (1- \ lambda) \ rho _ {2} \ | \ lambda \ sigma _ {1} + (1- \ lambda) \ sigma _ {2}) \ leq \ lambda D (\ rho _ {1} \ | \ sigma _ {1}) + (1- \ lambda) D (\ rho _ {2} \ | \ sigma _ {2})}$

Monotonicidade da entropia relativa

A entropia relativa diminui monotonicamente sob operações de preservação de traço completamente positivo (CPTP) em matrizes de densidade, ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$

${\ displaystyle S ({\ mathcal {N}} (\ rho) \ | {\ mathcal {N}} (\ sigma)) \ leq S (\ rho \ | \ sigma)}$.

Essa desigualdade é chamada de monotonicidade da entropia relativa quântica.

Uma medida de emaranhamento

Deixe um sistema quântico composto ter espaço de estado

${\ displaystyle H = \ otimes _ {k} H_ {k}}$

e P é uma matriz de densidade agindo em H .

A entropia relativa de emaranhamento de ρ é definida por

${\ displaystyle \; D _ {\ mathrm {REE}} (\ rho) = \ min _ {\ sigma} S (\ rho \ | \ sigma)}$

onde o mínimo é assumido pela família de estados separáveis . Uma interpretação física da quantidade é a distinguibilidade ótima do estado ρ de estados separáveis.

Claramente, quando ρ não está emaranhado

${\ displaystyle \; D _ {\ mathrm {REE}} (\ rho) = 0}$

pela desigualdade de Klein.

Relação com outras quantidades de informações quânticas

Uma razão pela qual a entropia relativa quântica é útil é que várias outras quantidades de informações quânticas importantes são casos especiais dela. Freqüentemente, os teoremas são declarados em termos da entropia relativa quântica, o que leva a corolários imediatos sobre as outras quantidades. Abaixo, listamos algumas dessas relações.

Deixe ρ _AB ser o estado conjunta de um sistema bipartido com subsistema Um de dimensão n _A e B de dimensão n _B . Sejam ρ _A , ρ _B os respectivos estados reduzidos, e I _A , I _B as respectivas identidades. Os estados maximamente mistos são eu _Um / n _A e I _B / n _B . Então, é possível mostrar com computação direta que

${\ displaystyle S (\ rho _ {A} || I_ {A} / n_ {A}) = \ mathrm {log} (n_ {A}) - S (\ rho _ {A}), \;}$

${\ displaystyle S (\ rho _ {AB} || \ rho _ {A} \ otimes \ rho _ {B}) = S (\ rho _ {A}) + S (\ rho _ {B}) - S (\ rho _ {AB}) = I (A: B),}$

${\ displaystyle S (\ rho _ {AB} || \ rho _ {A} \ otimes I_ {B} / n_ {B}) = \ mathrm {log} (n_ {B}) + S (\ rho _ { A}) - S (\ rho _ {AB}) = \ mathrm {log} (n_ {B}) - S (B | A),}$

onde I ( A : B ) é a informação mútua quântica e S ( B | A ) é a entropia condicional quântica .

Referências

• Vedral, V. (8 de março de 2002). "O papel da entropia relativa na teoria da informação quântica". Avaliações da Física Moderna . American Physical Society (APS). 74 (1): 197–234. arXiv : quant-ph / 0102094 . Bibcode : 2002RvMP ... 74..197V . doi : 10.1103 / revmodphys.74.197 . ISSN  0034-6861 .
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information"