Purificação do estado quântico - Purification of quantum state

Na mecânica quântica , especialmente na informação quântica , a purificação se refere ao fato de que todo estado misto agindo em espaços de Hilbert de dimensão finita pode ser visto como o estado reduzido de algum estado puro.

Em termos algébricos puramente lineares, pode ser visto como uma afirmação sobre matrizes semidefinidas positivas .

Declaração

Seja uma matriz de densidade atuando em um espaço de Hilbert de dimensão finita n . Então é possível construir um segundo espaço de Hilbert e um estado puro tal que é o traço parcial de com respeito a . Embora o espaço de Hilbert inicial possa corresponder a quantidades fisicamente significativas, o segundo espaço de Hilbert não precisa ter qualquer interpretação física. No entanto, na física, o processo de purificação de estado é considerado físico e, portanto, o segundo espaço de Hilbert também deve corresponder a um espaço físico, como o ambiente. A forma exata de em tais casos dependerá do problema. Aqui está um ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ in H_ {A} \ otimes H_ {B}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ langle \ psi |}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {B}}$ prova de princípio , mostrando que pelo menos tem que ter dimensões maiores ou iguais a . ${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle H_ {A}}$

Com essas declarações em mente, se,

${\ displaystyle \ operatorname {tr_ {B}} \ left (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ right) = \ rho,}$

dizemos que purifica . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle \ rho}$

Prova

Uma matriz de densidade é, por definição, semidefinida positiva. Portanto, ρ pode ser diagonalizado e escrito para alguma base . Deixe ser outra cópia do espaço de Hilbert n- dimensional com uma base ortonormal . Definido por ${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} | i \ rangle \ langle i |}$ ${\ displaystyle \ {| i \ rangle \}}$${\ displaystyle H_ {B}}$ ${\ displaystyle \ {| i '\ rangle \}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle \ in H_ {A} \ otimes H_ {B}}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | i \ rangle \ otimes | i '\ rangle.}$

Cálculo direto dá

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {tr_ {B}} \ left (| \ psi \ rangle \ langle \ psi | \ right) & = \ operatorname {tr_ {B}} \ left [\ left (\ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} | i \ rangle \ otimes | i '\ rangle \ right) \ left (\ sum _ {j} {\ sqrt {p_ {j}}} \ langle j | \ otimes \ langle j '| \ right) \ right] \\ & = \ operatorname {tr_ {B}} \ left (\ sum _ {i, j} {\ sqrt {p_ {i} p_ {j} }} | i \ rangle \ langle j | \ otimes | i '\ rangle \ langle j' | \ right) \\ & = \ sum _ {i, j} \ delta _ {ij} {\ sqrt {p_ {i } p_ {j}}} | i \ rangle \ langle j | \\ & = \ sum _ {i} {\ sqrt {p_ {i}}} ^ {2} | i \ rangle \ langle i | \\ & = \ rho. \ end {alinhado}}}$

Isso prova a afirmação.

Nota

• A purificação não é única, mas se durante a construção de na prova acima for gerada apenas pelo para o qual é diferente de zero, qualquer outra purificação em induz uma isometria tal que . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle H_ {B}}$${\ displaystyle \ {| i '\ rangle \}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {C}}$ ${\ displaystyle V: H_ {B} \ a H_ {C}}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle = (I \ otimes V) | \ psi \ rangle}$
• O estado vetorial puro está na forma especificada pela decomposição de Schmidt . ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$
• Visto que as decomposições de raiz quadrada de uma matriz semidefinida positiva não são únicas, nem as purificações.
• Em termos algébricos lineares, uma matriz quadrada é semidefinida positiva se e somente se pode ser purificada no sentido acima. A parte if da implicação segue imediatamente do fato de que o traço parcial de um mapa positivo permanece um mapa positivo .

Uma aplicação: teorema de Stinespring

Combinando o teorema de Choi em mapas completamente positivos e purificação de um estado misto, podemos recuperar o teorema de dilatação de Stinespring para o caso de dimensão finita.