Permanente (matemática) - Permanent (mathematics)

Na álgebra linear , a permanente de uma matriz quadrada é uma função da matriz semelhante ao determinante . O permanente, assim como o determinante, é um polinômio nas entradas da matriz. Ambos são casos especiais de uma função mais geral de uma matriz chamada imanante .

Definição

A permanente de um n -by- n matriz A = ( a _{i, j} ) é definida como

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i)}.}$

A soma aqui se estende a todos os elementos σ do grupo simétrico S _n ; ou seja, sobre todas as permutações dos números 1, 2, ..., n .

Por exemplo,

${\ displaystyle \ operatorname {perm} {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = ad + bc,}$

e

${\ displaystyle \ operatorname {perm} {\ begin {pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {pmatrix}} = aei + bfg + cdh + ceg + bdi + afh.}$

A definição da permanente de A difere daquela do determinante de A porque as assinaturas das permutações não são levadas em consideração.

A permanente de uma matriz A é denotada por A , perm A ou Por A , às vezes com parênteses ao redor do argumento. Minc usa Per ( A ) para as matrizes retangulares permanentes e por ( A ) quando A é uma matriz quadrada. Muir e Metzler usam a notação . ${\ displaystyle {\ overset {+} {|}} \ quad {\ overset {+} {|}}}$

A palavra, permanente , originou-se com Cauchy em 1812 como “fonctions symétriques permanentes” para um tipo relacionado de função, e foi usada por Muir e Metzler no sentido moderno, mais específico.

Propriedades

Se alguém vê a permanente como um mapa que leva n vetores como argumentos, então é um mapa multilinear e é simétrico (o que significa que qualquer ordem dos vetores resulta na mesma permanente). Além disso, dada uma matriz quadrada de ordem n : ${\ displaystyle A = \ left (a_ {ij} \ right)}$

• Perm ( A ) é invariante sob permutações arbitrárias das filas e / ou colunas de Uma . Esta propriedade pode ser escrita simbolicamente como perm ( A ) = perm ( PAQ ) para quaisquer matrizes de permutação P e Q de tamanho apropriado ,
• multiplicando qualquer uma única linha ou coluna de um por um escalares s mudanças perm ( A ) para s ⋅perm ( A ),
• Perm ( A ) é invariante sob transposição , isto é, permanente ( A ) = perm ( A ^T ).

• Se e forem matrizes quadradas de ordem n , então,${\ displaystyle A = \ left (a_ {ij} \ right)}$${\ displaystyle B = \ left (b_ {ij} \ right)}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} \ left (A + B \ right) = \ sum _ {s, t} \ operatorname {perm} \ left (a_ {ij} \ right) _ {i \ in s, j \ em t} \ operatorname {perm} \ left (b_ {ij} \ right) _ {i \ in {\ bar {s}}, j \ in {\ bar {t}}},}$

onde s e t são subconjuntos do mesmo tamanho de {1,2, ..., n } e são seus respectivos complementos nesse conjunto.${\ displaystyle {\ bar {s}}, {\ bar {t}}}$

• Se for uma matriz triangular , ou seja , sempre ou, alternativamente, sempre , então sua permanente (e determinante também) é igual ao produto das entradas diagonais:${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a_ {ij} = 0}$${\ displaystyle i> j}$${\ displaystyle i <j}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} \ left (A \ right) = a_ {11} a_ {22} \ cdots a_ {nn} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii}.}$

Relação com determinantes

A expansão de Laplace por menores para calcular o determinante ao longo de uma linha, coluna ou diagonal se estende ao permanente, ignorando todos os sinais. Por exemplo, expandindo ao longo da primeira coluna,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) = {} & 1 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) +2 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) \\ & {} + \ 3 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ direita) +4 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) \\ = {} & 1 (1) +2 (1) +3 (1) +4 (1) = 10, \ end {alinhado}}}$

enquanto expande ao longo da última linha dá,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) = {} & 4 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) +0 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \ end {matrix}} \ right) \\ & {} + \ 0 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \ end {matrix}} \ direita) +1 \ cdot \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \ end {matrix}} \ right) \\ = {} & 4 (1) + 0 + 0 + 1 (6) = 10. \ End {alinhado}}}$

Por outro lado, a propriedade multiplicativa básica dos determinantes não é válida para permanentes. Um exemplo simples mostra que é assim.

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} 4 & = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ operatorname {perm} \ left ({\ begin { matriz} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matriz}} \ direita) \\ & \ neq \ operatorname {perm} \ left (\ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {matrix}} \ right) \ right) = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \ end {matrix}} \ direita) = 8. \ end {alinhado}}}$

Ao contrário do determinante, o permanente não tem uma interpretação geométrica fácil; é usado principalmente em combinatória , no tratamento das funções de Green do bóson na teoria quântica de campos e na determinação de probabilidades de estado de sistemas de amostragem de bósons . No entanto, ele tem duas interpretações teóricas dos gráficos : como a soma dos pesos das coberturas dos ciclos de um grafo direcionado e como a soma dos pesos das correspondências perfeitas em um grafo bipartido .

Formulários

Tensores simétricos

A permanente surge naturalmente no estudo da potência tensorial simétrica dos espaços de Hilbert . Em particular, para um espaço de Hilbert , vamos denotar a potência tensorial simétrica de , que é o espaço de tensores simétricos . Observe em particular que é medido pelos produtos simétricos dos elementos em . Pois , definimos o produto simétrico desses elementos por ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ vee ^ {k} H}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ vee ^ {k} H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {k} \ in H}$

${\ displaystyle x_ {1} \ vee x_ ​​{2} \ vee \ cdots \ vee x_ ​​{k} = (k!) ^ {- 1/2} \ sum _ {\ sigma \ in S_ {k}} x_ { \ sigma (1)} \ otimes x _ {\ sigma (2)} \ otimes \ cdots \ otimes x _ {\ sigma (k)}}$

Se considerarmos (como um subespaço de , a k- ésima potência tensorial de ) e definirmos o produto interno de acordo, descobrimos que para${\ displaystyle \ vee ^ {k} H}$${\ displaystyle \ otimes ^ {k} H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ vee ^ {k} H}$${\ displaystyle x_ {j}, y_ {j} \ em H}$

${\ displaystyle \ langle x_ {1} \ vee x_ ​​{2} \ vee \ cdots \ vee x_ ​​{k}, y_ {1} \ vee y_ {2} \ vee \ cdots \ vee y_ {k} \ rangle = \ operatorname {perm} \ left [\ langle x_ {i}, y_ {j} \ rangle \ right] _ {i, j = 1} ^ {k}}$

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz , descobrimos que , e que ${\ displaystyle \ operatorname {perm} \ left [\ langle x_ {i}, x_ {j} \ rangle \ right] _ {i, j = 1} ^ {k} \ geq 0}$

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {perm} \ left [\ langle x_ {i}, y_ {j} \ rangle \ right] _ {i, j = 1} ^ {k} \ right | ^ {2} \ leq \ operatorname {perm} \ left [\ langle x_ {i}, x_ {j} \ rangle \ right] _ {i, j = 1} ^ {k} \ cdot \ operatorname {perm} \ left [\ langle y_ {i}, y_ {j} \ rangle \ right] _ {i, j = 1} ^ {k}}$

Capas de ciclo

Qualquer matriz quadrada pode ser vista como a matriz de adjacência de um grafo direcionado ponderado no conjunto de vértices , representando o peso do arco do vértice i ao vértice j . Uma cobertura de ciclo de um grafo direcionado ponderado é uma coleção de ciclos direcionados por vértices separados no dígrafo que cobre todos os vértices no gráfico. Assim, cada vértice i na d�rafo tem um "sucessor" exclusivo na tampa ciclo, e assim representa uma permutação em V . Por outro lado, qualquer permutação em V corresponde a uma cobertura de ciclo com arcos de cada vértice i ao vértice . ${\ displaystyle A = (a_ {ij}) _ {i, j = 1} ^ {n}}$${\ displaystyle V = \ {1,2, \ dots, n \}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$${\ displaystyle \ sigma (i)}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma (i)}$

Se o peso de uma cobertura de ciclo for definido como o produto dos pesos dos arcos em cada ciclo, então

${\ displaystyle \ operatorname {weight} (\ sigma) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i)},}$

implicando que

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {\ sigma} \ operatorname {peso} (\ sigma).}$

Assim, a permanente de A é igual à soma dos pesos de todas as coberturas de ciclo do dígrafo.

Combinações perfeitas

Uma matriz quadrada também pode ser vista como a matriz de adjacência de um grafo bipartido que possui vértices de um lado e do outro lado, representando o peso da aresta de vértice a vértice . Se o peso de uma combinação perfeita que corresponde a for definido como o produto dos pesos das arestas na combinação, então ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {j}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y _ {\ sigma (i)}}$

${\ displaystyle \ operatorname {weight} (\ sigma) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ sigma (i)}.}$

Assim, a permanente de A é igual à soma dos pesos de todas as correspondências perfeitas do gráfico.

Permanentes de (0, 1) matrizes

Enumeração

As respostas a muitas perguntas de contagem podem ser computadas como permanentes de matrizes que têm apenas 0 e 1 como entradas.

Seja Ω ( n , k ) a classe de todas as (0, 1) -matrizes de ordem n com cada soma de linha e coluna igual a k . Cada matriz A nesta classe tem perm ( A )> 0. As matrizes de incidência dos planos projetivos estão na classe Ω ( n ² + n + 1, n + 1) para n um inteiro> 1. As permanentes correspondentes ao menor planos projetivos foram calculados. Para n = 2, 3 e 4, os valores são 24, 3852 e 18.534.400, respectivamente. Seja Z a matriz de incidência do plano projetivo com n = 2, o plano de Fano . Notavelmente, perm ( Z ) = 24 = | det ( Z ) |, o valor absoluto do determinante de Z . Esta é uma consequência de Z ser uma matriz circulante e o teorema:

Se A é uma matriz circulante na classe Ω ( n , k ) então se k  > 3, perm ( A )> | det ( A ) | e se k  = 3, perm ( A ) = | det ( A ) |. Além disso, quando k  = 3, ao permutar linhas e colunas, A pode ser colocado na forma de uma soma direta de e cópias da matriz Z e, conseqüentemente, n  = 7 e e perm ( A ) = 24 ^e .

As permanentes também podem ser usadas para calcular o número de permutações com posições restritas (proibidas). Para o conjunto n padrão {1, 2, ..., n }, seja a matriz (0, 1) onde a _ij = 1 se i  →  j é permitido em uma permutação e a _ij = 0 caso contrário. Então, perm ( A ) é igual ao número de permutações do conjunto n que satisfazem todas as restrições. Dois casos especiais bem conhecidos disso são a solução do problema de desarranjo e o problema de ménage : o número de permutações de um n -conjunto sem pontos fixos (desarranjos) é dado por ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (JI) = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 0 & 1 & 1 & \ dots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \ dots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ dots & 1 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 1 & 1 & 1 & \ dots & 0 \ end {matrix}} \ right) = n! \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {i} }{eu!}},}$

onde J é o n × n matriz de todos os 1 e I é a matriz identidade, e os números de ménage são dados por

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {perm} (JI-I ') & = \ operatorname {perm} \ left ({\ begin {matrix} 0 & 0 & 1 & \ dots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \ dots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \ dots & 1 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 1 & 1 & \ dots & 0 \ end {matrix}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} ( -1) ^ {k} {\ frac {2n} {2n-k}} {2n-k \ escolha k} (nk)!, \ End {alinhado}}}$

onde I ' é a matriz (0, 1) com entradas diferentes de zero nas posições ( i , i + 1) e ( n , 1).

Limites

A desigualdade de Bregman-Minc , conjecturada por H. Minc em 1963 e provada por LM Brégman em 1973, fornece um limite superior para a permanente de uma matriz n × n (0, 1). Se A tem r _i uns na linha i para cada 1 ≤ i ≤ n , a desigualdade afirma que

${\ displaystyle \ operatorname {perm} A \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {n} (r_ {i})! ^ {1 / r_ {i}}.}$

Conjectura de Van der Waerden

Em 1926, Van der Waerden conjecturou que o mínimo permanente entre todas as matrizes n × n duplamente estocásticas é n ! / N ⁿ , obtido pela matriz para a qual todas as entradas são iguais a 1 / n . Provas dessa conjectura foram publicadas em 1980 por B. Gyires e em 1981 por GP Egorychev e DI Falikman; A prova de Egorychev é uma aplicação da desigualdade Alexandrov-Fenchel . Por este trabalho, Egorychev e Falikman ganharam o Prêmio Fulkerson em 1982.

Computação

A abordagem ingênua, usando a definição, de permanentes de computação é computacionalmente inviável mesmo para matrizes relativamente pequenas. Um dos algoritmos mais rápidos conhecidos é devido a HJ Ryser . O método de Ryser é baseado em uma fórmula de inclusão-exclusão que pode ser dada da seguinte forma: Sejam obtidos de A pela exclusão de k colunas, sejam o produto da soma das linhas de , e sejam a soma dos valores de todos os possíveis . Então ${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle P (A_ {k})}$${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {k}}$${\ displaystyle P (A_ {k})}$${\ displaystyle A_ {k}}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} \ Sigma _ {k}.}$

Ele pode ser reescrito em termos das entradas da matriz da seguinte forma:

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = (- 1) ^ {n} \ sum _ {S \ subseteq \ {1, \ dots, n \}} (- 1) ^ {| S |} \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j \ in S} a_ {ij}.}$

Acredita-se que o permanente seja mais difícil de calcular do que o determinante. Enquanto o determinante pode ser calculado em tempo polinomial por eliminação gaussiana, a eliminação gaussiana não pode ser usada para calcular a permanente. Além disso, o cálculo da permanente de uma (0,1) -matriz é # P-completo . Assim, se a permanente pode ser calculada em tempo polinomial por qualquer método, então FP  =  #P , que é uma afirmação ainda mais forte do que P = NP . Quando as entradas de A são não negativas, entretanto, a permanente pode ser calculada aproximadamente em tempo polinomial probabilístico , até um erro de , onde é o valor da permanente e é arbitrário. A permanente de um certo conjunto de matrizes semidefinidas positivas também pode ser aproximada em tempo polinomial probabilístico: o melhor erro alcançável desta aproximação é ( é novamente o valor da permanente). ${\ displaystyle \ varepsilon M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon {\ sqrt {M}}}$${\ displaystyle M}$

Teorema Mestre de MacMahon

Outra forma de visualizar permanentes é por meio de funções de geração multivariadas . Let Ser uma matriz quadrada de ordem n . Considere a função de geração multivariada: ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

${\ displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n } a_ {ij} x_ {j} \ right)}$

${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {1j} x_ {j} \ right) \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {2j} x_ {j} \ right) \ cdots \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {nj} x_ {j} \ right).}$

O coeficiente de in é perm ( A ). ${\ displaystyle x_ {1} x_ {2} \ dots x_ {n}}$${\ displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

Como uma generalização, para qualquer sequência de n inteiros não negativos, defina: ${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} ^ {(s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n})} (A)}$ como o coeficiente de em${\ displaystyle x_ {1} ^ {s_ {1}} x_ {2} ^ {s_ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {s_ {n}}}$${\ displaystyle \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {1j} x_ {j} \ right) ^ {s_ {1}} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n } a_ {2j} x_ {j} \ right) ^ {s_ {2}} \ cdots \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {nj} x_ {j} \ right) ^ {s_ {n}}.}$

O Teorema Mestre de MacMahon relacionando permanentes e determinantes é:

${\ displaystyle \ operatorname {perm} ^ {(s_ {1}, s_ {2}, \ dots, s_ {n})} (A) = {\ text {coeficiente de}} x_ {1} ^ {s_ { 1}} x_ {2} ^ {s_ {2}} \ cdots x_ {n} ^ {s_ {n}} {\ text {in}} {\ frac {1} {\ det (I-XA)}} ,}$

onde I é a matriz identidade de ordem n e X é a matriz diagonal com diagonal${\ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}].}$

Permanentes de matrizes retangulares

A função permanente pode ser generalizada para ser aplicada a matrizes não quadradas. De fato, vários autores fazem desta a definição de um permanente e consideram a restrição ao quadrado de matrizes um caso especial. Especificamente, para uma matriz m  ×  n com m  ≤  n , defina ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {\ sigma \ in \ operatorname {P} (n, m)} a_ {1 \ sigma (1)} a_ {2 \ sigma (2)} \ ldots a_ {m \ sigma (m)}}$

onde P ( n , m ) é o conjunto de todas as m -permutações do n-conjunto {1,2, ..., n}.

O resultado computacional de Ryser para permanentes também é generalizado. Se A é uma matriz m  ×  n com m  ≤  n , seja obtido de A excluindo k colunas, seja o produto das somas das linhas de e seja a soma dos valores de todos os possíveis . Então ${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle P (A_ {k})}$${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle \ sigma _ {k}}$${\ displaystyle P (A_ {k})}$${\ displaystyle A_ {k}}$

${\ displaystyle \ operatorname {perm} (A) = \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} (- 1) ^ {k} {\ binom {n-m + k} {k}} \ sigma _ {n-m + k}.}$

Sistemas de representantes distintos

A generalização da definição de matrizes permanentes para matrizes não quadradas permite que o conceito seja utilizado de forma mais natural em algumas aplicações. Por exemplo:

Sejam S ₁ , S ₂ , ..., S _m subconjuntos (não necessariamente distintos) de um n -conjunto com m  ≤  n . A matriz de incidência desta colecção de subconjuntos é um m  ×  N (0,1) -matrix Uma . O número de sistemas de representantes distintos (SDRs) desta coleção é perm ( A ).

Veja também

• Computando o permanente
• Teorema de Bapat-Beg , uma aplicação de permanentes em estatísticas de pedidos
• Determinante de Slater , uma aplicação de permanentes na mecânica quântica

Notas

Referências

• Brualdi, Richard A. (2006). Classes de matrizes combinatórias . Enciclopédia de matemática e suas aplicações. 108 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-86565-4. Zbl  1106.05001 .
• Minc, Henryk (1978). Permanentes . Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações. 6 . Com um prefácio de Marvin Marcus. Leitura, MA: Addison – Wesley. ISSN  0953-4806 . OCLC  3980645 . Zbl  0401.15005 .
• Muir, Thomas; Metzler, William H. (1960) [1882]. Um Tratado sobre a Teoria dos Determinantes . Nova York: Dover. OCLC  535903 .
• Percus, JK (1971), Combinatorial Methods , Applied Mathematical Sciences # 4, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90027-8
• Ryser, Herbert John (1963), Combinatorial Mathematics , The Carus Mathematical Monographs # 14, The Mathematical Association of America
• van Lint, JH; Wilson, RM (2001), A Course in Combinatorics , Cambridge University Press, ISBN 978-0521422604

Leitura adicional

• Hall Jr., Marshall (1986), Teoria Combinatória (2ª ed.), Nova York: John Wiley & Sons, pp. 56-72, ISBN 978-0-471-09138-7 Contém uma prova da conjectura de Van der Waerden.
• Marcus, M .; Minc, H. (1965), "Permanents", The American Mathematical Monthly , 72 (6): 577–591, doi : 10.2307 / 2313846 , JSTOR  2313846

links externos

• Permanente no PlanetMath .
• A conjectura permanente de Van der Waerden no PlanetMath .