Desigualdade de Pedoe - Pedoe's inequality

Em geometria , a desigualdade de Pedoe (também desigualdade de Neuberg – Pedoe ), nomeada em homenagem a Daniel Pedoe (1910–1998) e Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840–1926), afirma que se a , b e c são os comprimentos dos lados de a triângulo com área ƒ , e A , B e C são os comprimentos dos lados de um triângulo com área F , então

${\ displaystyle A ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) + B ^ {2} (a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2 }) + C ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) \ geq 16Ff, \,}$

com igualdade se e somente se os dois triângulos são semelhantes com pares de lados correspondentes ( A, a ), ( B, b ) e ( C, c ).

A expressão à esquerda não é apenas simétrica sob qualquer uma das seis permutações do conjunto {( A ,  a ), ( B ,  b ), ( C ,  c )} de pares, mas também - talvez não tão obviamente - permanece o mesmo se uma for trocado com um e b com b e C com  C . Em outras palavras, é uma função simétrica do par de triângulos.

A desigualdade de Pedoe é uma generalização da desigualdade de Weitzenböck , que é o caso em que um dos triângulos é equilátero .

Pedoe descobriu a desigualdade em 1941 e publicou-a posteriormente em vários artigos. Mais tarde, soube que a desigualdade já era conhecida no século 19 por Neuberg, que no entanto não provou que a igualdade implica a semelhança dos dois triângulos.

Veja também

• Lista de desigualdades de triângulo

Referências

• Daniel Pedoe : uma desigualdade conectando dois triângulos . The Mathematical Gazette, vol. 25, No. 267 (dezembro, 1941), pp. 310-311 ( JSTOR )
• Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality . The American Mathematical Monthly , volume 70, número 9, página 1012, novembro de 1963.
• Daniel Pedoe: uma desigualdade para dois triângulos . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , volume 38, parte 4, página 397, 1943.
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, ISBN  978-0-88385-342-9 , p. 108
• DS Mitrinović, Josip Pečarić: About the Neuberg-Pedoe and the Oppenheim inequalities . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129 (1): 196-210 · Janeiro de 1988 ( cópia online )