Lema do determinante da matriz - Matrix determinant lemma

Em matemática , em particular álgebra linear , a matriz determinante lema calcula o determinante da soma de um invertível matriz A e o produto dyadic , u  v ^t , de uma coluna de vetor u e uma fileira vetor v ^t .

Demonstração

Suponha que A seja uma matriz quadrada invertível e u , v sejam vetores de coluna . Então, o lema do determinante da matriz afirma que

${\ displaystyle \ det \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {uv} ^ {\ textf {T}} \ right) = \ left (1+ \ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {u} \ right) \, \ det \ left (\ mathbf {A} \ right) \ ,.}$

Aqui, uv ^T é o produto externo de dois vetores u e v .

O teorema também pode ser declarado em termos da matriz adjugada de A :

${\ displaystyle \ det \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {uv} ^ {\ textf {T}} \ right) = \ det \ left (\ mathbf {A} \ right) + \ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} \ mathrm {adj} \ left (\ mathbf {A} \ right) \ mathbf {u} \ ,,}$

nesse caso, aplica-se se a matriz quadrada A é ou não invertível.

Prova

Primeiro, a prova do caso especial A = I segue da igualdade:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {I} & 0 \\\ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {I} + \ mathbf {uv} ^ {\ textf {T}} & \ mathbf {u} \\ 0 & 1 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {I} & 0 \\ - \ mathbf {v} ^ {\ textosf {T}} & 1 \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatriz} \ mathbf {I} & \ mathbf {u} \\ 0 & 1 + \ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {u } \ end {pmatrix}}.}$

O determinante do lado esquerdo é o produto dos determinantes das três matrizes. Como a primeira e a terceira matrizes são matrizes triangulares com diagonal unitária, seus determinantes são apenas 1. O determinante da matriz do meio é o nosso valor desejado. O determinante do lado direito é simplesmente (1 + v ^T u ). Portanto, temos o resultado:

${\ displaystyle \ det \ left (\ mathbf {I} + \ mathbf {uv} ^ {\ textf {T}} \ right) = \ left (1+ \ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {u} \ right).}$

Então, o caso geral pode ser encontrado como:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ det \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {uv} ^ {\ textf {T}} \ right) & = \ det \ left (\ mathbf {A} \ right) ) \ det \ left (\ mathbf {I} + \ left (\ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {u} \ right) \ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} \ right) \ \ & = \ det \ left (\ mathbf {A} \ right) \ left (1+ \ mathbf {v} ^ {\ textf {T}} \ left (\ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf { u} \ right) \ right). \ end {alinhado}}}$

Aplicativo

Se o determinante e inverso de um já são conhecidas, a fórmula proporciona uma numericamente barato maneira para calcular o determinante de uma corrigido pela matriz uv ^T . O cálculo é relativamente barato porque o determinante de A + uv ^T não precisa ser calculado do zero (o que em geral é caro). Usando vetores unitários para u e / ou v , colunas, linhas ou elementos individuais de A podem ser manipulados e um determinante atualizado correspondentemente calculado de forma relativamente barata desta forma.

Quando o lema do determinante da matriz é usado em conjunto com a fórmula de Sherman-Morrison , o inverso e o determinante podem ser convenientemente atualizados juntos.

Generalização

Suponha que A seja uma matriz invertível n -by- n e U , V sejam matrizes n -by- m . Então

${\ displaystyle \ det \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {UV} ^ {\ textf {T}} \ right) = \ det \ left (\ mathbf {I_ {m}} + \ mathbf {V} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {U} \ right) \ det (\ mathbf {A}).}$

No caso especial, é a identidade Weinstein – Aronszajn . ${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ mathbf {I_ {n}}}$

Dado adicionalmente um invertível m -by- m matriz W , a relação também pode ser expressa como

${\ displaystyle \ det \ left (\ mathbf {A} + \ mathbf {UWV} ^ {\ textf {T}} \ right) = \ det \ left (\ mathbf {W} ^ {- 1} + \ mathbf { V} ^ {\ textf {T}} \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {U} \ right) \ det \ left (\ mathbf {W} \ right) \ det \ left (\ mathbf {A } \direito).}$

Veja também

• A fórmula de Sherman – Morrison , que mostra como atualizar o inverso, A ⁻¹ , para obter ( A + uv ^T ) ⁻¹ .
• A fórmula de Woodbury , que mostra como atualizar o inverso, A ⁻¹ , para obter ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .
• O teorema inverso binomial para ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .

Referências