Lista de momentos de inércia - List of moments of inertia

O momento de inércia , denotado por $I$ , mede até que ponto um objeto resiste à aceleração rotacional em torno de um eixo específico e é o análogo rotacional à massa (que determina a resistência de um objeto à aceleração linear ). Os momentos de inércia de massa têm unidades de dimensão ML² ([massa] × [comprimento]² ). Não deve ser confundido com o segundo momento da área , que é usado nos cálculos do feixe. O momento de inércia de massa também é conhecido como inércia rotacional e, às vezes, como massa angular .

Para objetos simples com simetria geométrica, muitas vezes pode-se determinar o momento de inércia em uma expressão de forma fechada exata . Normalmente, isso ocorre quando a densidade de massa é constante, mas em alguns casos a densidade pode variar em todo o objeto também. Em geral, pode não ser simples expressar simbolicamente o momento de inércia de formas com distribuições de massa mais complicadas e sem simetria. Ao calcular os momentos de inércia, é útil lembrar que é uma função aditiva e explorar os teoremas do eixo paralelo e do eixo perpendicular .

Este artigo considera principalmente distribuições de massa simétricas, com densidade constante em todo o objeto, e o eixo de rotação é considerado através do centro de massa, a menos que especificado de outra forma.

Momentos de inércia

A seguir estão os momentos escalares de inércia. Em geral, o momento de inércia é um tensor , veja abaixo.

Descrição	Figura	Momento (s) de inércia
Aponte a massa M a uma distância r do eixo de rotação. Uma massa pontual não tem um momento de inércia em torno de seu próprio eixo, mas usando o teorema do eixo paralelo, um momento de inércia em torno de um eixo de rotação distante é obtido.		${\ displaystyle I = Mr ^ {2}}$
Massas de dois pontos, m ₁ e m ₂ , com massa reduzida μ e separadas por uma distância x , em torno de um eixo que passa pelo centro de massa do sistema e perpendicular à linha que une as duas partículas.		${\ displaystyle I = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} \! + \! m_ {2}}} x ^ {2} = \ mu x ^ {2}}$
Haste fina de comprimento L e massa m , perpendicular ao eixo de rotação, girando em torno de seu centro. Essa expressão pressupõe que a haste é um fio infinitamente fino (mas rígido). Este é um caso especial da placa rectangular fina com o eixo de rotação no centro do prato, com W = G e h = 0.		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {center}} = {\ frac {1} {12}} mL ^ {2} \, \!}$
Haste fina de comprimento L e massa m , perpendicular ao eixo de rotação, girando em torno de uma extremidade. Essa expressão pressupõe que a haste é um fio infinitamente fino (mas rígido). Este também é um caso especial da placa rectangular fina com o eixo de rotação ao final da placa, com h = G e w = 0.		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {end}} = {\ frac {1} {3}} mL ^ {2} \, \!}$
Laço circular fino de raio re massa m . Este é um caso especial de um toro para a = 0 (ver abaixo), bem como de um tubo cilíndrico de parede espessa com extremidades abertas, com r ₁ = r ₂ e h = 0.		${\ displaystyle I_ {z} = sr ^ {2} \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$
Disco fino e sólido de raio re massa m . Este é um caso especial do cilindro sólido, com h = 0. Isso é uma consequência do teorema do eixo perpendicular . ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {I_ {z}} {2}} \,}$		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {4}} mr ^ {2} \, \!}$
Um anel uniforme (disco com um orifício concêntrico) de massa m , raio interno r ₁ e raio externo r ₂		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} m (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2})}$
Um anel com uma densidade de área constante ${\ displaystyle \ rho _ {A}}$		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} \ pi \ rho _ {A} (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4})}$
Casca cilíndrica fina com extremidades abertas, de raio re massa m . Esta expressão assume que a espessura da casca é desprezível. É um caso especial do tubo cilíndrico de parede espessa para r ₁ = r ₂ . Além disso, um ponto de massa m na extremidade de uma barra de comprimento r tem esse mesmo momento de inércia e o valor r é chamado de raio de giração .		${\ displaystyle I \ approx mr ^ {2} \, \!}$
Cilindro sólido de raio r , altura he massa m . Este é um caso especial do tubo cilíndrico de parede espessa, com r ₁ = 0.		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {12}} m \ left (3r ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$
Tubo cilíndrico de parede espessa com extremidades abertas, de raio interno r ₁ , raio externo r ₂ , comprimento he massa m .		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} m \ left (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} \ right) = mr_ {2} ^ {2 } \ left (1-t + {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ right)}$ onde t = ( r ₂ - r ₁ ) / r ₂ é uma razão de espessura normalizada; A fórmula acima é para o plano xy estar no meio do cilindro. Se o plano xy está na base do cilindro, a seguinte fórmula se aplica: ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {12}} m \ left (3 \ left (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} \ right ) + h ^ {2} \ direita)}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {12}} m \ left (3 \ left (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2} \ right ) + 4h ^ {2} \ direita)}$
Com uma densidade de ρ e a mesma geometria nota: isto é para um objeto com densidade constante		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {\ pi \ rho h} {2}} \ left (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {\ pi \ rho h} {12}} \ left (3 (r_ {2} ^ {4} -r_ {1} ^ {4}) + h ^ {2} (r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2}) \ direita)}$
Regular tetraedro de laterais s e de massa m		${\ displaystyle I _ {\ mathrm {solid}} = {\ frac {1} {20}} ms ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {hollow}} = {\ frac {1} {12}} ms ^ {2} \, \!}$
Regular octaedro de laterais s e de massa m		${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {oco}} = I_ {y, \ mathrm {oco}} = I_ {z, \ mathrm {oco}} = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2 } \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {solid}} = I_ {y, \ mathrm {solid}} = I_ {z, \ mathrm {solid}} = {\ frac {1} {10}} ms ^ {2 } \, \!}$
Regular dodecaedro de laterais s e de massa m		${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {oco}} = I_ {y, \ mathrm {oco}} = I_ {z, \ mathrm {oco}} = {\ frac {39 \ phi +28} {90}} ms ^ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {sólido}} = I_ {y, \ mathrm {sólido}} = I_ {z, \ mathrm {sólido}} = {\ frac {39 \ phi +28} {150}} ms ^ {2} \, \!}$ (onde ) ${\ displaystyle \ phi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$
Regular icosaedro de laterais s e de massa m		${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {oco}} = I_ {y, \ mathrm {oco}} = I_ {z, \ mathrm {oco}} = {\ frac {\ phi ^ {2}} {6} } ms ^ {2}}$ ${\ displaystyle I_ {x, \ mathrm {solid}} = I_ {y, \ mathrm {solid}} = I_ {z, \ mathrm {solid}} = {\ frac {\ phi ^ {2}} {10} } ms ^ {2} \, \!}$
Esfera oca de raio re massa m .		${\ displaystyle I = {\ frac {2} {3}} mr ^ {2} \, \!}$
Esfera sólida (bola) de raio re massa m .		${\ displaystyle I = {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} \, \!}$
Esfera (casca) de raio r ₂ e massa m , com cavidade esférica centrada de raio r ₁ . Quando o raio da cavidade r ₁ = 0, o objeto é uma bola sólida (acima). Quando R ₁ = r ₂ , e o objecto é uma esfera oca. ${\ displaystyle \ left ({\ frac {r_ {2} ^ {5} -r_ {1} ^ {5}} {r_ {2} ^ {3} -r_ {1} ^ {3}}} \ right ) = {\ frac {5} {3}} r_ {2} ^ {2}}$		${\ displaystyle I = {\ frac {2} {5}} m \ left ({\ frac {r_ {2} ^ {5} -r_ {1} ^ {5}} {r_ {2} ^ {3} -r_ {1} ^ {3}}} \ right) \, \!}$
Cone circular direito com raio r , altura he massa m		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {3} {10}} mr ^ {2} \, \!}$ Sobre um eixo que passa pela ponta: Sobre um eixo que passa pela base: Sobre um eixo que passa pelo centro de massa: ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m \ left ({\ frac {3} {20}} r ^ {2} + {\ frac {3} {5}} h ^ {2} \ right ) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m \ left ({\ frac {3} {20}} r ^ {2} + {\ frac {1} {10}} h ^ {2} \ right ) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = m \ left ({\ frac {3} {20}} r ^ {2} + {\ frac {3} {80}} h ^ {2} \ right ) \, \!}$
Cone oco circular direito com raio r , altura he massa m		${\ displaystyle I_ {z} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {x} = I_ {y} = {\ frac {1} {4}} m \ left (r ^ {2} + 2h ^ {2} \ right) \, \!}$
Toro com raio menor a , raio maior be massa m .		Sobre um eixo que passa pelo centro e perpendicular ao diâmetro: Sobre um diâmetro: ${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} m \ left (4b ^ {2} + 3a ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {8}} m \ left (5a ^ {2} + 4b ^ {2} \ right)}$
Elipsóide (sólido) dos semiaxos a , b e c com massa m		${\ displaystyle I_ {a} = {\ frac {1} {5}} m \ left (b ^ {2} + c ^ {2} \ right) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {b} = {\ frac {1} {5}} m \ left (a ^ {2} + c ^ {2} \ right) \, \!}$ ${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {1} {5}} m \ left (a ^ {2} + b ^ {2} \ right) \, \!}$
Placa retangular fina de altura h , largura w e massa m (eixo de rotação no final da placa)		${\ displaystyle I_ {e} = {\ frac {1} {12}} m \ left (4h ^ {2} + w ^ {2} \ right) \, \!}$
Placa retangular fina de altura h , largura w e massa m (eixo de rotação no centro)		${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {1} {12}} m \ left (h ^ {2} + w ^ {2} \ right) \, \!}$
Placa retangular fina de raio r e massa m (Eixo de rotação ao longo de um lado da placa)		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {3}} mr ^ {2}}$
Cuboide sólido de altura h , largura w e profundidade d e massa m . Para um cubo com orientação semelhante e lados de comprimento , ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle I _ {\ mathrm {CM}} = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2} \, \!}$		${\ displaystyle I_ {h} = {\ frac {1} {12}} m \ left (w ^ {2} + d ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {w} = {\ frac {1} {12}} m \ left (d ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle I_ {d} = {\ frac {1} {12}} m \ left (w ^ {2} + h ^ {2} \ right)}$
Cuboide sólido de altura D , largura W e comprimento L e massa m , girando na diagonal mais longa. Para um cubo com lados , . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2} \, \!}$		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} m \ left ({\ frac {W ^ {2} D ^ {2} + D ^ {2} L ^ {2} + W ^ {2} L ^ {2}} {W ^ {2} + D ^ {2} + L ^ {2}}} \ right)}$
Inclinada sólido cubóide de profundidade d , a largura w , e o comprimento L , e de massa m , girando sobre o eixo vertical (eixo y como pode ser visto na figura). Para um cubo com lados , . ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} ms ^ {2} \, \!}$		${\ displaystyle I = {\ frac {m} {12}} \ left (l ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta + d ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta + w ^ {2 }\direito)}$
Triângulo com vértices na origem e em P e Q , com massa m , girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pela origem.		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {6}} m (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} + \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {Q} + \ mathbf {Q} \ cdot \ mathbf {Q})}$
Polígono plano com vértices P ₁ , P ₂ , P ₃ , ..., P _N e massa m uniformemente distribuídos em seu interior, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando pela origem.		${\ displaystyle I = m \ left ({\ frac {\ sum \ limits _ {n = 1} ^ {N} \ \| \ mathbf {P} _ {n + 1} \ times \ mathbf {P} _ {n } \ \| \ left (\ left (\ mathbf {P} _ {n} \ cdot \ mathbf {P} _ {n} \ right) + \ left (\ mathbf {P} _ {n} \ cdot \ mathbf { P} _ {n + 1} \ right) + \ left (\ mathbf {P} _ {n + 1} \ cdot \ mathbf {P} _ {n + 1} \ right) \ right)} {6 \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {N} \ \| \ mathbf {P} _ {n + 1} \ times \ mathbf {P} _ {n} \ \|}} \ right)}$
Polígono plano regular com n- vértices e massa m uniformemente distribuída em seu interior, girando em torno de um eixo perpendicular ao plano e passando por seu baricentro . R é o raio do círculo circunscrito .		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} mR ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2} {3}} \ sin ^ {2} \ left ({\ tfrac {\ pi } {n}} \ direita) \ direita)}$
Um triângulo isósceles de massa M , ângulo de vértice 2β e comprimento do lado comum L (eixo através da ponta, perpendicular ao plano)		${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} mL ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2} {3}} \ sin ^ {2} \ left (\ beta \ right) \ direito)}$
Disco infinito com massa distribuída em uma distribuição bivariada gaussiana em dois eixos em torno do eixo de rotação com densidade de massa em função do vetor de posição ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle \ rho ({\ mathbf {x}}) = m {\ frac {\ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {x}} ^ {\ mathrm {T} } {\ boldsymbol {\ Sigma}} ^ {- 1} {\ mathbf {x}} \ right)} {\ sqrt {(2 \ pi) ^ {2} \| {\ boldsymbol {\ Sigma}} \|}} }}$		${\ displaystyle I = m \ cdot \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {\ Sigma}}) \, \!}$

Lista de tensores de inércia 3D

Esta lista de tensores de momento de inércia é dada para os eixos principais de cada objeto.

Para obter os momentos escalares de inércia I acima, o momento tensorial de inércia I é projetado ao longo de algum eixo definido por um vetor unitário n de acordo com a fórmula:

{\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {I} \ cdot \ mathbf {n} \ equiv n_ {i} I_ {ij} n_ {j} \ ,,}

onde os pontos indicam a contração do tensor e a convenção de soma de Einstein é usada. Na tabela acima, n seria a base cartesiana unitária e _x , e _y , e _z para obter I _x , I _y , I _z respectivamente.

Descrição	Figura	Momento de tensor de inércia
Esfera sólida de raio re massa m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {2} {5}} mr ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & { \ frac {2} {5}} mr ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Esfera oca de raio r e massa m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {2} {3}} mr ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {2} {3}} mr ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & { \ frac {2} {3}} mr ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Elipsóide sólido dos semi-eixos a , b , ce massa m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {5}} m (b ^ {2} + c ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {5}} m (a ^ {2} + c ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {5}} m (a ^ {2} + b ^ {2}) \ end {bmatrix}}}$
Cone circular direito com raio r , altura he massa m , sobre o ápice		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {3} {5}} mh ^ {2} + {\ frac {3} {20}} mr ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac { 3} {5}} mh ^ {2} + {\ frac {3} {20}} mr ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {3} {10}} mr ^ {2} \ end {bmatrix }}}$
Cuboide sólido de largura w , altura h , profundidade d e massa m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} m (h ^ {2} + d ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {12}} m (w ^ {2} + d ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {12}} m (w ^ {2} + h ^ {2}) \ end {bmatrix}}}$
Haste delgada ao longo do eixo y de comprimento le massa m sobre a extremidade		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {3}} ml ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {3}} ml ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Haste delgada ao longo do eixo y de comprimento le massa m sobre o centro		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} ml ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {12}} ml ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Cilindro sólido de raio r , altura he massa m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} m (3r ^ {2} + h ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {12}} m (3r ^ {2} + h ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} \ end {bmatrix}}}$
Tubo cilíndrico de parede espessa com extremidades abertas, de raio interno r ₁ , raio externo r ₂ , comprimento he massa m		${\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {12}} m (3 (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) + h ^ {2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1} {12}} m (3 (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) + h ^ {2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {2}} m (r_ {2} ^ {2} + r_ {1} ^ {2}) \ end {bmatrix}}}$

Languages

In other projects

Lista de momentos de inércia - List of moments of inertia

Conteúdo

Momentos de inércia

Lista de tensores de inércia 3D

Veja também

Notas

Referências

links externos