Funções Brillouin e Langevin - Brillouin and Langevin functions
As funções de Brillouin e Langevin são um par de funções especiais que aparecem ao estudar um material paramagnético idealizado em mecânica estatística .
Função Brillouin
A função Brillouin é uma função especial definida pela seguinte equação:
A função é geralmente aplicada (veja abaixo) no contexto onde é uma variável real e é um inteiro positivo ou meio-inteiro. Nesse caso, a função varia de -1 a 1, aproximando-se de +1 as e -1 as .
A função é mais conhecida por surgir no cálculo da magnetização de um paramagneto ideal . Em particular, ele descreve a dependência da magnetização no campo magnético aplicado e o número quântico total do momento angular J dos momentos magnéticos microscópicos do material. A magnetização é dada por:
Onde
- é o número de átomos por unidade de volume,
- o fator g ,
- o magneto Bohr ,
- é a razão da energia Zeeman do momento magnético no campo externo para a energia térmica :
- é a constante de Boltzmann e a temperatura.
Note-se que no sistema de SI de unidades dadas em Tesla representa o campo magnético , onde é o campo magnético auxiliar dada em A / m e é a permeabilidade do vácuo .
Clique em "mostrar" para ver uma derivação desta lei: Uma derivação desta lei que descreve a magnetização de um paramagneto ideal é a seguinte. Seja z a direção do campo magnético. A componente z do momento angular de cada momento magnético (também conhecido como número quântico azimutal ) pode assumir um dos 2J + 1 valores possíveis -J, -J + 1, ..., + J. Cada um deles tem uma energia diferente, devido ao campo externo B : A energia associada ao número quântico m é (onde g é o fator g , μ B é o magneto de Bohr e x é conforme definido no texto acima). A probabilidade relativa de cada um deles é dada pelo fator de Boltzmann :
onde Z (a função de partição ) é uma constante de normalização tal que as probabilidades somam a unidade. Calculando Z , o resultado é:
- .
Ao todo, o valor esperado do número quântico azimutal m é
- .
O denominador é uma série geométrica e o numerador é um tipo de série aritmético-geométrica , de modo que as séries podem ser somadas explicitamente. Depois de alguma álgebra, o resultado acaba sendo
Com N momentos magnéticos por unidade de volume, a densidade de magnetização é
- .
Takacs propôs a seguinte aproximação para o inverso da função de Brillouin:
onde as constantes e são definidas para ser
Função Langevin
No limite clássico, os momentos podem ser alinhados continuamente no campo e podem assumir todos os valores ( ). A função Brillouin é então simplificada na função Langevin , em homenagem a Paul Langevin :
Para pequenos valores de x , a função Langevin pode ser aproximada por um truncamento de sua série de Taylor :
Uma aproximação alternativa e melhor comportada pode ser derivada da expansão de fração contínua de Lambert de tanh ( x ) :
Para x pequeno o suficiente , ambas as aproximações são numericamente melhores do que uma avaliação direta da expressão analítica real, uma vez que esta última sofre de perda de significância .
A função Langevin inversa L −1 ( x ) é definida no intervalo aberto (−1, 1). Para pequenos valores de x , ele pode ser aproximado por um truncamento de sua série de Taylor
e pelo Padé aproximant
Como essa função não tem forma fechada, é útil ter aproximações válidas para valores arbitrários de x . Uma aproximação popular, válida em todo o intervalo (-1, 1), foi publicada por A. Cohen:
Isso tem um erro relativo máximo de 4,9% na vizinhança de x = ± 0,8 . Maior precisão pode ser alcançada usando a fórmula fornecida por R. Jedynak:
válido para x ≥ 0 . O erro relativo máximo para esta aproximação é 1,5% na vizinhança de x = 0,85. Uma precisão ainda maior pode ser alcançada usando a fórmula dada por M. Kröger:
O erro relativo máximo para esta aproximação é inferior a 0,28%. Aproximação mais precisa foi relatada por R. Petrosyan:
válido para x ≥ 0 . O erro relativo máximo para a fórmula acima é inferior a 0,18%.
Nova aproximação dada por R. Jedynak, é o aproximador mais bem relatado na complexidade 11:
válido para x ≥ 0 . Seu erro relativo máximo é inferior a 0,076%.
O diagrama do estado da arte atual das aproximações da função Langevin inversa apresenta a figura abaixo. É válido para os aproximados racionais / Padé,
Um artigo publicado recentemente por R. Jedynak fornece uma série de aproximações ótimas para a função de Langevin inversa. A tabela abaixo relata os resultados com comportamentos assintóticos corretos.
Comparação de erros relativos para as diferentes aproximações racionais ótimas, que foram calculadas com restrições (Apêndice 8 Tabela 1)
Complexidade | Aproximação ótima | Erro relativo máximo [%] |
---|---|---|
3 | 13 | |
4 | 0,95 | |
5 | 0,56 | |
6 | 0,16 | |
7 | 0,082 |
Também recentemente, um aproximador de precisão próximo à máquina eficiente, baseado em interpolações de spline, foi proposto por Benítez e Montáns, onde o código Matlab também é fornecido para gerar o aproximador baseado em spline e para comparar muitos dos aproximadores previamente propostos em todas as funções domínio.
Limite de alta temperatura
Quando isto é, quando é pequeno, a expressão da magnetização pode ser aproximada pela lei de Curie :
onde é uma constante. Pode-se notar que é o número efetivo de magnetos de Bohr.
Limite de campo alto
Quando , a função Brillouin vai para 1. A magnetização satura com os momentos magnéticos completamente alinhados com o campo aplicado: