Equação de Korteweg-De Vries - Korteweg–De Vries equation

Solução da onda cnoidal para a equação de Korteweg – De Vries, em termos do quadrado da função elíptica de Jacobi cn (e com valor do parâmetro m = 0,9 ).

Solução numérica da equação KdV

u t + u u x + δ 2 u x x x = 0

(

δ = 0,022

) com uma condição inicial

u (x, 0) = cos (π x)

. Seu cálculo foi feito pelo esquema Zabusky-Kruskal. A onda cosseno inicial evolui para uma seqüência de ondas do tipo solitário.

Em matemática , a equação de Korteweg – De Vries (KdV) é um modelo matemático de ondas em superfícies de águas rasas. É particularmente notável como o exemplo prototípico de um modelo exatamente solucionável , ou seja, uma equação diferencial parcial não linear cujas soluções podem ser especificadas de maneira exata e precisa. O KdV pode ser resolvido por meio da transformada de espalhamento inversa . A teoria matemática por trás da equação KdV é um tópico de pesquisa ativa. A equação KdV foi introduzida pela primeira vez por Boussinesq ( 1877 , nota de rodapé na página 360) e redescoberta por Diederik Korteweg e Gustav de Vries ( 1895 ).

Definição

A equação KdV é uma equação diferencial parcial dispersiva não linear para uma função de duas variáveis reais adimensionais , x e t que são proporcionais ao espaço e ao tempo, respectivamente: ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi -6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

com ∂ _x e ∂ _t denotando derivadas parciais em relação ax e t .

A constante 6 na frente do último termo é convencional, mas não tem grande significado: multiplicar t , x e por constantes pode ser usado para tornar os coeficientes de qualquer um dos três termos iguais a quaisquer constantes diferentes de zero. ${\ displaystyle \ phi}$

Soluções Soliton

Considere soluções nas quais uma forma de onda fixa (dada por f ( X )) mantém sua forma enquanto viaja para a direita na velocidade de fase c . Tal solução é dada por φ ( x , t ) = f ( x - ct - a ) = f ( X ). Substituí-lo na equação KdV dá a equação diferencial ordinária

{\ displaystyle -c {\ frac {df} {dX}} + {\ frac {d ^ {3} f} {dX ^ {3}}} - 6f {\ frac {df} {dX}} = 0, }

ou, integrando em relação a X ,

{\ displaystyle -cf + {\ frac {d ^ {2} f} {dX ^ {2}}} - 3f ^ {2} = A}

onde A é uma constante de integração . Interpretando a variável independente X acima como uma variável de tempo virtual, isso significa que f satisfaz a equação de movimento de Newton de uma partícula de massa unitária em um potencial cúbico

{\ displaystyle V (f) = - \ left (f ^ {3} + {\ frac {1} {2}} cf ^ {2} + Af \ right)}

Se

{\ displaystyle A = 0, \, c> 0}

então a função potencial V ( f ) tem máximo local em f = 0, há uma solução em que f ( X ) começa neste ponto em 'tempo virtual' −∞, eventualmente desliza para baixo para o mínimo local , então volta para cima no do outro lado, atingindo uma altura igual, então inverte a direção, terminando no máximo local novamente no tempo ∞. Em outras palavras, f ( X ) se aproxima de 0 quando X → ± ∞. Esta é a forma característica da solução de onda solitária .

Mais precisamente, a solução é

{\ displaystyle \ phi (x, t) = - {\ frac {1} {2}} \, c \, \ operatorname {sech} ^ {2} \ left [{{\ sqrt {c}} \ over 2 } (xc \, ta) \ right]}

onde sech representa a secante hiperbólica e a é uma constante arbitrária. Isso descreve um soliton que se move para a direita .

Integrais de movimento

A equação KdV tem infinitas integrais de movimento ( Miura, Gardner & Kruskal 1968 ), que não mudam com o tempo. Eles podem ser fornecidos explicitamente como

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} P_ {2n-1} (\ phi, \, \ partial _ {x} \ phi, \, \ partial _ {x} ^ {2} \ phi, \, \ ldots) \, {\ text {d}} x \,}

onde os polinômios P _n são definidos recursivamente por

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} P_ {1} & = \ phi, \\ P_ {n} & = - {\ frac {dP_ {n-1}} {dx}} + \ sum _ {i = 1 } ^ {n-2} \, P_ {i} \, P_ {n-1-i} \ quad {\ text {para}} n \ geq 2. \ end {alinhado}}}

As primeiras integrais de movimento são:

a missa ${\ displaystyle \ int \ phi \, {\ text {d}} x,}$
o Impulso ${\ displaystyle \ int \ phi ^ {2} \, {\ text {d}} x,}$
a energia ${\ displaystyle \ int \ left [2 \ phi ^ {3} - \ left (\ partial _ {x} \ phi \ right) ^ {2} \ right] \, {\ text {d}} x.}$

Apenas os termos ímpares P _{(2 n +1)} resultam em integrais de movimento não triviais (significando diferentes de zero) ( Dingemans 1997 , p. 733).

Pares relaxados

A equação KdV

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi = 6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi - \ partial _ {x} ^ {3} \ phi}

pode ser reformulada como a equação de Lax

{\ displaystyle L_ {t} = [L, A] \ equiv LA-AL \,}

com o operador L a Sturm – Liouville :

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} L & = - \ partial _ {x} ^ {2} + \ phi, \\ A & = 4 \ partial _ {x} ^ {3} -3 \ left [\ phi \, \ parcial _ {x} + \ parcial _ {x} \ phi \ right] \ end {alinhado}}}

e isso explica o número infinito de primeiras integrais da equação KdV ( Lax 1968 ).

Princípio de menor ação

A equação de Korteweg-De Vries

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0,}

é a equação de movimento de Euler-Lagrange derivada da densidade de Lagrange , ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \,}$

{\ displaystyle {\ mathcal {L}}: = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \, \ partial _ {t} \ psi + \ left (\ partial _ {x} \ psi \ right) ^ {3} - {\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {x} ^ {2} \ psi \ right) ^ {2}}

( 1 )

com definido por ${\ displaystyle \ phi}$

{\ displaystyle \ phi: = {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}.}

Derivação das equações de Euler-Lagrange

Uma vez que o Lagrangiano (eq (1)) contém segundas derivadas, a equação de movimento de Euler-Lagrange para este campo é

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu \ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu \ mu} \ psi)}} \ right) - \ parcial _ {\ mu} \ esquerda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi)}} \ direita) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi}} = 0.}

( 2 )

onde é uma derivada em relação ao componente. ${\ displaystyle \ partial}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Uma soma está implícita, então eq (2) realmente lê, ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) + \ partial _ {xx } \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) - \ partial _ {t} \ left ({\ frac { \ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {t} \ psi)}} \ direita) - \ parcial _ {x} \ esquerdo ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L} }} {\ parcial (\ parcial _ {x} \ psi)}} \ direita) + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ psi}} = 0.}

( 3 )

Avalie os cinco termos da eq (3) inserindo a eq (1),

{\ displaystyle \ partial _ {tt} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {tt} \ psi)}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {xx} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {xx } \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right)}

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {t} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {t } \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right)}

{\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {x} \ psi)}} \ right) = \ partial _ {x } \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) \,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi}} = 0}

Lembre-se da definição , então use-a para simplificar os termos acima, ${\ displaystyle \ phi = \ partial _ {x} \ psi}$

{\ displaystyle \ partial _ {xx} \ left (- \ partial _ {xx} \ psi \ right) = - \ partial _ {xxx} \ phi}

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {x} \ psi \ right) = {\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi}

{\ displaystyle \ partial _ {x} \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ psi +3 (\ partial _ {x} \ psi) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ parcial _ {t} \ phi +3 \ parcial _ {x} (\ phi) ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ parcial _ {t } \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi}

Finalmente, conecte esses três termos diferentes de zero de volta na eq (3) para ver

{\ displaystyle \ left (- \ partial _ {xxx} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi \ right) - \ left ({\ frac {1} {2}} \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \ partial _ {x} \ phi \ right) = 0,}

que é exatamente a equação KdV

{\ displaystyle \ partial _ {t} \ phi +6 \ phi \, \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi = 0.}

Assintóticos de longa data

Pode ser mostrado que qualquer solução suave de decadência suficientemente rápida acabará se dividindo em uma superposição finita de solitons viajando para a direita mais uma parte dispersiva decadente viajando para a esquerda. Isso foi observado pela primeira vez por Zabusky & Kruskal (1965) e pode ser rigorosamente comprovado usando a análise de descida mais íngreme não linear para problemas oscilatórios de Riemann-Hilbert .

História

A história da equação KdV começou com experimentos de John Scott Russell em 1834, seguido por investigações teóricas por Lord Rayleigh e Joseph Boussinesq por volta de 1870 e, finalmente, Korteweg e De Vries em 1895.

A equação KdV não foi estudada muito depois disso até que Zabusky & Kruskal (1965) descobriram numericamente que suas soluções pareciam se decompor em grandes momentos em uma coleção de "solitons": ondas solitárias bem separadas. Além disso, os solitons parecem quase não ter sua forma afetada ao passarem uns pelos outros (embora isso pudesse causar uma mudança em sua posição). Eles também fizeram a conexão com experimentos numéricos anteriores de Fermi, Pasta, Ulam e Tsingou , mostrando que a equação KdV era o limite do contínuo do sistema FPUT . O desenvolvimento da solução analítica por meio da transformada de espalhamento inverso foi feito em 1967 por Gardner, Greene, Kruskal e Miura.

A equação KdV agora é vista como intimamente ligada ao princípio de Huygens .

Aplicativos e conexões

A equação KdV tem várias conexões com problemas físicos. Além de ser a equação governante da corda no problema Fermi – Pasta – Ulam – Tsingou no limite do contínuo, ela descreve aproximadamente a evolução de ondas longas e unidimensionais em muitos ambientes físicos, incluindo:

ondas de águas rasas com forças de restauração fracamente não lineares ,
longas ondas internas em um oceano estratificado por densidade ,
ondas acústicas iônicas em um plasma ,
ondas acústicas em uma estrutura de cristal .

A equação KdV também pode ser resolvida usando a transformada de espalhamento inversa , como aquelas aplicadas à equação de Schrödinger não linear .

Equação KdV e a equação Gross-Pitaevskii

Considerando as soluções simplificadas do formulário

{\ displaystyle \ phi (x, t) = \ phi (x \ pm t)}

obtemos a equação KdV como

{\ displaystyle \ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} ^ {3} \ phi +6 \, \ phi \, \ partial _ {x} \ phi = 0 \,}

ou

{\ displaystyle \ pm \ partial _ {x} \ phi + \ partial _ {x} (\ partial _ {x} ^ {2} \ phi +3 \ phi ^ {2}) = 0 \,}

Integrando e tomando o caso especial em que a constante de integração é zero, temos:

{\ displaystyle - \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {2} = \ pm \ phi \,}

que é o caso especial da equação generalizada estacionária de Gross-Pitaevskii (GPE) ${\ displaystyle \ lambda = 1}$

{\ displaystyle - \ partial _ {x} ^ {2} \ phi -3 \ phi ^ {\ lambda} \ phi = \ pm \ phi \,}

Portanto, para a certa classe de soluções de GPE generalizado ( para o condensado unidimensional verdadeiro e ao usar a equação tridimensional em uma dimensão), duas equações são uma. Além disso, tomando o caso com o sinal menos e o real, obtém-se uma auto-interação atrativa que deve produzir um soliton brilhante . ${\ displaystyle \ lambda = 4}$ ${\ displaystyle \ lambda = 2}$ ${\ displaystyle \ lambda = 3}$ ${\ displaystyle \ phi}$

Variações

Muitas variações diferentes das equações KdV foram estudadas. Alguns estão listados na tabela a seguir.

Nome	Equação
Korteweg – De Vries (KdV)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u + 6u \ parcial _ {x} u = 0}$
KdV (cilíndrico)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u-6u \ parcial _ {x} u + {\ tfrac {1} {2t}} u = 0}$
KdV (deformado)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} \ left ({\ frac {\ parcial _ {x} ^ {2} u-2 \ eta u ^ {3} -3u (\ parcial _ {x} u) ^ {2}} {2 (\ eta + u ^ {2})}} \ right) = 0}$
KdV (generalizado)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u = \ parcial _ {x} ^ {5} u}$
KdV (generalizado)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u + \ parcial _ {x} f (u) = 0}$
KdV (Lax 7th) Darvishi, Kheybari & Khani (2007)	${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} & \ left \ {35u ^ {4} +70 \ left (u ^ {2} \ partial _ {x} ^ { 2} u + u \ left (\ partial _ {x} u \ right) ^ {2} \ right) \ right. \\ & \ left. \ Quad +7 \ left (2u \ partial _ {x} ^ { 4} u + 3 \ left (\ partial _ {x} ^ {2} u \ right) ^ {2} +4 \ partial _ {x} \ partial _ {x} ^ {3} u \ right) + \ parcial _ {x} ^ {6} u \ right \} = 0 \ end {alinhado}}}$
KdV (modificado)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u \ pm 6u ^ {2} \ parcial _ {x} u = 0}$
KdV (modificado modificado)	${\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} u + \ partial _ {x} ^ {3} u - {\ tfrac {1} {8}} (\ partial _ {x} u) ^ {3} + (\ parcial _ {x} u) (Ae ^ {au} + B + Ce ^ {- au}) = 0}$
KdV (esférico)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u-6u \ parcial _ {x} u + {\ tfrac {1} {t}} u = 0}$
KdV (super)	${\ displaystyle \ displaystyle {\ begin {cases} \ parcial _ {t} u = 6u \ parcial _ {x} u- \ parcial _ {x} ^ {3} u + 3w \ parcial _ {x} ^ {2 } w \\\ parcial _ {t} w = 3 (\ parcial _ {x} u) w + 6u \ parcial _ {x} w-4 \ parcial _ {x} ^ {3} w \ final {casos} }}$
KdV (transicional)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ parcial _ {x} ^ {3} u-6f (t) u \ parcial _ {x} u = 0}$
KdV (coeficientes variáveis)	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ beta t ^ {n} \ parcial _ {x} ^ {3} u + \ alpha t ^ {n} u \ parcial _ {x} u = 0}$
Equação de Korteweg – De Vries – Burgers	${\ displaystyle \ displaystyle \ parcial _ {t} u + \ mu \ parcial _ {x} ^ {3} u + 2u \ parcial _ {x} u- \ nu \ parcial _ {x} ^ {2} u = 0 }$
KdV não homogêneo	${\ displaystyle \ partial _ {t} u + \ alpha u + \ beta \ partial _ {x} u + \ gamma \ partial _ {x} ^ {2} u = Ai (x), \ quad u (x, 0) = f (x)}$

q-analogs

Para o análogo-q da equação KdV, consulte Frenkel (1996) e Khesin, Lyubashenko & Roger (1997) .

Veja também

Notas

Referências

Boussinesq, J. (1877), Essai sur la the theory des eaux courantes , Memoires presentes par divers savants `l'Acad. des Sci. Inst. Nat. França, XXIII, pp. 1-680
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Dingemans, MW (1997), Water wave propagation over uneven bottoms , Advanced Series on Ocean Engineering, 13 , World Scientific, Singapura, ISBN 981-02-0427-2, 2 partes, 967 páginas
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links externos

Equação de Korteweg – De Vries em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Equação de Korteweg – De Vries em NEQwiki, a enciclopédia de equações não lineares.
Equação cilíndrica de Korteweg – De Vries em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Equação de Korteweg – De Vries modificada em EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Equação de Korteweg – De Vries modificada em NEQwiki, a enciclopédia de equações não lineares.
Weisstein, Eric W. "Korteweg – deVries Equation" . MathWorld .
Derivação da equação de Korteweg – De Vries para um canal estreito.
Solução de Três Solitons da Equação KdV - [1]
Solução de três solitons (instável) da equação KdV - [2]
Aspectos matemáticos de equações do tipo Korteweg – De Vries são discutidos na Dispersive PDE Wiki .
Solitons from the Korteweg – De Vries Equation por SM Blinder, The Wolfram Demonstrations Project .
Solitons e equações de ondas não lineares

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