O pêndulo de Kater - Kater's pendulum

O pêndulo original de Kater, mostrando o uso, do artigo de 1818 de Kater. O período do pêndulo foi cronometrado comparando sua oscilação com o pêndulo no relógio de precisão atrás dele. A mira (esquerda) foi usada para evitar o erro de paralaxe .

Um pêndulo de Kater é um balanço livre reversível pêndulo inventado pela British físico eo exército capitão Henry Kater em 1817 para uso como um gravimeter instrumento para medir o local de aceleração da gravidade . Sua vantagem é que, ao contrário dos gravímetros de pêndulo anteriores, o centro de gravidade e o centro de oscilação do pêndulo não precisam ser determinados, permitindo uma maior precisão. Por cerca de um século, até a década de 1930, o pêndulo de Kater e seus vários refinamentos permaneceram o método padrão para medir a força da gravidade da Terra durante levantamentos geodésicos . Agora é usado apenas para demonstrar os princípios do pêndulo.

Descrição

Um pêndulo pode ser usado para medir a aceleração da gravidade g porque para oscilações estreitas seu período de oscilação T depende apenas de ge seu comprimento L :

${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {L} {g}}} \ qquad \ qquad \ qquad (1) \,}$

Portanto, medindo o comprimento L e o período T de um pêndulo, g pode ser calculado.

O pêndulo de Kater consiste em uma barra de metal rígida com dois pontos de articulação, um próximo a cada extremidade da barra. Ele pode ser suspenso de qualquer pivô e balançado. Também possui um peso ajustável que pode ser movido para cima e para baixo na barra, ou um pivô ajustável, para ajustar os períodos de oscilação. Em uso, é girado a partir de um pivô, e o período cronometrado, e então virado de cabeça para baixo e balançado a partir do outro pivô, e o período cronometrado. O peso móvel (ou pivô) é ajustado até que os dois períodos sejam iguais. Neste ponto, o período T é igual ao período de um pêndulo simples "ideal" de comprimento igual à distância entre os pivôs. A partir do período e da distância medida L entre os pivôs, a aceleração da gravidade pode ser calculada com grande precisão a partir da equação (1) acima.

A aceleração da gravidade pelo pêndulo de Kater é dada por,

${\ displaystyle g = {\ frac {8 \ pi ^ {2}} {{\ dfrac {T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2}} {l_ {1} + l_ {2} }} + {\ dfrac {T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2}} {l_ {1} -l_ {2}}}}}}$

onde T1 e T2 são os períodos de tempo de oscilações quando está suspenso de K1 e K2 respectivamente e l1 e l2 são as distâncias dos gumes K1 e K2 do centro de gravidade, respectivamente.

História

Medição da gravidade com pêndulos

Um pêndulo e suporte de Kater

A primeira pessoa a descobrir que a gravidade variava na superfície da Terra foi o cientista francês Jean Richer , que em 1671 foi enviado em uma expedição a Caiena , na Guiana Francesa , pela Académie des Sciences francesa , incumbido de fazer medições com um relógio de pêndulo . Por meio das observações que fez no ano seguinte, Richer determinou que o relógio era 2½ minutos por dia mais lento do que em Paris, ou equivalentemente, o comprimento de um pêndulo com uma oscilação de um segundo havia 1¼ linhas de Paris , ou 2,6 mm, mais curto que Em Paris. Foi percebido pelos cientistas da época, e provado por Isaac Newton em 1687, que isso se devia ao fato de que a Terra não era uma esfera perfeita, mas ligeiramente achatada ; era mais espesso no equador por causa da rotação da Terra. Como a superfície estava mais distante do centro da Terra em Caiena do que em Paris, a gravidade era mais fraca ali. Desde então, pêndulos de asas livres começaram a ser usados ​​como gravímetros de precisão , feitos em viagens a diferentes partes do mundo para medir a aceleração gravitacional local. O acúmulo de dados de gravidade geográfica resultou em modelos cada vez mais precisos da forma geral da Terra.

Os pêndulos eram tão universalmente usados ​​para medir a gravidade que, no tempo de Kater, a força local da gravidade geralmente era expressa não pelo valor da aceleração g agora usada, mas pelo comprimento naquele local do segundo pêndulo , um pêndulo com um período de dois segundos, então cada golpe leva um segundo. Pode-se ver na equação (1) que para um pêndulo de segundos, o comprimento é simplesmente proporcional ag :

${\ displaystyle g = \ pi ^ {2} L \,}$

Imprecisão dos pêndulos gravimétricos

Na época de Kater, o período T dos pêndulos podia ser medido com muita precisão cronometrando-os com relógios de precisão ajustados pela passagem das estrelas no céu. Antes da descoberta de Kater, a precisão das medições de g era limitada pela dificuldade de medir o outro fator L , o comprimento do pêndulo, com precisão. L na equação (1) acima era o comprimento de um 'pêndulo simples' matemático ideal que consiste em uma massa pontual oscilando na extremidade de um cordão sem massa. No entanto, o "comprimento" de um pêndulo real, um corpo rígido oscilante, conhecido em mecânica como pêndulo composto , é mais difícil de definir. Em 1673, o cientista holandês Christiaan Huygens em sua análise matemática de pêndulos, Horologium Oscillatorium , mostrou que um pêndulo real tinha o mesmo período de um pêndulo simples com um comprimento igual à distância entre o ponto de pivô e um ponto chamado centro de oscilação , que está localizado sob o centro de gravidade do pêndulo e depende da distribuição de massa ao longo do comprimento do pêndulo. O problema era que não havia como encontrar com precisão a localização do centro de oscilação em um pêndulo real. Teoricamente, ele poderia ser calculado a partir da forma do pêndulo se as peças de metal tivessem densidade uniforme, mas a qualidade metalúrgica e as habilidades matemáticas da época não permitiam que o cálculo fosse feito com precisão.

Para contornar esse problema, a maioria dos primeiros pesquisadores da gravidade, como Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) e Jean-Charles de Borda (1792), aproximaram um pêndulo simples usando uma esfera de metal suspensa por uma luz fio. Se o fio tivesse massa desprezível, o centro de oscilação estava próximo ao centro de gravidade da esfera. Mas até mesmo encontrar o centro de gravidade da esfera com precisão foi difícil. Além disso, esse tipo de pêndulo não era muito preciso. A esfera e o fio não balançaram para frente e para trás como uma unidade rígida, porque a esfera adquiriu um leve momento angular durante cada movimento. Além disso, o fio esticado elasticamente durante a oscilação do pêndulo, mudando L ligeiramente durante o ciclo.

Solução de Kater

No entanto, no Horologium Oscillatorium , Huygens também provou que o ponto de pivô e o centro de oscilação eram intercambiáveis. Ou seja, se algum pêndulo for suspenso de cabeça para baixo de seu centro de oscilação, ele terá o mesmo período de oscilação, e o novo centro de oscilação será o antigo ponto de pivô. A distância entre esses dois pontos conjugados era igual ao comprimento de um pêndulo simples com o mesmo período.

Como parte de um comitê nomeado pela Royal Society em 1816 para reformar as medidas britânicas, Kater foi contratado pela Câmara dos Comuns para determinar com precisão a duração do segundo pêndulo em Londres. Ele percebeu que o princípio de Huygens poderia ser usado para encontrar o centro de oscilação e, portanto, o comprimento L de um pêndulo rígido (composto). Se um pêndulo fosse pendurado de cabeça para baixo a partir de um segundo ponto de pivô que pudesse ser ajustado para cima e para baixo na haste do pêndulo, e o segundo pivô fosse ajustado até que o pêndulo tivesse o mesmo período que tinha quando oscilava do lado direito do primeiro pivô o segundo pivô seria no centro de oscilação, e a distância entre os dois pontos de articulação seria G .

Kater não foi a primeira a ter essa ideia. O matemático francês Gaspard de Prony propôs pela primeira vez um pêndulo reversível em 1800, mas seu trabalho não foi publicado até 1889. Em 1811, Friedrich Bohnenberger o descobriu novamente, mas Kater o inventou independentemente e foi o primeiro a colocá-lo em prática.

Desenho do pêndulo de Kater
(a) pivôs de lâmina de faca opostos a partir dos quais o pêndulo está suspenso
(b) peso de ajuste fino movido pelo parafuso de ajuste
(c) peso de ajuste grosso preso à haste por parafuso de fixação
(d) bob
(e) ponteiros para leitura

O pêndulo

Kater construiu um pêndulo que consiste em uma haste de latão com cerca de 2 metros de comprimento, 1 ½ polegada de largura e 1/8 de polegada de espessura, com um peso (d) em uma das pontas. Para um pivô de baixo atrito, ele usou um par de pequenas lâminas triangulares de 'faca' presas à haste. Em uso, o pêndulo era pendurado em um suporte na parede, apoiado nas bordas das lâminas da faca apoiadas em placas planas de ágata. O pêndulo tinha dois desses pivôs de lâmina de faca (a) , voltados um para o outro, separados por cerca de um metro (40 pol.), De modo que um balanço do pêndulo levava aproximadamente um segundo quando pendurado em cada pivô.

Kater descobriu que fazer um dos pivôs ajustável causava imprecisões, tornando difícil manter o eixo de ambos os pivôs precisamente paralelos. Em vez disso, ele prendeu permanentemente as lâminas da faca à haste e ajustou os períodos do pêndulo por um pequeno peso móvel (b, c) no eixo do pêndulo. Uma vez que a gravidade varia apenas em no máximo 0,5% sobre a Terra, e na maioria dos locais muito menos do que isso, o peso só teve que ser ajustado ligeiramente. Mover o peso em direção a um dos pivôs diminuiu o período quando pendurado naquele pivô e aumentou o período quando pendurado no outro pivô. Isso também tinha a vantagem de que a medição precisa da separação entre os pivôs só precisava ser feita uma vez.

Procedimento experimental

Para o uso, o pêndulo foi pendurado em um suporte na parede, com os pivôs das lâminas da faca apoiados em duas pequenas placas de ágata horizontais, na frente de um relógio de pêndulo de precisão para cronometrar o período. Ele foi balançado primeiro a partir de um pivô, e as oscilações cronometradas, depois viradas de cabeça para baixo e balançadas a partir do outro pivô, e as oscilações cronometradas novamente. O pequeno peso (b) foi ajustado com o parafuso de ajuste, e o processo repetido até que o pêndulo tivesse o mesmo período ao ser balançado de cada pivô. Ao colocar o período T medido e a distância medida entre as lâminas de pivô L , na equação de período (1), g pode ser calculado com muita precisão.

Kater realizou 12 tentativas. Ele mediu o período de seu pêndulo com muita precisão usando o pêndulo do relógio pelo método das coincidências ; cronometrando o intervalo entre as coincidências quando os dois pêndulos estavam balançando em sincronismo. Ele mediu a distância entre as lâminas de pivô com um comparador de microscópio, com uma precisão de 10 ⁻⁴ pol. (2,5 μm). Tal como acontece com outras medições de gravidade do pêndulo, ele teve que aplicar pequenas correções ao resultado para uma série de fatores variáveis:

• a largura finita da oscilação do pêndulo, que aumentou o período
• temperatura, o que fez com que o comprimento da haste variasse devido à expansão térmica
• pressão atmosférica, que reduziu a massa efetiva do pêndulo pela flutuabilidade do ar deslocado, aumentando o período
• altitude, o que reduzia a força gravitacional com a distância do centro da Terra. As medições de gravidade são sempre referenciadas ao nível do mar .

Ele deu seu resultado como a duração do pêndulo de segundos . Após as correções, ele descobriu que o comprimento médio do pêndulo dos segundos solares em Londres, ao nível do mar, a 62 ° F (17 ° C), oscilando no vácuo, era de 39,1386 polegadas. Isso é equivalente a uma aceleração gravitacional de 9,81158 m / s ² . A maior variação de seus resultados a partir da média foi de 0,00028 polegadas (7,1 μm). Isso representou uma precisão de medição da gravidade de 0,7 × 10 ⁻⁵ (7 miligais ).

Em 1824, o Parlamento britânico fez da medição de Kater do pêndulo dos segundos o padrão de backup oficial de comprimento para definir o pátio se o protótipo do pátio fosse destruído.

Usar

Gravímetro com variante do pêndulo Repsold

O grande aumento na precisão da medição da gravidade possibilitado pelo pêndulo de Kater estabeleceu a gravimetria como uma parte regular da geodésia . Para ser útil, era necessário encontrar a localização exata (latitude e longitude) da 'estação' onde a medição da gravidade foi feita, então as medições do pêndulo tornaram-se parte do levantamento . Os pêndulos de Kater foram tirados dos grandes levantamentos geodésicos históricos de grande parte do mundo que estavam sendo feitos durante o século XIX. Em particular, os pêndulos de Kater foram usados ​​no Grande Levantamento Trigonométrico da Índia.

Os pêndulos reversíveis continuaram sendo o método padrão usado para medições de gravidade absoluta até serem substituídos por gravímetros de queda livre na década de 1950.

Pêndulo Repsold-Bessel

Pêndulo Repsold.

A cronometragem repetida de cada período de um pêndulo de Kater e o ajuste dos pesos até que estivessem iguais consumia tempo e estava sujeito a erros. Friedrich Bessel mostrou em 1826 que isso era desnecessário. Enquanto os períodos medidos de cada pivô, T ₁ e T ₂ , estão próximos em valor, o período T do pêndulo simples equivalente pode ser calculado a partir deles:

${\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2}} {2}} + {\ frac {T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {h_ {1} + h_ {2}} {h_ {1} -h_ {2}}} \ right) \, \ qquad \ qquad \ qquad (2)}$

Aqui e estão as distâncias dos dois pivôs do centro de gravidade do pêndulo. A distância entre os pivôs,, pode ser medida com grande precisão. e , portanto, sua diferença não pode ser medida com precisão comparável. Eles são encontrados equilibrando o pêndulo no fio de uma faca para encontrar seu centro de gravidade e medindo as distâncias de cada um dos pivôs a partir do centro de gravidade. No entanto, como é muito menor do que , o segundo termo à direita na equação acima é pequeno em comparação com o primeiro, então não precisa ser determinado com alta precisão e o procedimento de balanceamento descrito acima é suficiente para fornecer resultados precisos . ${\ displaystyle h_ {1} \,}$${\ displaystyle h_ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} + h_ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} \,}$${\ displaystyle h_ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} -h_ {2} \,}$${\ displaystyle T_ {1} ^ {2} -T_ {2} ^ {2} \,}$${\ displaystyle T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2} \,}$${\ displaystyle h_ {1} -h_ {2} \,}$

Portanto, o pêndulo não precisa ser ajustável, pode simplesmente ser uma haste com dois pivôs. Enquanto cada pivô está próximo do centro de oscilação do outro, então os dois períodos estão próximos, o período T do pêndulo simples equivalente pode ser calculado com a equação (2), e a gravidade pode ser calculada a partir de T e L com (1).

Além disso, Bessel mostrou que se o pêndulo fosse feito com uma forma simétrica, mas internamente ponderado em uma das pontas, o erro causado pelos efeitos da resistência do ar seria cancelado. Além disso, outro erro causado pelo diâmetro finito das lâminas da faca de pivô pode ser cancelado trocando-se as lâminas das lâminas.

Bessel não construiu tal pêndulo, mas em 1864 Adolf Repsold, sob contrato com a Comissão Geodésica Suíça, desenvolveu um pêndulo simétrico de 56 cm de comprimento com pivôs intercambiáveis, com um período de cerca de ¾ segundo. O pêndulo Repsold foi amplamente utilizado pelas agências geodésicas suíças e russas e no Levantamento da Índia . Outros pêndulos deste projeto amplamente utilizados foram feitos por Charles Peirce e C. Defforges.

Referências

links externos

• A medição precisa de g usando o pêndulo de Kater, U. de Sheffield Tem derivação de equações
• Kater, Henry (junho de 1818) Um relato dos experimentos para determinar o comprimento dos segundos vibrantes do pêndulo na latitude de Londres, The Edinburgh Review, vol. 30, p.407 Tem relato detalhado do experimento, descrição do pêndulo, valor determinado, interesse de cientistas franceses