Espelho de Jade dos Quatro Desconhecidos -Jade Mirror of the Four Unknowns

Espelho de Jade das Quatro Origens , Siyuan yujian (四 元 玉 鉴), também conhecido como Espelho de Jade das Quatro Origens , é uma monografia matemática de 1303 do matemático da dinastia Yuan Zhu Shijie . Zhu avançou na álgebra chinesa com esta obra Magnum .

O livro é composto por uma introdução e três livros, com um total de 288 problemas. Os primeiros quatro problemas na introdução ilustram seu método das quatro incógnitas. Ele mostrou como converter um problema declarado verbalmente em um sistema de equações polinomiais (até a ordem 14), usando até quatro incógnitas: 天 Céu, 地 Terra, 人 Homem, 物 Matéria e, em seguida, como reduzir o sistema para uma única equação polinomial em uma incógnita por eliminação sucessiva de incógnitas. Ele então resolveu a equação de alta ordem pelo matemático da dinastia Song do Sul Qin Jiushao, o método "Ling long kai fang" publicado no Shùshū Jiǔzhāng (" Tratado de Matemática em Nove Seções ") em 1247 (mais de 570 anos antes do matemático inglês William Horner ' s método usando divisão sintética). Para fazer isso, ele usa o triângulo de Pascal , que ele rotula como o diagrama de um método antigo descoberto por Jia Xian antes de 1050.

Zhu também resolveu problemas de raízes quadradas e cúbicas resolvendo equações quadráticas e cúbicas, e aumentou o entendimento de séries e progressões, classificando-as de acordo com os coeficientes do triângulo de Pascal. Ele também mostrou como resolver sistemas de equações lineares reduzindo a matriz de seus coeficientes à forma diagonal . Seus métodos são anteriores a Blaise Pascal , William Horner e aos métodos de matriz modernos em muitos séculos. O prefácio do livro descreve como Zhu viajou pela China por 20 anos como professor de matemática.

O Espelho de Jade das Quatro Desconhecidas consiste em quatro livros, com 24 classes e 288 problemas, nos quais 232 problemas tratam de Tian yuan shu , 36 problemas tratam de variáveis ​​de duas variáveis, 13 problemas de três variáveis ​​e 7 problemas de quatro variáveis.

Introdução

As quatro quantidades são x , y , z , w podem ser apresentadas com o seguinte diagrama

x

y太w

z

O quadrado do qual é:

Os Nebulos Unitários

Esta seção trata de Tian yuan shu ou problemas de um desconhecido.

Pergunta: Dado o produto de huangfan e zhi ji igual a 24 passos, e a soma de vertical e hipotenusa igual a 9 passos, qual é o valor da base?

Resposta: 3 passos

Configure tian unitário como a base (ou seja, deixe a base ser a quantidade desconhecida x )

Já que o produto de huangfang e zhi ji = 24

no qual

huangfan é definido como:${\ displaystyle (a + bc)}$

zhi ji：${\ displaystyle ab}$

Portanto ${\ displaystyle (a + bc) ab = 24}$

Além disso, a soma de vertical e hipoteno é

${\ displaystyle b + c = 9}$

Configure o tian unitário desconhecido como o vertical

${\ displaystyle x = a}$

Obtemos a seguinte equação

（） ${\ displaystyle x ^ {5} -9x ^ {4} -81x ^ {3} + 729x ^ {2} = 3888}$

太

Resolva e obtenha x = 3

O mistério das duas naturezas

太 Unitário

equação :; ${\ displaystyle -2y ^ {2} -xy ^ {2} + 2xy + 2x ^ {2} y + x ^ {3} = 0}$

do dado

太

equação :; ${\ displaystyle 2y ^ {2} -xy ^ {2} + 2xy + x ^ {3} = 0}$

Nós temos:

太

${\ displaystyle 8x + 4x ^ {2} = 0}$

e

太

${\ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {3} = 0}$

pelo método de eliminação, obtemos uma equação quadrática

${\ displaystyle x ^ {2} -2x-8 = 0}$

solução: . ${\ displaystyle x = 4}$

A evolução de três talentos

Modelo para solução de problema de três incógnitas

Zhu Shijie explicou o método de eliminação em detalhes. Seu exemplo foi citado com frequência na literatura científica.

Configure três equações da seguinte forma

太

${\ displaystyle -yzy ^ {2} x-x + xyz = 0}$ .... EU

${\ displaystyle -y-z + xx ^ {2} + xz = 0}$..... II

太

${\ displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} + x ^ {2} = 0;}$.... III

Eliminação de desconhecido entre II e III

por manipulação de troca de variáveis

Nós obtemos

太

${\ displaystyle -x-2x ^ {2} + y + y ^ {2} + xy-xy ^ {2} + x ^ {2} y}$ ...4

e

太

${\ displaystyle -2x-2x ^ {2} + 2y-2y ^ {2} + y ^ {3} + 4xy-2xy ^ {2} + xy ^ {2}}$.... V

Eliminação de incógnitas entre IV e V, obtemos uma equação de 3ª ordem

${\ displaystyle x ^ {4} -6x ^ {3} + 4x ^ {2} + 6x-5 = 0}$

Resolva esta equação de 3ª ordem para obter  ; ${\ displaystyle x = 5}$

Mudar de volta as variáveis

Obtemos o hipoteno = 5 passos

Simultâneo dos Quatro Elementos

Esta seção trata de equações simultâneas de quatro incógnitas.

${\ displaystyle {\ begin {cases} -2y + x + z = 0 \\ - y ^ {2} x + 4y + 2x-x ^ {2} + 4z + xz = 0 \\ x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0 \\ 2y-w + 2x = 0 \ end {casos}}}$

Eliminação sucessiva de desconhecidos para obter

${\ displaystyle 4x ^ {2} -7x-686 = 0}$

Resolva isso e obtenha 14 passos

Livro I

Problemas de triângulos retângulos e retângulos

Existem 18 problemas nesta seção.

Problema 18

Obtenha uma equação polinomial de décima ordem:

${\ displaystyle 16x ^ {10} -64x ^ {9} + 160x ^ {8} -384x ^ {7} + 512x ^ {6} -544x ^ {5} + 456x ^ {4} + 126x ^ ​​{3} + 3x ^ {2} -4x-177162 = 0}$

A raiz é x = 3, multiplique por 4, obtendo 12. Essa é a resposta final.

Problemas de figuras planas

Existem 18 problemas nesta seção

Problemas de peças de mercadoria

Existem 9 problemas nesta seção

Problemas no armazenamento de grãos

Existem 6 problemas nesta seção

Problemas no Trabalho

Existem 7 problemas nesta seção

Problemas de equações para raízes fracionárias

Existem 13 problemas nesta seção

Livro II

Problemas mistos

Contenção de círculos e quadrados

Problemas em áreas

Topografia com triângulos retos

Existem oito problemas nesta seção

Problema 1

Pergunta: Há uma cidade retangular de dimensão desconhecida que tem um portão de cada lado. Há um pagode localizado a 240 passos do portão sul. Um homem caminhando 180 passos do portão oeste pode ver o pagode, ele então caminha em direção ao canto sudeste por 240 passos e chega ao pagode; qual é o comprimento e largura da cidade retangular? Resposta: 120 passos de comprimento e largura de um li

Se for tian yuan unitário como a metade do comprimento, obtemos uma equação de 4ª ordem

${\ displaystyle x ^ {4} + 480x ^ {3} -270000x ^ {2} + 15552000x + 1866240000 = 0}$

resolva-o e obtenha x = 240 passos, portanto comprimento = 2x = 480 passos = 1 li e 120 espaços.

Similaridade, seja tian yuan unitário (x) igual a metade da largura

obtemos a equação:

${\ displaystyle x ^ {4} + 360x ^ {3} -270000x ^ {2} + 20736000x + 1866240000 = 0}$

Resolva para obter x = 180 passos, comprimento = 360 passos = um li.

Problema 7

Idêntico à profundidade de uma ravina (usando barras transversais doravante ) em Haidao Suanjing .

Problema 8

Idêntico à profundidade de uma piscina transparente em Haidao Suanjing .

Hay Stacks

Pacotes de setas

Medição de Terra

Convocar Homens de acordo com a necessidade

O Problema nº 5 é a fórmula de interpolação de 4ª ordem mais antiga do mundo

homens convocados:${\ displaystyle na + {\ tfrac {1} {2!}} n (n-1) b + {\ tfrac {1} {3!}} n (n-1) (n-2) c + {\ tfrac {1 } {4!}} N (n-1) (n-2) (n-3) d}$

No qual

• a = diferença de 1ª ordem
• b = diferença de 2ª ordem
• c = diferença de 3ª ordem
• d = diferença de 4ª ordem

Livro III

Pilha de frutas

Esta seção contém 20 problemas que lidam com estacas triangulares, estacas retangulares

Problema 1

Encontre a soma da pilha triangular

${\ displaystyle 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {\ frac {1} {2}} n (n + 1)}$

e o valor da pilha de frutas é:

${\ displaystyle v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + \ cdots + {\ frac {1} {2}} n (n + 1) ^ {2}}$

Zhu Shijie usa Tian yuan shu para resolver este problema, deixando x = n

e obteve o formulário

${\ displaystyle v = {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 4}} (3x + 5) x (x + 1) (x + 2)}$

De determinada condição , portanto ${\ displaystyle v = 1320}$

${\ displaystyle 3x ^ {4} + 14x ^ {3} + 21x ^ {2} + 10x-31680 = 0}$

Resolva para obter . ${\ displaystyle x = n = 9}$

Portanto,

${\ displaystyle v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + 324 + 450 = 1320}$。

Figuras dentro da figura

Equações simultâneas

Equação de duas incógnitas

Esquerda e direita

Equação de três desconhecidos

Equação de quatro desconhecidos

Seis problemas de quatro incógnitas.

Questão 2

Rende um conjunto de equações em quatro incógnitas:.

${\ displaystyle {\ begin {cases} -3y ^ {2} + 8y-8x + 8z = 0 \\ 4y ^ {2} -8xy + 3x ^ {2} -8yz + 6xz + 3z ^ {2} = 0 \\ y ^ {2} + x ^ {2} -z ^ {2} = 0 \\ 2y + 4x + 2z-w = 0 \ end {casos}}}$

Referências

Fontes