Teorema de Jacobson-Bourbaki - Jacobson–Bourbaki theorem
Na álgebra, o teorema de Jacobson-Bourbaki é um teorema usado para estender a teoria de Galois a extensões de campo que não precisam ser separáveis. Foi introduzido por Nathan Jacobson ( 1944 ) para campos comutativos e estendido para campos não comutativos por Jacobson (1947) e Henri Cartan ( 1947 ), que creditou o resultado a um trabalho não publicado de Nicolas Bourbaki . A extensão da teoria de Galois para extensões normais é chamada de correspondência Jacobson-Bourbaki , que substitui a correspondência entre alguns subcampos de um campo e alguns subgrupos de um grupo de Galois por uma correspondência entre alguns anéis de subdivisão de um anel de divisão e algumas subálgebras de um álgebra associativa.
O teorema de Jacobson-Bourbaki implica tanto a correspondência de Galois usual para subcampos de uma extensão de Galois, quanto a correspondência de Galois de Jacobson para subcampos de uma extensão puramente inseparável de expoente no máximo 1.
Demonstração
Suponha que L seja um anel de divisão . O teorema de Jacobson-Bourbaki afirma que há uma correspondência natural 1: 1 entre:
- Anéis de divisão K em L de índice finito n (em outras palavras, L é um espaço vetorial esquerdo de dimensão finita sobre K ).
- Unital K -álgebras de dimensão finita n (como K -vector espaços) contido no anel de endomorfismos do grupo aditivo de K .
O anel de subdivisão e a subálgebra correspondente são comutantes um do outro.
Jacobson (1956 , Capítulo 7.2) deu uma extensão para anéis de subdivisão que podem ter índices infinitos, que correspondem a subálgebras fechadas na topologia finita.
Referências
- Cartan, Henri (1947), "Les principaux théorèmes de la théorie de Galois pour les corps non nécessairement commutatifs", Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 224 : 249-251, MR 0020983
- Cartan, Henri (1947), "Théorie de Galois pour les corps non commutatifs", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 64 : 59-77, doi : 10.24033 / asens.942 , ISSN 0012-9593 , MR 0023237
- Jacobson, Nathan (1944), "teoria de Galois de campos puramente inseparáveis do expoente um", American Journal of Mathematics , 66 (4): 645-648, doi : 10.2307 / 2371772 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371772 , MR 0011079
- Jacobson, Nathan (1947), "A note on division rings", American Journal of Mathematics , 69 (1): 27-36, doi : 10.2307 / 2371651 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371651 , MR 0020981
- Jacobson, Nathan (1956), Structure of rings , American Mathematical Society, Colloquium Publications, 37 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1037-8 , MR 0081264
- Jacobson, Nathan (1964), Lectures in abstract algebra. Vol III: Teoria dos campos e teoria de Galois , D. Van Nostrand Co., Inc., Princeton, NJ-Toronto, Ont.-London-New York, ISBN 978-0-387-90168-8 , MR 0172871
- Kreimer, F. (2001) [1994], "Jacobson-Bourbaki_theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press