Teorema de Jacobson-Bourbaki - Jacobson–Bourbaki theorem

Na álgebra, o teorema de Jacobson-Bourbaki é um teorema usado para estender a teoria de Galois a extensões de campo que não precisam ser separáveis. Foi introduzido por Nathan Jacobson  ( 1944 ) para campos comutativos e estendido para campos não comutativos por Jacobson (1947) e Henri Cartan  ( 1947 ), que creditou o resultado a um trabalho não publicado de Nicolas Bourbaki . A extensão da teoria de Galois para extensões normais é chamada de correspondência Jacobson-Bourbaki , que substitui a correspondência entre alguns subcampos de um campo e alguns subgrupos de um grupo de Galois por uma correspondência entre alguns anéis de subdivisão de um anel de divisão e algumas subálgebras de um álgebra associativa.

O teorema de Jacobson-Bourbaki implica tanto a correspondência de Galois usual para subcampos de uma extensão de Galois, quanto a correspondência de Galois de Jacobson para subcampos de uma extensão puramente inseparável de expoente no máximo 1.

Demonstração

Suponha que L seja um anel de divisão . O teorema de Jacobson-Bourbaki afirma que há uma correspondência natural 1: 1 entre:

  • Anéis de divisão K em L de índice finito n (em outras palavras, L é um espaço vetorial esquerdo de dimensão finita sobre K ).
  • Unital K -álgebras de dimensão finita n (como K -vector espaços) contido no anel de endomorfismos do grupo aditivo de K .

O anel de subdivisão e a subálgebra correspondente são comutantes um do outro.

Jacobson (1956 , Capítulo 7.2) deu uma extensão para anéis de subdivisão que podem ter índices infinitos, que correspondem a subálgebras fechadas na topologia finita.

Referências