Equação diferencial Integro - Integro-differential equation

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
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Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Recursos Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Em matemática , uma equação diferencial integro é uma equação que envolve integrais e derivadas de uma função .

Equações lineares gerais de primeira ordem

A equação diferencial integro-diferencial geral de primeira ordem (apenas com relação ao termo que envolve a derivada) é da forma

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} u (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, u (t)) \, dt = g (x, u ( x)), \ qquad u (x_ {0}) = u_ {0}, \ qquad x_ {0} \ geq 0.}$

Como é típico das equações diferenciais , obter uma solução de forma fechada pode ser difícil. Nos relativamente poucos casos em que uma solução pode ser encontrada, geralmente é por algum tipo de transformação integral, onde o problema é primeiro transformado em um cenário algébrico. Em tais situações, a solução do problema pode ser derivada aplicando a transformada inversa à solução desta equação algébrica.

Exemplo

Considere o seguinte problema de segunda ordem,

${\ displaystyle u '(x) + 2u (x) +5 \ int _ {0} ^ {x} u (t) \, dt = \ theta (x) \ qquad {\ text {with}} \ qquad u (0) = 0,}$

Onde

${\ displaystyle \ theta (x) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1, \ qquad x \ geq 0 \\ 0, \ qquad x <0 \ end {array}} \ right.}$

é a função de etapa de Heaviside . A transformação de Laplace é definida por,

${\ displaystyle U (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {u (x) \ right \} = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- sx} u (x) \ , dx.}$

Ao tomar as transformadas de Laplace termo a termo e utilizar as regras para derivadas e integrais, a equação diferencial integro é convertida na seguinte equação algébrica,

${\ displaystyle sU (s) -u (0) + 2U (s) + {\ frac {5} {s}} U (s) = {\ frac {1} {s}}.}$

Desse modo,

${\ displaystyle U (s) = {\ frac {1} {s ^ {2} + 2s + 5}}}$.

Inverter a transformada de Laplace usando métodos integrais de contorno, então, dá

${\ displaystyle u (x) = {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \ sin (2x) \ theta (x)}$.

Alternativamente, pode-se completar o quadrado e usar uma tabela de transformações de Laplace ("onda senoidal exponencialmente decadente") ou recuperar da memória para prosseguir:

${\ displaystyle U (s) = {\ frac {1} {s ^ {2} + 2s + 5}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2} {(s + 1) ^ {2} +4}} \ Rightarrow u (x) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {U (s) \ right \} = {\ frac {1} {2}} e ^ {- x} \ sin (2x) \ theta (x)}$.

Formulários

As equações diferenciais Integro modelam muitas situações da ciência e da engenharia , como na análise de circuitos. Pela segunda lei de Kirchhoff , a queda de tensão líquida em um circuito fechado é igual à tensão impressa . (É essencialmente uma aplicação de conservação de energia .) Um circuito RLC, portanto, obedece ${\ displaystyle E (t)}$

onde está a corrente em função do tempo, é a resistência, a indutância e a capacitância. ${\ displaystyle I (t)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle C}$

A atividade de interação de neurônios inibitórios e excitatórios pode ser descrita por um sistema de equações integro-diferenciais, ver, por exemplo, o modelo de Wilson-Cowan .

Epidemiologia

As equações diferenciais Integro encontraram aplicações em epidemiologia , a modelagem matemática de epidemias , particularmente quando os modelos contêm estrutura de idade ou descrevem epidemias espaciais.

Veja também

• Equação diferencial de atraso
• Equação diferencial
• Equação integral
• Equação Integrodiferença

Referências

Leitura adicional

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, " Theory of Integro-Differential Equations ", CRC Press, 1995

links externos

• Matemática interativa
• Solução numérica do exemplo usando Chebfun