Hypercone - Hypercone

Projeção estereográfica das linhas geradoras de um cone esférico (vermelho), paralelas (verde) e hipermeridianas (azul). Devido à propriedade conforme da Projeção Estereográfica, as curvas se cruzam ortogonalmente (nos pontos amarelos) como em 4D. Todas as curvas são círculos ou linhas retas. As geratrizes e paralelos geram um cone duplo 3D. Os hipermeridianos geram um conjunto de esferas concêntricas.

Em geometria , um hipercone (ou cone esférico ) é a figura no espaço euclidiano quadridimensional representado pela equação

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -w ^ {2} = 0.}

É uma superfície quádrica e é uma das três variedades possíveis , que são equivalentes em quatro dimensões da superfície cônica em três dimensões. Também é denominado cone esférico porque suas interseções com hiperplanos perpendiculares ao eixo W são esferas . Um hipercone esférico direito quadridimensional pode ser pensado como uma esfera que se expande com o tempo, iniciando sua expansão a partir de uma única fonte pontual, de modo que o centro da esfera em expansão permanece fixo. Um hipercone esférico oblíquo seria uma esfera que se expande com o tempo, novamente começando sua expansão a partir de uma fonte pontual, mas de tal forma que o centro da esfera em expansão se move com uma velocidade uniforme.

Forma paramétrica

Um hipercone esférico direito pode ser descrito pela função

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ phi, \ theta, t) = (ts \ cos \ theta \ cos \ phi, ts \ cos \ theta \ sin \ phi, ts \ sin \ theta, t) }

com vértice na origem e velocidade de expansão s .

Um hipercone esférico direito com raio re altura h pode ser descrito pela função

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ phi, \ theta, t) = (t \ cos \ phi \ sin \ theta, t \ sin \ phi \ sin \ theta, t \ cos \ theta, {\ frac {h} {r}} t)}

Um hipercone esférico oblíquo poderia então ser descrito pela função

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ phi, \ theta, t) = (v_ {x} t + ts \ cos \ theta \ cos \ phi, v_ {y} t + ts \ cos \ theta \ sen \ phi, v_ {z} t + ts \ sin \ theta, t)}

onde é a velocidade 3 do centro da esfera em expansão. Um exemplo de tal cone seria uma onda sonora em expansão , vista do ponto de vista de um quadro de referência em movimento: por exemplo, a onda sonora de um avião a jato , visto do próprio quadro de referência do jato. ${\ displaystyle (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$

Observe que as superfícies 3D acima incluem hipervolumes 4D , que são os 4 cones propriamente ditos.

Interpretação geométrica

O cone esférico consiste em duas nappes ilimitadas , que se encontram na origem e são os análogos das nappes da superfície cônica tridimensional. A nappe superior corresponde à metade com w -coordenadas positivas , e a nappe inferior corresponde à metade com w -coordenadas negativas .

Se for restrito entre os hiperplanos w = 0 e w = r para algum r diferente de zero , então ele pode ser fechado por uma bola de 3 de raio r , centrada em (0,0,0, r ), de modo que limite a volume finito de 4 dimensões. Este volume é dado pela fórmula1/3 $π$ r ⁴ , e é o equivalente quadridimensional do cone sólido . A bola pode ser considerada como a 'tampa' na base da capa do cone quadridimensional, e a origem se torna seu 'ápice'.

Esta forma pode ser projetada no espaço tridimensional de várias maneiras. Se projetada no hiperplano xyz , sua imagem é uma bola . Se projetada nos hiperplanos xyw , xzw ou yzw , sua imagem é um cone sólido . Se projetada em um hiperplano oblíquo, sua imagem é um elipsóide ou um cone sólido com uma base elipsoidal (semelhante a uma casquinha de sorvete ). Essas imagens são análogas às possíveis imagens do cone sólido projetado em 2 dimensões.

Construção

O (meio) hipercone pode ser construído de maneira análoga à construção de um cone 3D. Um cone 3D pode ser considerado o resultado do empilhamento de discos cada vez menores um sobre o outro até que se estreitem em uma ponta. Alternativamente, um cone 3D pode ser considerado como o volume varrido por um triângulo isósceles vertical conforme ele gira em torno de sua base.

Um hipercone 4D pode ser construído de forma análoga: empilhando bolas progressivamente menores umas sobre as outras na 4ª direção até que se estreitem até um ponto, ou tomando o hipervolume varrido por um tetraedro ereto na 4ª direção enquanto ele gira livremente em torno de sua base no hiperplano 3D sobre o qual repousa.

Medidas

Hipervolume

O hipervolume de uma pirâmide quadridimensional e cone é

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {4}} Vh}

onde V é o volume da base eh é a altura (a distância entre o centro da base e o ápice). Para um cone esférico com um volume base de , o hipervolume é ${\ textstyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {4}} Vh = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3} h}

Volume de superfície

O volume da superfície lateral de um cone esférico direito é onde está o raio da base esférica e é a altura inclinada do cone (a distância entre a superfície 2D da esfera e o ápice). O volume da superfície da base esférica é o mesmo de qualquer esfera ,. Portanto, o volume total da superfície de um cone esférico direito pode ser expresso das seguintes maneiras: ${\ textstyle LSV = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

Raio e altura

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

(o volume da base mais o volume da superfície 3D lateral; o termo é a altura inclinada) ${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$

onde está o raio e é a altura. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$

Raio e altura inclinada

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (r + l \ right)}$

onde está o raio e é a altura da inclinação. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle l}$

Área de superfície, raio e altura inclinada

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} Ar + {\ frac {1} {3}} Al}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} A \ left (r + l \ right)}$

onde é a área da superfície da base, é o raio e é a altura inclinada. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle l}$

Interpretação temporal

Se o w coordenada x da equação do cone esférica é interpretado como a distância ct , onde t é tempo de coordenadas e c é a velocidade da luz (uma constante), em seguida, é a forma do cone de luz em relatividade especial . Neste caso, a equação geralmente é escrita como:

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ct) ^ {2} = 0,}

que também é a equação para as frentes de onda esféricas de luz. A nappe superior é então o cone de luz futuro e a nappe inferior é o cone de luz passado .

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