Volume hiperbólico - Hyperbolic volume

O volume hiperbólico do nó em oito é 2,0298832.

No campo matemático da teoria do nó , o volume hiperbólico de um elo hiperbólico é o volume do complemento do elo em relação à sua métrica hiperbólica completa. O volume é necessariamente um número real finito e é uma invariante topológica do link. Como um link invariante, foi estudado pela primeira vez por William Thurston em conexão com sua conjectura de geometrização .

Invariante de nó e link

Um elo hiperbólico é um elo na esfera 3 cujo complemento (o espaço formado pela remoção do elo da esfera 3) pode receber uma métrica Riemanniana completa de curvatura negativa constante , dando-lhe a estrutura de uma variedade 3 hiperbólica , um quociente de espaço hiperbólico por um grupo agindo livre e descontinuamente sobre ele. Os componentes do elo se tornarão cúspides do manifold de 3 e o próprio manifold terá volume finito. Pela rigidez de Mostow , quando um complemento de link tem uma estrutura hiperbólica, essa estrutura é determinada de forma única, e quaisquer invariantes geométricos da estrutura também são invariantes topológicos do link. Em particular, o volume hiperbólico do complemento é um nó invariante . Para torná-lo bem definido para todos os nós ou elos, o volume hiperbólico de um nó ou elo não hiperbólico é frequentemente definido como zero.

Existem apenas um número finito de nós hiperbólicos para um determinado volume. Uma mutação de um nó hiperbólico terá o mesmo volume, então é possível inventar exemplos com volumes iguais; na verdade, existem conjuntos finitos arbitrariamente grandes de nós distintos com volumes iguais. Na prática, o volume hiperbólico tem se mostrado muito eficaz na distinção de nós, utilizado em alguns dos esforços extensivos de tabulação de nós . O programa de computador SnapPea de Jeffrey Weeks é a ferramenta onipresente usada para calcular o volume hiperbólico de um link.

Nó / ligação	Volume	Referência
Nó em oito	${\ displaystyle \ textstyle -6 \ int _ {0} ^ {\ pi / 3} {\ log {| 2 \ sin \ theta |} d \ theta} = 2.02988 ...}$
Nó de três torções	2.82812
Nó de estivador	3,16396
6₂ nó	4,40083
Nó infinito	5,13794
Par Perko	5,63877
6₃ nó	5,69302
Anéis borromeanos	${\ displaystyle \ textstyle -16 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ log {| 2 \ sin \ theta |} d \ theta} = 7,32772 ...}$

Variedades arbitrárias

Mais geralmente, o volume hiperbólico pode ser definido para qualquer variedade 3 hiperbólica . O manifold de Weeks tem o menor volume possível de qualquer manifold fechado (um manifold que, ao contrário dos complementos de elo, não tem cúspides); seu volume é de aproximadamente 0,9427.

Thurston e Jørgensen provaram que o conjunto de números reais que são volumes hiperbólicos de três variedades é bem ordenado , com tipo de ordem ω ^ω . O menor ponto limite neste conjunto de volumes é dado pelo complemento do nó do nó em oito , e o menor ponto limite dos pontos limite é dado pelo complemento do elo de Whitehead .

Referências

links externos

• " Hyperbolic Volume ", The Knot Atlas .