Desigualdade de Hilbert - Hilbert's inequality

Em análise , um ramo da matemática, a desigualdade de Hilbert afirma que

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {r \ neq s} {\ dfrac {u_ {r} {\ overline {u_ {s}}}} {rs}} \ right | \ leq \ pi \ displaystyle \ sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

para qualquer sequência u ₁ , u ₂ , ... de números complexos. Foi demonstrado pela primeira vez por David Hilbert com a constante 2 π em vez de π ; a constante aguda foi encontrada por Issai Schur . Isso implica que a transformada de Hilbert discreta é um operador limitado em ℓ ₂ .

Formulação

Seja ( u _m ) uma sequência de números complexos. Se a sequência for infinita, suponha que seja somada ao quadrado:

${\ displaystyle \ sum _ {m} | u_ {m} | ^ {2} <\ infty}$

A desigualdade de Hilbert (ver Steele (2004) ) afirma que

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {r \ neq s} {\ dfrac {u_ {r} {\ overline {u_ {s}}}} {rs}} \ right | \ leq \ pi \ displaystyle \ sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

Extensões

Em 1973, Montgomery & Vaughan relataram várias generalizações da desigualdade de Hilbert, considerando as formas bilineares

${\ displaystyle \ sum _ {r \ neq s} u_ {r} {\ overline {u}} _ {s} \ csc \ pi (x_ {r} -x_ {s})}$

e

${\ displaystyle \ sum _ {r \ neq s} {\ dfrac {u_ {r} {\ overline {u}} _ {s}} {\ lambda _ {r} - \ lambda _ {s}}},}$

onde x ₁ , x ₂ , ..., x _m são números reais distintos módulo 1 (isto é, eles pertencem a classes distintas no grupo quociente R / Z ) e λ ₁ , ..., λ _m são números reais distintos. As generalizações de Montgomery & Vaughan da desigualdade de Hilbert são dadas por

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {r \ neq s} u_ {r} {\ overline {u_ {s}}} \ csc \ pi (x_ {r} -x_ {s}) \ right | \ leq \ delta ^ {- 1} \ sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

e

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {r \ neq s} {\ dfrac {u_ {r} {\ overline {u_ {s}}}} {\ lambda _ {r} - \ lambda _ {s}}} \ right | \ leq \ pi \ tau ^ {- 1} \ sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2}.}$

Onde

${\ displaystyle \ delta = {\ min _ {r, s}} {} _ {+} \ | x_ {r} -x_ {s} \ |, \ quad \ tau = \ min _ {r, s} { } _ {+} \ | \ lambda _ {r} - \ lambda _ {s} \ |,}$

${\ displaystyle \ | s \ | = \ min _ {m \ in \ mathbb {Z}} | sm |}$

é a distância de s até o número inteiro mais próximo, e min ₊ denota o menor valor positivo. Além disso, se

${\ displaystyle 0 <\ delta _ {r} \ leq {\ min _ {s}} {} _ {+} \ | x_ {r} -x_ {s} \ | \ quad {\ text {and}} \ quad 0 <\ tau _ {r} \ leq {\ min _ {s}} {} _ {+} \ | \ lambda _ {r} - \ lambda _ {s} \ |,}$

então as seguintes desigualdades se mantêm:

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {r \ neq s} u_ {r} {\ overline {u_ {s}}} \ csc \ pi (x_ {r} -x_ {s}) \ right | \ leq { \ dfrac {3} {2}} \ sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2} \ delta _ {r} ^ {- 1}.}$

e

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {r \ neq s} {\ dfrac {u_ {r} {\ overline {u_ {s}}}} {\ lambda _ {r} - \ lambda _ {s}}} \ right | \ leq {\ dfrac {3} {2}} \ pi \ sum _ {r} | u_ {r} | ^ {2} \ tau _ {r} ^ {- 1}.}$

Referências

• Capítulo de livro online Hilbert's Inequality and Compensating Difficulties extraído de Steele, J. Michael (2004). "Capítulo 10: Desigualdade de Hilbert e dificuldades compensatórias" . A master class Cauchy-Schwarz: uma introdução à arte das desigualdades matemáticas . Cambridge University Press. pp. 155–165. ISBN   0-521-54677-X . .
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1974). “Desigualdade de Hilbert”. J. London Math. Soc . Series 2. 8 : 73–82. doi : 10.1112 / jlms / s2-8.1.73 . ISSN   0024-6107 .

links externos

• Godunova, EK (2001) [1994], "Hilbert inequality" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press