Desvio geodésico - Geodesic deviation

Na relatividade geral , o desvio geodésico descreve a tendência dos objetos de se aproximarem ou se afastarem enquanto se movem sob a influência de um campo gravitacional espacialmente variável . Dito de outra forma, se dois objetos são colocados em movimento ao longo de duas trajetórias inicialmente paralelas, a presença de uma força gravitacional de maré fará com que as trajetórias se dobrem em direção a ou para longe uma da outra, produzindo uma aceleração relativa entre os objetos.

Matematicamente, a força da maré na relatividade geral é descrita pelo tensor de curvatura de Riemann , e a trajetória de um objeto apenas sob a influência da gravidade é chamada de geodésica . A equação do desvio geodésico relaciona o tensor de curvatura de Riemann à aceleração relativa de duas geodésicas vizinhas. Na geometria diferencial , a equação do desvio geodésico é mais comumente conhecida como equação de Jacobi .

Definição matemática

Para quantificar o desvio geodésica, começa-se por criação de uma família de geodésicas espaçados indexados por uma variável contínua s e parametrizadas por um parâmetro afim τ. Ou seja, para cada s fixo , a curva varrida por γ _s (τ) conforme τ varia é uma geodésica. Ao considerar a geodésica de um objeto massivo, muitas vezes é conveniente escolher τ para ser o momento adequado do objeto . Se x ^μ ( s , τ) são as coordenadas da geodésica γ _s (τ), então o vetor tangente desta geodésica é

${\ displaystyle T ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial \ tau}}.}$

Se τ for o tempo adequado, então T ^μ é a velocidade quatro do objeto viajando ao longo da geodésica.

Também se pode definir um vetor de desvio , que é o deslocamento de dois objetos que viajam ao longo de duas geodésicas infinitesimalmente separadas:

${\ displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial x ^ {\ mu} (s, \ tau)} {\ partial s}}.}$

A aceleração relativa A ^μ dos dois objetos é definida, grosso modo, como a segunda derivada do vetor de separação X ^μ conforme os objetos avançam ao longo de suas respectivas geodésicas. Especificamente, A ^μ é encontrado tomando a derivada covariante direcional de X ao longo de T duas vezes:

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha} \ left (T ^ {\ beta} \ nabla _ {\ beta} X ^ {\ mu} \ right).}$

A equação do desvio geodésico relaciona A ^μ , T ^μ , X ^μ e o tensor de Riemann R ^μ _νρσ :

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ {\ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}$

Uma notação alternativa para a derivada covariante direcional é , portanto, a equação do desvio geodésico também pode ser escrita como ${\ displaystyle T ^ {\ alpha} \ nabla _ {\ alpha}}$${\ displaystyle D / d \ tau}$

${\ displaystyle {\ frac {D ^ {2} X ^ {\ mu}} {d \ tau ^ {2}}} = {R ^ {\ mu}} _ {\ nu \ rho \ sigma} T ^ { \ nu} T ^ {\ rho} X ^ {\ sigma}.}$

A equação do desvio geodésico pode ser derivada da segunda variação da partícula pontual Lagrangiana ao longo da geodésica ou da primeira variação de uma Lagrangiana combinada. A abordagem Lagrangiana tem duas vantagens. Primeiro, permite que várias abordagens formais de quantização sejam aplicadas ao sistema de desvio geodésico. Em segundo lugar, permite que o desvio seja formulado para objetos muito mais gerais do que os geodésicos (qualquer sistema dinâmico que tenha um momento indexado no espaço - tempo parece ter uma generalização correspondente do desvio geodésico).

Limite de campo fraco

A conexão entre o desvio geodésico e a aceleração das marés pode ser vista mais explicitamente examinando o desvio geodésico no limite do campo fraco , onde a métrica é aproximadamente Minkowski e as velocidades das partículas de teste são consideradas muito menores do que c . Então, o vetor tangente T ^μ é aproximadamente (1, 0, 0, 0); ou seja, apenas o componente semelhante ao tempo é diferente de zero.

Os componentes espaciais da aceleração relativa são então dados por

${\ displaystyle A ^ {i} = - {R ^ {i}} _ {0j0} X ^ {j},}$

onde i e j correm apenas sobre os índices espaciais 1, 2 e 3.

No caso particular de uma métrica correspondente ao potencial newtoniano Φ ( x , y , z ) de um objeto massivo em x = y = z = 0, temos

${\ displaystyle {R ^ {i}} _ {0j0} = - {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x ^ {i} \ parcial x ^ {j}}},}$

que é o tensor de maré do potencial newtoniano.

Veja também

• Bernhard Riemann
• Curvatura
• Glossário de geometria riemanniana e métrica

Referências

• Stephani, Hans (1982), Relatividade geral - uma introdução à teoria do campo da gravitação , Cambridge University Press, ISBN   0-521-37066-3 .
• Wald, Robert M. (1984), General Relativity , ISBN   978-0-226-87033-5 .

links externos

• Relatividade Geral e Cosmologia Quântica
• Tensores e relatividade: desvio geodésico