Geodésico - Geodesic

Na geometria , um geodésica ( / ˌ dʒ i ə d ɛ s ɪ k , ˌ dʒ i oʊ -, - d i -, - z ɪ k / ) é geralmente uma curva que representa, em certo sentido o caminho mais curto ( arco ) entre dois pontos em uma superfície , ou mais geralmente em uma variedade Riemanniana . O termo também tem significado em qualquer variedade diferenciável com uma conexão . É uma generalização da noção de " linha reta " para um cenário mais geral.

O substantivo geodésico e o adjetivo geodésico vêm da geodésia , a ciência de medir o tamanho e a forma da Terra , enquanto muitos dos princípios básicos podem ser aplicados a qualquer geometria elipsoidal . No sentido original, uma geodésica era a rota mais curta entre dois pontos da superfície da Terra . Para uma Terra esférica , é um segmento de um grande círculo (veja também a distância do grande círculo ). O termo foi generalizado para incluir medições em espaços matemáticos muito mais gerais; por exemplo, na teoria dos grafos , pode-se considerar uma geodésica entre dois vértices / nós de um gráfico .

Em uma variedade ou subvariedade Riemanniana, as geodésicas são caracterizadas pela propriedade de ter curvatura geodésica que desaparece . Mais geralmente, na presença de uma conexão afim , uma geodésica é definida como uma curva cujos vetores tangentes permanecem paralelos se forem transportados ao longo dela. Aplicar isso à conexão Levi-Civita de uma métrica Riemanniana recupera a noção anterior.

Geodésicas são de particular importância na relatividade geral . Geodésicas semelhantes a tempo na relatividade geral descrevem o movimento de partículas de teste em queda livre .

Introdução

Um caminho localmente mais curto entre dois pontos dados em um espaço curvo, assumido como uma variedade Riemanniana , pode ser definido usando a equação para o comprimento de uma curva (uma função f de um intervalo aberto de R para o espaço), e então minimizar este comprimento entre os pontos usando o cálculo das variações . Isso tem alguns problemas técnicos menores porque há um espaço dimensional infinito de diferentes maneiras de parametrizar o caminho mais curto. É mais simples restringir o conjunto de curvas àquelas parametrizadas "com velocidade constante" 1, o que significa que a distância de f ( s ) af ( t ) ao longo da curva é igual a | s - t |. Equivalentemente, uma quantidade diferente pode ser usada, chamada de energia da curva; minimizar a energia leva às mesmas equações para uma geodésica (aqui, "velocidade constante" é uma consequência da minimização). Intuitivamente, pode-se entender essa segunda formulação observando que uma faixa elástica esticada entre dois pontos contrairá seu comprimento e, com isso, minimizará sua energia. A forma resultante da banda é geodésica.

É possível que várias curvas diferentes entre dois pontos minimizem a distância, como é o caso de dois pontos diametralmente opostos em uma esfera. Nesse caso, qualquer uma dessas curvas é uma geodésica.

Um segmento contíguo de uma geodésica é novamente uma geodésica.

Em geral, geodésicas não são o mesmo que "curvas mais curtas" entre dois pontos, embora os dois conceitos estejam intimamente relacionados. A diferença é que as geodésicas são apenas localmente a menor distância entre os pontos, e são parametrizadas com "velocidade constante". Percorrer o "caminho longo" em um grande círculo entre dois pontos de uma esfera é uma geodésica, mas não o caminho mais curto entre os pontos. O mapa do intervalo de unidade na reta de número real para si mesmo fornece o caminho mais curto entre 0 e 1, mas não é geodésico porque a velocidade do movimento correspondente de um ponto não é constante. ${\ displaystyle t \ a t ^ {2}}$

Geodésicas são comumente vistas no estudo da geometria Riemanniana e, mais geralmente, da geometria métrica . Na relatividade geral , as geodésicas no espaço-tempo descrevem o movimento de partículas pontuais sob a influência da gravidade apenas. Em particular, o caminho percorrido por uma rocha em queda, um satélite em órbita ou a forma de uma órbita planetária são todos geodésicos no espaço-tempo curvo. De maneira mais geral, o tópico da geometria sub-Riemanniana lida com os caminhos que os objetos podem seguir quando não estão livres, e seu movimento é restringido de várias maneiras.

Este artigo apresenta o formalismo matemático envolvido na definição, descoberta e comprovação da existência de geodésicas, no caso das variedades Riemannianas . O artigo Conexão de Levi-Civita discute o caso mais geral de uma variedade pseudo-Riemanniana e a geodésica (relatividade geral) discute o caso especial da relatividade geral em maiores detalhes.

Exemplos

Uma geodésica em um elipsóide triaxial .

Se um inseto é colocado em uma superfície e anda continuamente "para a frente", por definição ele traçará uma geodésica.

Os exemplos mais familiares são as linhas retas na geometria euclidiana . Em uma esfera , as imagens da geodésica são os grandes círculos . O caminho mais curto a partir do ponto A para o ponto B numa esfera é dada pela menor arco do grande círculo que passa através de um e B . Se A e B são pontos antípodas , então há infinitos caminhos mais curtos entre eles. A geodésica em um elipsóide se comporta de maneira mais complicada do que em uma esfera; em particular, eles não são fechados em geral (veja a figura).

Triângulos

Um triângulo geodésico na esfera.

Um triângulo geodésico é formado pela união geodésica de cada par de três pontos em uma determinada superfície. Na esfera, as geodésicas são grandes arcos circulares , formando um triângulo esférico .

Triângulos geodésicos em espaços de curvatura positiva (topo), negativa (meio) e zero (fundo).

Geometria métrica

Na geometria métrica , uma geodésica é uma curva que em todos os lugares localmente é um minimizador de distância . Mais precisamente, uma curva γ  : I → M de um intervalo I dos reais ao espaço métrico M é uma geodésica se houver uma constante v ≥ 0 tal que para qualquer t ∈ I existe uma vizinhança J de t em I tal que para qualquer t ₁ ,  t ₂ ∈ J temos

${\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = v \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.}$

Isso generaliza a noção de geodésica para variedades Riemannianas. No entanto, na geometria métrica a geodésica considerada é muitas vezes equipada com parametrização natural , ou seja, na identidade acima v  = 1 e

${\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.}$

Se a última igualdade for satisfeita para todo t ₁ , t ₂ ∈ I , a geodésica é chamada de geodésica minimizadora ou caminho mais curto .

Em geral, um espaço métrico pode não ter geodésicas, exceto curvas constantes. No outro extremo, quaisquer dois pontos em um espaço métrico de comprimento são unidos por uma sequência de minimização de caminhos retificáveis , embora essa sequência de minimização não precise convergir para uma geodésica.

Geometria riemanniana

Em uma variedade Riemanniana M com tensor métrico g , o comprimento L de uma curva continuamente diferenciável γ: [ a , b ] →  M é definido por

${\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma }} (t))}} \, dt.}$

A distância d ( p ,  q ) entre dois pontos p e q de M é definida como o ínfimo do comprimento tomado ao longo de todas as curvas contínuas, por partes, continuamente diferenciáveis ​​γ: [ a , b ] →  M tal que γ ( a ) =  p e γ ( b ) =  q . Na geometria Riemanniana, todas as geodésicas são caminhos que minimizam a distância localmente, mas o inverso não é verdade. Na verdade, apenas caminhos que minimizam a distância localmente e são parametrizados proporcionalmente ao comprimento do arco são geodésicos. Outra forma equivalente de definir geodésicas em uma variedade Riemanniana é defini-las como os mínimos da ação seguinte ou funcional de energia

${\ displaystyle E (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t)) \, dt.}$

Todos os mínimos de E também são mínimos de L , mas L é um conjunto maior, uma vez que os caminhos que são mínimos de L podem ser arbitrariamente parametrizados (sem alterar seu comprimento), enquanto os mínimos de E não podem. Para uma curva por partes (mais geralmente, uma curva), a desigualdade de Cauchy-Schwarz dá ${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle W ^ {1,2}}$

${\ displaystyle L (\ gamma) ^ {2} \ leq 2 (ba) E (\ gamma)}$

com igualdade se e somente se for igual a uma constante ae; o caminho deve ser percorrido em velocidade constante. Acontece que minimizadores de também minimizam , pois acabam sendo parametrizados afinamente, e a desigualdade é uma igualdade. A utilidade dessa abordagem é que o problema de buscar minimizadores de E é um problema variacional mais robusto. Na verdade, E é uma "função convexa" de , de modo que dentro de cada classe de isotopia de "funções razoáveis", deve-se esperar existência, unicidade e regularidade de minimizadores. Em contraste, "minimizadores" do funcional geralmente não são muito regulares, porque reparameterizações arbitrárias são permitidas. ${\ displaystyle g (\ gamma ', \ gamma')}$${\ displaystyle E (\ gamma)}$${\ displaystyle L (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle L (\ gamma)}$

As equações de movimento de Euler-Lagrange para o funcional E são dadas em coordenadas locais por

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {dt}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {dt}} = 0,}$

onde estão os símbolos de Christoffel da métrica. Esta é a equação geodésica , discutida abaixo . ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$

Cálculo de variações

Técnicas da clássica cálculo das variações pode ser aplicado para examinar o funcional de energia E . A primeira variação de energia é definida em coordenadas locais por

${\ displaystyle \ delta E (\ gamma) (\ varphi) = \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right | _ {t = 0} E (\ gamma + t \ varphi). }$

Os pontos críticos da primeira variação são precisamente as geodésicas. A segunda variação é definida por

${\ displaystyle \ delta ^ {2} E (\ gamma) (\ varphi, \ psi) = \ left. {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial s \, \ partial t}} \ right | _ {s = t = 0} E (\ gamma + t \ varphi + s \ psi).}$

Em um sentido apropriado, zeros da segunda variação ao longo de um γ geodésico surgem ao longo dos campos de Jacobi . Os campos de Jacobi são, portanto, considerados como variações por meio da geodésica.

Ao aplicar técnicas variacionais da mecânica clássica , também se pode considerar a geodésica como fluxos hamiltonianos . Eles são soluções das equações de Hamilton associadas , com a métrica (pseudo-) Riemanniana tomada como Hamiltoniana .

Geodésicas afins

Uma geodésica em uma variedade lisa M com uma conexão afim ∇ é definida como uma curva γ ( t ) de modo que o transporte paralelo ao longo da curva preserva o vetor tangente à curva, então

${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}$

( 1 )

em cada ponto ao longo da curva, onde é a derivada em relação a . Mais precisamente, a fim de definir a derivada covariante disso, é necessário primeiro estender para um campo vetorial continuamente diferenciável em um conjunto aberto . No entanto, o valor resultante de ( 1 ) é independente da escolha da extensão. ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

Usando coordenadas locais em M , podemos escrever a equação geodésica (usando a convenção de soma ) como

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ gamma ^ {\ lambda}} {dt ^ {2}}} + \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} {\ frac {d \ gamma ^ {\ mu}} {dt}} {\ frac {d \ gamma ^ {\ nu}} {dt}} = 0 \,}$

onde estão as coordenadas da curva γ ( t ) e são os símbolos de Christoffel da conexão ∇. Esta é uma equação diferencial ordinária para as coordenadas. Ele tem uma solução única, dada uma posição inicial e uma velocidade inicial. Portanto, do ponto de vista da mecânica clássica , a geodésica pode ser pensada como trajetórias de partículas livres em uma variedade. Na verdade, a equação significa que o vetor de aceleração da curva não tem componentes na direção da superfície (e, portanto, é perpendicular ao plano tangente da superfície em cada ponto da curva). Portanto, o movimento é totalmente determinado pela curvatura da superfície. Esta também é a ideia da relatividade geral, onde as partículas se movem em geodésicas e a curvatura é causada pela gravidade. ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} = x ^ {\ mu} \ circ \ gamma (t)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}$

Existência e singularidade

O teorema de existência local e unicidade para geodésicas afirma que as geodésicas em uma variedade lisa com uma conexão afim existem e são únicas. Mais precisamente:

Para qualquer ponto p em M e para qualquer vetor V em T _p M (o espaço tangente a M em p ) existe uma geodésica única  : I → M tal que ${\ displaystyle \ gamma \,}$

${\ displaystyle \ gamma (0) = p \,}$ e

${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (0) = V,}$

onde I é um intervalo aberto máximo em R contendo 0.

A prova desse teorema segue a partir da teoria das equações diferenciais ordinárias , observando que a equação geodésica é uma ODE de segunda ordem. A existência e a unicidade seguem então do teorema de Picard-Lindelöf para as soluções de EDOs com condições iniciais prescritas. γ depende suavemente em ambos p e  V .

Em geral, I podem não ser todos de R como, por exemplo, para um disco aberto em R ² . Qualquer γ estende-se a todos de ℝ se e somente se M for geodésicamente completo .

Fluxo geodésico

Geodésica fluxo é um local de R - acção sobre a tangente feixe TM de um colector de H definida da seguinte maneira

${\ displaystyle G ^ {t} (V) = {\ dot {\ gamma}} _ {V} (t)}$

onde t  ∈  R , V  ∈  TM e denota a geodésica com dados iniciais . Assim, ( V ) = exp ( tV ) é o mapa exponencial do vetor tV . Uma órbita fechada dos corresponde fluxo geodésicas para um geodésica fechada em  M . ${\ displaystyle \ gamma _ {V}}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {V} (0) = V}$${\ displaystyle G ^ {t}}$

Em uma variedade (pseudo-) Riemanniana, o fluxo geodésico é identificado com um fluxo hamiltoniano no feixe cotangente. O hamiltoniano é então dado pelo inverso da métrica (pseudo-) Riemanniana, avaliada em comparação com a forma única canônica . Em particular, o fluxo preserva a métrica (pseudo-) Riemanniana , ou seja, ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g (G ^ {t} (V), G ^ {t} (V)) = g (V, V). \,}$

Em particular, quando V é um vetor unitário, permanece a velocidade unitária por toda parte, de modo que o fluxo geodésico é tangente ao feixe tangente unitário . O teorema de Liouville implica a invariância de uma medida cinemática no feixe tangente unitário. ${\ displaystyle \ gamma _ {V}}$

Spray geodésico

O fluxo geodésico define uma família de curvas no feixe tangente . As derivadas dessas curvas definem um campo vetorial no espaço total do feixe tangente, conhecido como pulverização geodésica .

Mais precisamente, uma conexão afim dá origem a uma divisão do feixe tangente duplo TT M em feixes horizontais e verticais :

${\ displaystyle TTM = H \ oplus V.}$

O spray geodésico é o único campo vetorial horizontal W satisfazendo

${\ displaystyle \ pi _ {*} W_ {v} = v \,}$

em cada ponto v  ∈ T M ; aqui π _∗  : TT M  → T M denota o pushforward (diferencial) ao longo da projeção π: T M  →  M associada ao feixe tangente.

Mais geralmente, a mesma construção permite construir um campo vetorial para qualquer conexão de Ehresmann no feixe tangente. Para que o campo vetorial resultante seja um spray (no feixe tangente excluído T M  \ {0}) é suficiente que a conexão seja equivariante sob reescalonamentos positivos: não precisa ser linear. Ou seja, (cf. conexão de Ehresmann # Feixes de vetores e derivados covariantes ) é suficiente que a distribuição horizontal satisfaça

${\ displaystyle H _ {\ lambda X} = d (S _ {\ lambda}) _ {X} H_ {X} \,}$

para todo X  ∈ T M  \ {0} e λ> 0. Aqui d ( S _λ ) é o pushforward ao longo da homotetia escalar. Um caso particular de uma conexão não linear surgindo desta maneira é aquela associada a uma variedade de Finsler . ${\ displaystyle S _ {\ lambda}: X \ mapsto \ lambda X.}$

Geodésicas afins e projetivas

A equação ( 1 ) é invariante sob reparametrizações afins; ou seja, parametrizações do formulário

${\ displaystyle t \ mapsto em + b}$

onde a e b são números reais constantes. Assim, além de especificar uma certa classe de curvas embutidas, a equação geodésica também determina uma classe preferencial de parametrizações em cada uma das curvas. Consequentemente, as soluções de ( 1 ) são chamadas de geodésicas com parâmetro afim .

Uma conexão afim é determinada por sua família de geodésicas afinamente parametrizadas, até a torção ( Spivak 1999 , Capítulo 6, Adendo I). A torção em si não afeta, de fato, a família das geodésicas, uma vez que a equação geodésica depende apenas da parte simétrica da conexão. Mais precisamente, se duas conexões são tais que o tensor de diferença ${\ displaystyle \ nabla, {\ bar {\ nabla}}}$

${\ displaystyle D (X, Y) = \ nabla _ {X} Y - {\ bar {\ nabla}} _ {X} Y}$

é skew-symmetric , então e tem as mesmas geodésicas, com as mesmas parametrizações afins. Além disso, há uma conexão única com as mesmas geodésicas , mas com torção desaparecida. ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$${\ displaystyle \ nabla}$

Geodésicas sem uma parametrização particular são descritas por uma conexão projetiva .

Métodos computacionais

Solucionadores eficientes para o problema geodésico mínimo em superfícies apresentadas como equações eikonais foram propostos por Kimmel e outros.

Teste de fita

O teste de fita realizado pelo proprietário do Vsauce, Michael Stevens

A linha curva desenhada com o teste de fita é uma linha reta em uma superfície plana. Isso ocorre porque um cone pode ser feito em um semicírculo 2-d.

Um "Teste" de faixa de opções é uma maneira de encontrar uma geodésica em uma forma curva tridimensional.

Quando uma fita é enrolada em torno de um cone, uma parte da fita não toca a superfície do cone. Se a fita for enrolada em um caminho curvo diferente e todas as partículas da fita tocarem a superfície do cone, o caminho será Geodésico .

Formulários

A geodésica serve de base para o cálculo:

• fuselagens geodésicas; ver fuselagem geodésica ou fuselagem geodésica
• estruturas geodésicas - por exemplo, domos geodésicos
• distâncias horizontais na ou perto da Terra; ver geodésicas da Terra
• mapear imagens em superfícies, para renderização; veja mapeamento UV
• movimento de partículas em simulações de computador de dinâmica molecular (MD)
• planejamento do movimento do robô (por exemplo, ao pintar peças de automóveis); veja o problema do caminho mais curto

Veja também

Notas

Referências

• Spivak, Michael (1999), Uma introdução abrangente à geometria diferencial (Volume 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Leitura adicional

• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introdução à Relatividade Geral (2ª ed.), Nova York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. Veja o capítulo 2 .
• Abraham, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics , London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. Consulte a seção 2.7 .
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. Consulte a seção 1.4 .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry , vol. 1 (nova ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 |volume=tem texto extra ( ajuda ).
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), Teoria Clássica dos Campos , Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9. Consulte a seção 87 .
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ortín, Tomás (2004), Gravity and strings , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Observe especialmente as páginas 7 e 10.
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Geodesic line" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity , Nova York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. Veja o capítulo 3 .

links externos

• Geodésica Revisitada - Introdução à geodésica incluindo duas formas de derivação da equação da geodésica com aplicações em geometria (geodésica em esfera e em toro ), mecânica ( braquistócrona ) e óptica (feixe de luz em meio não homogêneo).
• Subvariedade totalmente geodésica no Manifold Atlas