Teorema de Gelfand-Mazur - Gelfand–Mazur theorem
Na teoria dos operadores , o teorema de Gelfand-Mazur é um teorema nomeado após Israel Gelfand e Stanisław Mazur que afirma que uma álgebra de Banach com unidade sobre os números complexos em que cada elemento diferente de zero é invertível é isometricamente isomórfico aos números complexos , i. e., o álgebra único complexo Banach que é uma álgebra divisão é o complexo números C .
O teorema segue do fato de que o espectro de qualquer elemento de uma álgebra de Banach complexa não é vazio: para cada elemento a de uma álgebra de Banach complexa A existe algum número complexo λ tal que λ 1 - a não é invertível. Esta é uma consequência da analiticidade complexa da função resolvente . Por hipótese, X 1 - um = 0. Assim, um = λ · 1. Isto dá um isomorfismo de um para C .
O teorema pode ser reforçado para a afirmação de que existem (até isomorfismo) exactamente três algebras reais divisão Banach: o campo de reais R , o campo de números complexos C , e a divisão da álgebra quatérnions H . Este resultado foi provado primeiro por Stanisław Mazur sozinho, mas foi publicado na França sem uma prova, quando o autor recusou o pedido do editor para encurtar sua prova. Gelfand (independentemente) publicou uma prova do complexo caso alguns anos depois.
Referências
- Bonsall, Frank F .; Duncan, John (1973). Álgebras Normais completas . Springer. pp. 71–4. doi : 10.1007 / 978-3-642-65669-9 . ISBN 978-3-642-65671-2 .
- Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (Segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .