Teorema de Gelfand-Mazur - Gelfand–Mazur theorem

Na teoria dos operadores , o teorema de Gelfand-Mazur é um teorema nomeado após Israel Gelfand e Stanisław Mazur que afirma que uma álgebra de Banach com unidade sobre os números complexos em que cada elemento diferente de zero é invertível é isometricamente isomórfico aos números complexos , i. e., o álgebra único complexo Banach que é uma álgebra divisão é o complexo números C .

O teorema segue do fato de que o espectro de qualquer elemento de uma álgebra de Banach complexa não é vazio: para cada elemento a de uma álgebra de Banach complexa A existe algum número complexo λ tal que λ 1 -  a não é invertível. Esta é uma consequência da analiticidade complexa da função resolvente . Por hipótese, X 1 -  um = 0. Assim, um = λ ·  1. Isto dá um isomorfismo de um para C .

O teorema pode ser reforçado para a afirmação de que existem (até isomorfismo) exactamente três algebras reais divisão Banach: o campo de reais R , o campo de números complexos C , e a divisão da álgebra quatérnions H . Este resultado foi provado primeiro por Stanisław Mazur sozinho, mas foi publicado na França sem uma prova, quando o autor recusou o pedido do editor para encurtar sua prova. Gelfand (independentemente) publicou uma prova do complexo caso alguns anos depois.

Referências

  • Bonsall, Frank F .; Duncan, John (1973). Álgebras Normais completas . Springer. pp. 71–4. doi : 10.1007 / 978-3-642-65669-9 . ISBN   978-3-642-65671-2 .