Lema de Gauss (polinômios) - Gauss's lemma (polynomials)

Na álgebra , o lema de Gauss , em homenagem a Carl Friedrich Gauss , é uma declaração sobre polinômios sobre inteiros , ou, mais geralmente, sobre um domínio de fatoração único (isto é, um anel que tem uma propriedade de fatoração única semelhante ao teorema fundamental da aritmética ) O lema de Gauss é a base de toda a teoria da fatoração e dos maiores divisores comuns de tais polinômios .

O lema de Gauss afirma que o produto de dois polinômios primitivos é primitivo (um polinômio com coeficientes inteiros é primitivo se tiver 1 como o maior divisor comum de seus coeficientes).

Um corolário do lema de Gauss, às vezes também chamado de lema de Gauss , é que um polinômio primitivo é irredutível sobre os inteiros se e somente se for irredutível sobre os números racionais . Mais geralmente, um polinômio primitivo tem a mesma fatoração completa sobre os inteiros e sobre os números racionais. No caso de coeficientes em um único domínio de fatoração R , "números racionais" devem ser substituídos por " campo de frações de R ". Isso implica que, se R for um campo , o anel de inteiros ou um domínio de fatoração único, então cada anel polinomial (em um ou vários indeterminados) sobre R é um domínio de fatoração único. Outra consequência é que a fatoração e o cálculo do maior divisor comum de polinômios com números inteiros ou coeficientes racionais podem ser reduzidos a cálculos semelhantes em inteiros e polinômios primitivos. Isso é sistematicamente usado (explícita ou implicitamente) em todos os algoritmos implementados (consulte Polinômio máximo divisor comum e Fatoração de polinômios ).

O lema de Gauss e todas as suas consequências que não envolvem a existência de uma fatoração completa permanecem verdadeiros sobre qualquer domínio GCD (um domínio integral sobre o qual existem os maiores divisores comuns). Em particular, um anel polinomial sobre um domínio GCD também é um domínio GCD. Se alguém chamar o primitivo de polinômio tal que os coeficientes gerem o ideal da unidade , o lema de Gauss é verdadeiro para todos os anéis comutativos . No entanto, alguns cuidados devem ser tomados ao usar esta definição de primitivo , pois, sobre um domínio de fatoração único que não é um domínio ideal principal , existem polinômios que são primitivos no sentido acima e não primitivos neste novo sentido.

O lema sobre os inteiros

Se for um polinômio com coeficientes inteiros, será chamado de primitivo se o maior divisor comum de todos os coeficientes for 1; em outras palavras, nenhum número primo divide todos os coeficientes. ${\ displaystyle F (X) = a_ {0} + a_ {1} X + \ dots + a_ {n} X ^ {n}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$

Prova: Claramente, o produto f ( x ) g ( x ) de dois polinômios primitivos tem coeficientes inteiros. Portanto, se não for primitivo, deve haver um primo p que é um divisor comum de todos os seus coeficientes. Mas p não pode dividir todos os coeficientes de f ( x ) ou g ( x ) (caso contrário, eles não seriam primitivos). Seja a _r  x ^r o primeiro termo de f ( x ) não divisível por p e seja b _s  x ^s o primeiro termo de g ( x ) não divisível por p . Agora considere o termo x ^{r + s} no produto, cujo coeficiente é 

${\ displaystyle a_ {r} b_ {s} + a_ {r + 1} b_ {s-1} + a_ {r + 2} b_ {s-2} + \ cdots + a_ {r-1} b_ {s +1} + a_ {r-2} b_ {s + 2} + \ cdots.}$

O primeiro termo não é divisível por p (porque p é primo), mas todos os demais o são, de modo que a soma inteira não pode ser divisível por p . Por suposição, todos os coeficientes no produto são divisíveis por p , levando a uma contradição. Portanto, os coeficientes do produto não podem ter um divisor comum e são, portanto, primitivos.${\ displaystyle \ square}$

A prova é fornecida abaixo para o caso mais geral. Observe que um elemento irredutível de Z (um número primo) ainda é irredutível quando visto como polinômio constante em Z [ X ]; isso explica a necessidade de "não constante" na instrução.

Declarações para domínios de fatoração únicos

O lema de Gauss se aplica de maneira mais geral a domínios de fatoração únicos arbitrários . Nesse caso, o conteúdo c ( P ) de um polinômio P pode ser definido como o maior divisor comum dos coeficientes de P (como o mdc, o conteúdo é na verdade um conjunto de elementos associados ). Um polinômio P com coeficientes em um UFD é então considerado primitivo se os únicos elementos de R que dividem todos os coeficientes de P de uma vez são os elementos invertíveis de R ; ou seja, o mdc dos coeficientes é um.

Declaração de primitividade: Se R é um UFD, então o conjunto de polinômios primitivos em R [ X ] é fechado para multiplicação. Mais geralmente, o conteúdo de um produto de polinômios é o produto de seus conteúdos individuais. ${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle c (f) c (g)}$

Declaração de irredutibilidade: Seja R um domínio de fatoração único e F seu campo de frações . Um polinômio não constante em é irredutível em se e somente se é irredutível em e primitivo em . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle R [x]}$

(Para as provas, consulte #Versão geral abaixo.)

Let Ser um único domínio de fatoração com campo de frações . Se é um polinômio sobre então para algum em , tem coeficientes em , e assim - fatorando o mdc dos coeficientes - podemos escrever para algum polinômio primitivo . Como se pode verificar, esse polinômio é único até a multiplicação por uma unidade e é chamado de parte primitiva (ou representante primitivo ) de e é denotado por . O procedimento é compatível com o produto: . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f \ in F [x]}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle df}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle df = qf '}$${\ displaystyle f '\ in R [x]}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {pp} (f)}$${\ displaystyle \ operatorname {pp} (fg) = \ operatorname {pp} (f) \ operatorname {pp} (g)}$

A construção pode ser usada para mostrar a declaração:

• Um anel polinomial sobre um UFD é um UFD.

Com efeito, por indução , basta mostrar que é um UFD quando é um UFD. Let Ser um polinômio diferente de zero. Agora, é um domínio de fatoração único (uma vez que é um domínio ideal principal) e, portanto, como um polinômio em , pode ser fatorado como: ${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \ in R [x]}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f = g_ {1} g_ {2} \ dots g_ {r}}$

onde estão os polinômios irredutíveis de . Agora, escrevemos para o mdc dos coeficientes de (e é a parte primitiva) e então: ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle f = cf '}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f '}$

${\ displaystyle f = cf '= c \ operatorname {pp} (g_ {1}) \ operatorname {pp} (g_ {2}) \ cdots \ operatorname {pp} (g_ {r}).}$

Agora, é um produto dos elementos primos de (uma vez que é um UFD) e um elemento primo de é um elemento primo de , assim como um domínio integral. Conseqüentemente, admite uma fatoração primária (ou uma fatoração única em irredutíveis). Em seguida, observe que é uma fatoração única em elementos irredutíveis de , uma vez que (1) cada um é irredutível pela declaração de irredutibilidade e (2) é único, uma vez que a fatoração de também pode ser vista como uma fatoração em e a fatoração é única. Uma vez que e são exclusivamente determinados por até elementos de unidade, a fatoração acima de é uma fatoração única em elementos irredutíveis.${\ displaystyle c}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle R [x] / (p) \ cong R / (p) [x]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f '= \ operatorname {pp} (g_ {1}) \ cdots \ operatorname {pp} (g_ {r})}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle \ operatorname {pp} (g_ {i})}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ square}$

A condição de que " R é um domínio de fatoração único" não é supérflua porque implica que todo elemento irredutível deste anel também é um elemento primo , o que por sua vez implica que todo elemento diferente de zero de R tem no máximo uma fatoração em um produto de elementos irredutíveis e uma unidade até a ordem e relação de associação. Em um anel onde a fatoração não é única, digamos pa = qb com p e q elementos irredutíveis que não dividem nenhum dos fatores do outro lado, o produto ( p + qX ) ( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q ² X ² = q ( b + ( p + a ) X + qX ² ) mostra a falha da declaração de primitividade. Para um exemplo concreto, pode-se tomar R = Z [ i √5] , p = 1 + i √5 , a = 1 - i √5 , q = 2 , b = 3 . Neste exemplo, o polinômio 3 + 2 X + 2 X ² (obtido dividindo o lado direito por q = 2 ) fornece um exemplo da falha da declaração de irredutibilidade (é irredutível em R , mas redutível em seu campo de frações Q [ i √5] ). Outro exemplo bem conhecido é o polinômio X ² - X - 1 , cujas raízes são a razão áurea φ = (1 + √5) / 2 e seu conjugado (1 - √5) / 2 mostrando que é redutível ao longo do campo Q [√5] , embora seja irredutível sobre o não UFD Z [√5] que possui Q [√5] como campo de frações. No último exemplo, o anel pode ser transformado em um UFD tomando seu fechamento integral Z [φ] em Q [√5] (o anel de inteiros de Dirichlet), sobre o qual X ² - X - 1 se torna redutível, mas no primeiro o exemplo R já está integralmente fechado.

Versão geral

Deixe ser um anel comutativo. Se é um polinômio em , então escrevemos para o ideal de gerado por todos os coeficientes de ; é chamado de conteúdo de . Observe que, para cada em . A próxima proposição afirma uma propriedade mais substancial. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (f)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (af) = a \ operatorname {cont} (f)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle R}$

Um polinômio é considerado primitivo se for a unidade ideal . Quando (ou mais geralmente quando é um domínio de Bézout ), isso concorda com a definição usual de um polinômio primitivo. (Mas se for apenas um UFD, esta definição é inconsistente com a definição de primitividade em # Declarações para domínios de fatoração únicos .) ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (f)}$${\ displaystyle (1)}$${\ displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Prova: Isso é fácil usando o fato de que implica${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = (1)}$${\ displaystyle I = (1).}$ ${\ displaystyle \ square}$

Prova: ( ) Primeiro observe que o mdc dos coeficientes de é 1, pois, caso contrário, podemos fatorar algum elemento dos coeficientes de para escrever , contradizendo a irredutibilidade de . Em seguida, suponha que para alguns polinômios não constantes em . Então, para alguns , o polinômio tem coeficientes e então, fatorando o mdc dos coeficientes, escrevemos . Faça o mesmo para e poderemos escrever para alguns . Agora, vamos para alguns . Então . A partir disso, usando a proposição, obtemos: ${\ displaystyle \ Rightarrow}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c \ in R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = cf '}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f = gh}$${\ displaystyle g, h}$${\ displaystyle F [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ displaystyle d \ in R}$${\ displaystyle dg}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle dg = qg '}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f = cg'h '}$${\ displaystyle c \ in F}$${\ displaystyle c = a / b}$${\ displaystyle a, b \ in R}$${\ displaystyle bf = ag'h '}$

${\ displaystyle (b) \ supset \ operatorname {gcd} (\ operatorname {cont} (bf)) = (a)}$.

Ou seja, divide . Assim, e então, a fatoração constitui uma contradição com a irredutibilidade de . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c \ in R}$${\ displaystyle f = cg'h '}$${\ displaystyle f}$

( ) Se for irredutível em , então ou é irredutível em ou contém um polinômio constante como um fator, a segunda possibilidade é descartada pela suposição.${\ displaystyle \ Leftarrow}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ square}$

Prova da proposição: Claramente ,. Se for um ideal primo contendo , então módulo . Como é um anel polinomial sobre um domínio integral e, portanto, é um domínio integral, isso implica em ou módulo . Portanto, ou está contido em . Uma vez que é a interseção de todos os ideais principais que contêm e a escolha de foi arbitrária ,. ${\ displaystyle \ operatorname {cont} (fg) \ subset \ operatorname {cont} (f) \ operatorname {cont} (g)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (fg)}$${\ displaystyle fg \ equiv 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ displaystyle f \ equiv 0}$${\ displaystyle g \ equiv 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (f)}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (g)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ operatorname {cont} (fg)}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (fg)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (f) \ operatorname {cont} (g) \ subset {\ sqrt {\ operatorname {cont} (fg)}}}$

Agora provamos a parte "além disso". Fatorando os mdc dos coeficientes, podemos escrever e onde os mdc dos coeficientes de são ambos 1. Claramente, é suficiente provar a afirmação quando são substituídos por ; assim, assumimos que os mdc dos coeficientes de são ambos 1. O resto da prova é fácil e transparente se for um domínio de fatoração único; assim, damos a prova nesse caso aqui (e veja a prova para o caso GCD). Se , então não há nada a provar. Portanto, assuma o contrário; então há um elemento não unitário dividindo os coeficientes de . Fatorando esse elemento em um produto de elementos primos, podemos tomar esse elemento como um elemento primo . Agora, temos: ${\ displaystyle f = af '}$${\ displaystyle g = bg '}$${\ displaystyle f ', g'}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle f ', g'}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ gcd (\ operatorname {cont} (fg)) = (1)}$${\ displaystyle fg}$${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle (\ pi) = {\ sqrt {(\ pi)}} \ supset {\ sqrt {\ operatorname {cont} (fg)}} \ supset \ operatorname {cont} (f) \ operatorname {cont} ( g)}$.

Portanto, ou contém ou ; contradizendo os mdc dos coeficientes de são ambos 1.${\ displaystyle (\ pi)}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (f)}$${\ displaystyle \ operatorname {cont} (g)}$${\ displaystyle f, g}$${\ displaystyle \ square}$

• Observação : Sobre um domínio GCD (por exemplo, um domínio de fatoração único), o gcd de todos os coeficientes de um polinômio , único até os elementos unitários, também é chamado de conteúdo de .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Formulários

Segue do lema de Gauss que para cada domínio único de fatoração , o anel polinomial também é um domínio único de fatoração (veja # Declarações para domínios únicos de fatoração ). O lema de Gauss também pode ser usado para mostrar o critério de irredutibilidade de Eisenstein . Finalmente, pode ser usado para mostrar que polinômios ciclotômicos (unidades unitárias com coeficientes inteiros) são irredutíveis. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}]}$

O lema de Gauss implica a seguinte declaração:

• Se for um polinômio mônico em uma variável com coeficientes em um domínio de fatoração único (ou mais geralmente um domínio GCD), então uma raiz disso está no campo de frações de está em .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Se , então, ele diz que uma raiz racional de um polinômio mônico sobre inteiros é um inteiro (cf. o teorema da raiz racional ). Para ver a declaração, deixe ser uma raiz de em e suponha que são relativamente primos . No podemos escrever com algum . Então ${\ displaystyle R = \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle a / b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle F [x]}$${\ displaystyle f = (xa / b) g}$${\ displaystyle cg \ in R [x]}$${\ displaystyle c \ in R}$

${\ displaystyle cbf = (bx-a) cg}$

é uma fatoração em . Mas é primitivo (no sentido UFD) e, portanto, divide os coeficientes de pelo lema de Gauss, e assim ${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle bx-a}$${\ displaystyle cb}$${\ displaystyle cg}$

${\ displaystyle f = (bx-a) h}$

com em . Como é monic, isso só é possível quando é uma unidade. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle R [x]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle b}$

Um argumento semelhante mostra:

• Let Ser um domínio GCD com o campo de frações e . Se por algum polinômio que é primitivo no sentido UFD e , então .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f \ in R [x]}$${\ displaystyle f = gh}$${\ displaystyle g \ in R [x]}$${\ displaystyle h \ in F [x]}$${\ displaystyle h \ in R [x]}$

A declaração de irredutibilidade também implica que o polinômio mínimo sobre os números racionais de um inteiro algébrico tem coeficientes inteiros.

Notas e referências

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introduction to Commutative Algebra , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra , Graduate Texts in Mathematics, 150 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960 , ISBN  978-0-387-94269-8