Fator de Gamow - Gamow factor

O fator Gamow ou fator Gamow-Sommerfeld , em homenagem ao seu descobridor George Gamow , é um fator de probabilidade para a chance de duas partículas nucleares ultrapassarem a barreira de Coulomb para sofrer reações nucleares, por exemplo, na fusão nuclear . Pela física clássica , quase não há possibilidade de os prótons se fundirem cruzando a barreira de Coulomb uns dos outros em temperaturas comumente observadas como causadoras da fusão, como as encontradas no sol . Quando George Gamow aplicou a mecânica quântica ao problema, ele descobriu que havia uma chance significativa para a fusão devido ao tunelamento .

A probabilidade de duas partículas nucleares ultrapassarem suas barreiras eletrostáticas é dada pela seguinte equação:

${\ displaystyle P_ {g} (E) = e ^ {- {\ sqrt {\ frac {E_ {g}} {E}}}}}$

onde está a energia Gamow, ${\ displaystyle E_ {g}}$

${\ displaystyle E_ {g} \ equiv 2m_ {r} c ^ {2} (\ pi \ alpha Z_ {a} Z_ {b}) ^ {2}}$

Aqui, está a massa reduzida das duas partículas. A constante é a constante de estrutura fina , é a velocidade da luz e e são os respectivos números atômicos de cada partícula. ${\ displaystyle m_ {r} = {\ frac {m_ {a} m_ {b}} {m_ {a} + m_ {b}}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle Z_ {a}}$${\ displaystyle Z_ {b}}$

Enquanto a probabilidade de superar a barreira de Coulomb aumenta rapidamente com o aumento da energia da partícula, para uma dada temperatura, a probabilidade de uma partícula ter tal energia cai muito rapidamente, conforme descrito pela distribuição de Maxwell-Boltzmann . Gamow descobriu que, em conjunto, esses efeitos significam que, para qualquer temperatura, as partículas que se fundem estão principalmente em uma faixa estreita de energias dependente da temperatura, conhecida como janela de Gamow .

Derivação

Gamow primeiro resolveu o caso unidimensional de tunelamento quântico usando a aproximação WKB . Considerando uma função de onda de uma partícula de massa m , consideramos a área 1 como onde uma onda é emitida, a área 2 a barreira potencial que tem altura V e largura l (at ), e a área 3 seu outro lado, onde a onda está chegando, parcialmente transmitido e parcialmente refletido. Para um número de onda k e energia E , obtemos: ${\ displaystyle 0 <x <l}$

${\ displaystyle \ Psi _ {1} = Ae ^ {i (kx + \ alpha)} e ^ {- i {\ frac {E} {\ hbar}} t}}$

${\ displaystyle \ Psi _ {2} = B_ {1} e ^ {- k'x} + B_ {2} e ^ {k'x}}$

${\ displaystyle \ Psi _ {3} = (C_ {1} e ^ {- i (kx + \ beta)} + C_ {2} e ^ {i (kx + \ beta ')}) e ^ {- i {\ frac {E} {\ hbar}} t}}$

onde e . Isso é resolvido para A e α dados , tomando as condições de contorno em ambas as bordas da barreira, em e , onde ambos e sua derivada devem ser iguais em ambos os lados. Pois , isso é facilmente resolvido ignorando o tempo exponencial e considerando apenas a parte real (a parte imaginária tem o mesmo comportamento). Obtemos, até fatores dependendo das fases que são tipicamente da ordem 1, e até fatores da ordem de (assumido não muito grande, uma vez que V é maior que E não marginalmente): ${\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE}}}$${\ displaystyle k '= {\ sqrt {2m (VE)}}}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = l}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle k'l \ gg 1}$${\ displaystyle {\ frac {k} {k '}} = {\ sqrt {\ frac {E} {VE}}}}$

${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2} \ aprox A}$

${\ displaystyle C_ {1}, C_ {2} \ approx {\ frac {1} {2}} A \ cdot {\ frac {k '} {k}} \ cdot e ^ {k'l}}$

Em seguida, Gamow modelou o decaimento alfa como um problema unidimensional simétrico, com uma onda estacionária entre duas barreiras de potencial simétrico em e , e emitindo ondas em ambos os lados externos das barreiras. Resolver isso pode, em princípio, ser feito pegando a solução do primeiro problema, traduzindo-o e colando-o em uma solução idêntica refletida ao redor . ${\ displaystyle q_ {0} <x <q_ {0} + l}$${\ displaystyle - (q_ {0} + l) <x <-q_ {0}}$${\ displaystyle q_ {0}}$${\ displaystyle x = 0}$

Devido à simetria do problema, as ondas emissoras em ambos os lados devem ter amplitudes iguais ( A ), mas suas fases ( α ) podem ser diferentes. Isso fornece um único parâmetro extra; no entanto, colar as duas soluções em requer duas condições de contorno (para a função de onda e sua derivada), portanto, em geral, não há solução. Em particular, reescrevendo (após a tradução por ) como uma soma de um cosseno e um seno de , cada um tendo um fator diferente que depende de k e α , o fator do seno deve desaparecer, de modo que a solução possa ser colada simetricamente para seu reflexo. Uma vez que o fator é em geral complexo (portanto, seu desaparecimento impõe duas restrições, representando as duas condições de contorno), isso pode ser resolvido em geral adicionando uma parte imaginária de k , que fornece o parâmetro extra necessário. Assim, E também terá uma parte imaginária. ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle \ Psi _ {3}}$${\ displaystyle q_ {0}}$${\ displaystyle kx}$

O significado físico disso é que a onda estacionária no meio decai; as ondas emitidas recentemente emitidas têm, portanto, amplitudes menores, de modo que sua amplitude decai com o tempo, mas aumenta com a distância. A constante de decaimento, denotada λ , é considerada pequena em comparação com . ${\ displaystyle E / \ hbar}$

λ pode ser estimado sem resolver explicitamente, observando seu efeito na probabilidade da lei de conservação atual . Como a probabilidade flui do meio para os lados, temos:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {- (q_ {0} + l)} ^ {(q_ {0} + l)} \ Psi ^ {*} \ Psi dx = 2 \ cdot {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi _ {1} ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi _ {!}} {\ Partial x}} - \ Psi _ {1} {\ frac {\ partial \ Psi _ {1} ^ {*}} {\ partial x}} \ right),}$

Observe que o fator de 2 é devido ao fato de ter duas ondas emitidas.

Tomando , isso dá: ${\ displaystyle \ Psi \ sim e ^ {- \ lambda t}}$

${\ displaystyle \ lambda \ cdot {\ frac {1} {4}} \ cdot 2 (q_ {0} + l) A ^ {2} {\ frac {k '^ {2}} {k ^ {2} }} \ cdot e ^ {2k'l} \ approx 2 {\ frac {\ hbar} {m}} A ^ {2} k,}$

Uma vez que a dependência quadrática em é desprezível em relação à sua dependência exponencial, podemos escrever: ${\ displaystyle k'l}$

${\ displaystyle \ lambda \ approx {\ frac {\ hbar k} {m (q_ {0} + l)}} {\ frac {k ^ {2}} {k '^ {2}}} \ cdot e ^ {-2k'l}}$

Lembrando que a parte imaginária adicionada a k é muito menor do que a parte real, podemos agora negligenciá-la e obter:

${\ displaystyle \ lambda \ approx {\ frac {\ hbar k} {m2 (q_ {0} + l)}} \ cdot 8 {\ frac {E} {VE}} \ cdot e ^ {- 2 {\ sqrt {2m (VE)}} l / \ hbar}}$

Observe que é a velocidade da partícula, então o primeiro fator é a taxa clássica pela qual a partícula presa entre as barreiras as atinge. ${\ displaystyle {\ frac {\ hbar k} {m}}}$

Finalmente, passando para o problema tridimensional, a equação de Schrödinger esférica simétrica lê (expandindo a função de onda em harmônicos esféricos e olhando para o n-ésimo termo): ${\ displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ chi (r) u (\ theta, \ phi)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left ({\ frac {d ^ {2} \ chi} {dr ^ {2}}} + {\ frac {2} {r }} {d \ chi} {dr} \ right) = \ left (V (r) + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {n (n + 1)} {r ^ {2}}} - E \ direita) \ chi}$

Uma vez que equivale a aumentar o potencial e, portanto, reduzir substancialmente a taxa de decaimento (dada sua dependência exponencial em ), nos concentramos em e obtemos um problema muito semelhante ao anterior com , exceto que agora o potencial como uma função de r não é uma função de etapa. ${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {VE}}}$${\ displaystyle n = 0}$${\ displaystyle \ chi (r) = \ Psi (r) / r}$

O principal efeito disso nas amplitudes é que devemos substituir o argumento no expoente, tomando uma integral de sobre a distância onde, em vez de multiplicar por l . Aproveitamos o potencial de Coulomb : ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {2m (VE)}} / \ hbar}$${\ displaystyle V (r)> E}$

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {r}}}$

onde é a constante de Coulomb , e a carga do elétron , z = 2 é o número de carga da partícula alfa e Z o número de carga do núcleo ( Z - z após a emissão da partícula). Os limites de integração são, então , onde assumimos a energia potencial nuclear ainda é relativamente pequeno, e , que é onde a energia potencial negativo nuclear é grande o suficiente para que o potencial total é menor do que E . Assim, o argumento do expoente em λ é: ${\ displaystyle k_ {e}}$${\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {E}}}$${\ displaystyle r_ {1}}$

${\ displaystyle 2 {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}} \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} {\ sqrt {{\ frac {V (r)} {E }} - 1}} \, dr = 2 {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}} \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} {\ sqrt {{\ frac { r_ {2}} {r}} - 1}} \, dr}$

Isso pode ser resolvido substituindo e, em seguida, resolvendo por θ, fornecendo: ${\ displaystyle t = {\ sqrt {r / r_ {2}}}}$${\ displaystyle t = cos (\ theta)}$

${\ displaystyle 2 \ cdot r_ {2} {\ frac {\ sqrt {2mE}} {\ hbar}} \ cdot (\ cos ^ {- 1} (x) - {\ sqrt {x}} {\ sqrt { 1-x}}) = 2 {\ frac {{\ sqrt {2m}} z (Zz) k_ {e} e ^ {2}} {\ hbar {\ sqrt {E}}}} \ cdot (\ cos ^ {- 1} (x) - {\ sqrt {x}} {\ sqrt {1-x}})}$

onde . Como x é pequeno, o fator dependente de x é de ordem 1. ${\ displaystyle x = r_ {1} / r_ {2}}$

Gamow assumiu , substituindo assim o fator dependente de x por , dando: com: ${\ displaystyle x \ ll 1}$${\ displaystyle \ pi / 2}$${\ displaystyle \ lambda \ sim e ^ {- {\ sqrt {\ frac {E_ {g}} {E}}}}}$

${\ displaystyle E_ {g} = {\ frac {2 \ pi ^ {2} m \ left [z (Zz) k_ {e} e ^ {2} \ right] ^ {2}} {\ hbar ^ {2 }}}}$

que é a mesma que a fórmula dada no início do artigo com , e a constante de estrutura fina . ${\ displaystyle Z_ {a} = z}$${\ displaystyle Z_ {b} = Zz}$${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {k_ {e} e ^ {2}} {\ hbar c}}}$

Para um decaimento de rádio alfa, Z = 88, z = 2 e m = 4 m _p , E _G é aproximadamente 50 GeV . Gamow calculou a inclinação de em relação a E a uma energia de 5 MeV como sendo ~ 10 ¹⁴ joule ⁻¹ , em comparação com o valor experimental de joule ⁻¹ . ${\ displaystyle \ log (\ lambda)}$${\ displaystyle 0.7 \ cdot 10 ^ {14}}$

Referências

links externos

• Modelando a meia-vida alfa (Georgia State University)