Projeto fatorial fracionário - Fractional factorial design

Em estatística , os projetos fatoriais fracionários são projetos experimentais que consistem em um subconjunto (fração) cuidadosamente escolhido das execuções experimentais de um projeto fatorial completo . O subconjunto é escolhido de forma a explorar o princípio da dispersão de efeitos para expor informações sobre as características mais importantes do problema estudado, enquanto usa uma fração do esforço de um planejamento fatorial completo em termos de execuções experimentais e recursos. Em outras palavras, aproveita-se do fato de que muitos experimentos em planejamento fatorial completo costumam ser redundantes , fornecendo pouca ou nenhuma informação nova sobre o sistema.

Notação

Os experimentos fracionais são expressos usando a notação l ^{k - p} , onde l é o número de níveis de cada fator investigado, k é o número de fatores investigados e p descreve o tamanho da fração do fatorial completo usado. Formalmente, p é o número de geradores , atribuições quanto a quais efeitos ou interações são confundidos , ou seja , não podem ser estimados independentemente um do outro (ver abaixo). Um projeto com p tais geradores é uma fração 1 / ( l ^p ) = l ^−p do projeto fatorial completo.

Por exemplo, um experimento 2 ^{5 - 2} é 1/4 de um experimento fatorial de dois níveis e cinco fatores. Em vez das 32 execuções que seriam necessárias para o experimento fatorial 2 ⁵ completo , este experimento requer apenas oito execuções.

Na prática, raramente se encontra l > 2 níveis em experimentos fatoriais fracionários, uma vez que a metodologia de superfície de resposta é uma maneira experimentalmente muito mais eficiente de determinar a relação entre a resposta experimental e os fatores em vários níveis. Além disso, a metodologia para gerar tais designs para mais de dois níveis é muito mais complicada.

Os níveis de um fator são comumente codificados como +1 para o nível superior e -1 para o nível inferior. Para um fator de três níveis, o valor intermediário é codificado como 0.

Para economizar espaço, os pontos em um experimento fatorial de dois níveis são freqüentemente abreviados com cadeias de sinais de mais e menos. As strings têm tantos símbolos quanto fatores, e seus valores ditam o nível de cada fator: convencionalmente, para o primeiro nível (ou baixo) e para o segundo (ou alto) nível. Os pontos neste experimento pode assim ser representada como , , , e . ${\ displaystyle -}$ ${\ displaystyle +}$ ${\ displaystyle -}$ ${\ displaystyle + -}$ ${\ displaystyle - +}$ ${\ displaystyle ++}$

Os pontos fatoriais também podem ser abreviados por (1), a, b e ab, onde a presença de uma letra indica que o fator especificado está em seu nível alto (ou segundo) e a ausência de uma letra indica que o fator especificado está em seu nível baixo (ou primeiro) (por exemplo, "a" indica que o fator A está em sua configuração alta, enquanto todos os outros fatores estão em sua configuração baixa (ou primeira)). (1) é usado para indicar que todos os fatores estão em seus valores mais baixos (ou primeiros).

Geração

Na prática, os experimentadores normalmente contam com livros de referência estatística para fornecer os designs fatoriais fracionários "padrão", consistindo na fração principal . A fração principal é o conjunto de combinações de tratamento para as quais os geradores avaliam como + sob a álgebra de combinação de tratamento. No entanto, em algumas situações, os experimentadores podem assumir a responsabilidade de gerar seu próprio projeto fracionário.

Um experimento fatorial fracionário é gerado a partir de um experimento fatorial completo, escolhendo uma estrutura de alias . A estrutura do alias determina quais efeitos são confundidos entre si. Por exemplo, os cinco fatores 2 ^{5 - 2} podem ser gerados usando um experimento fatorial completo de três fatores envolvendo três fatores (digamos A , B e C ) e, em seguida, escolhendo confundir os dois fatores restantes D e E com interações geradas por D = A * B e e = A * C . Essas duas expressões são chamadas de geradores do design. Assim, por exemplo, quando o experimento é executado e o experimentador estima os efeitos do factor D , o que realmente está sendo estimado é uma combinação do principal efeito da D ea interação de dois fatores envolvendo A e B .

Uma característica importante de um design fraccionada é a definição de relação , que dá ao conjunto de colunas de interacção igual na matriz de design para uma coluna de sinais de mais, denotada por I . Para o exemplo acima, como D = AB e E = AC , então ABD e ACE são colunas de sinais de mais e, conseqüentemente, BDCE também . Nesse caso, a relação de definição do experimento fracionário é I = ABD = ACE = BCDE . A relação de definição permite que o padrão de alias do design seja determinado.

Combinações de tratamentos para a 2 ^{5 - 2} desenho
Combinação de tratamento	eu	UMA	B	C	D = AB	E = AC
de	+	-	-	-	+	+
uma	+	+	-	-	-	-
ser	+	-	+	-	-	+
abd	+	+	+	-	+	-
CD	+	-	-	+	+	-
ás	+	+	-	+	-	+
ac	+	-	+	+	-	-
abcde	+	+	+	+	+	+

Resolução

Uma propriedade importante de um projeto fracionário é sua resolução ou capacidade de separar os efeitos principais e as interações de baixa ordem uns dos outros. Formalmente, a resolução do desenho é o comprimento mínimo da palavra na relação definidora excluindo ( 1 ). Os projetos fracionários mais importantes são aqueles de resolução III, IV e V: as resoluções abaixo de III não são úteis e as resoluções acima de V são um desperdício, pois a experimentação expandida não tem nenhum benefício prático na maioria dos casos - a maior parte do esforço adicional vai para o estimativa de interações de ordem muito alta que raramente ocorrem na prática. O projeto 2 ^{5 - 2} acima é a resolução III, uma vez que sua relação definidora é I = ABD = ACE = BCDE.

Resolução	Habilidade	Exemplo
eu	Não é útil: um experimento de exatamente uma execução testa apenas um nível de um fator e, portanto, não consegue nem distinguir entre os níveis alto e baixo desse fator	2 ^{1 - 1} com a definição da relação I = A
II	Inútil: os efeitos principais são confundidos com outros efeitos principais	2 ^{2 - 1} com relação de definição I = AB
III	Estime os efeitos principais, mas eles podem ser confundidos com as interações de dois fatores	2 ^{3 - 1} com relação de definição I = ABC
4	Estimar os efeitos principais não fundamentados por interações de dois fatores Estime os efeitos de interação de dois fatores, mas podem ser confundidos com outras interações de dois fatores	2 ^{4 - 1} com relação de definição I = ABCD
V	Estimar efeitos principais não fundamentados por interações de três fatores (ou menos) Estimar efeitos de interação de dois fatores não fundamentados por interações de dois fatores Estime efeitos de interação de três fatores, mas estes podem ser confundidos com outras interações de dois fatores	2 ^{5 - 1} com relação de definição I = ABCDE
VI	Estimar efeitos principais não fundamentados por interações de quatro fatores (ou menos) Estimar efeitos de interação de dois fatores não fundamentados por interações de três fatores (ou menos) Estime efeitos de interação de três fatores, mas estes podem ser confundidos com outras interações de três fatores	2 ^{6 - 1} com relação de definição I = ABCDEF

A resolução descrita é usada apenas para designs regulares. Projetos regulares têm tamanho de execução igual a uma potência de dois e apenas o aliasing completo está presente. Projetos não regulares são projetos em que o tamanho da tiragem é um múltiplo de 4; esses designs introduzem aliasing parcial e resolução generalizada é usada como critério de design em vez da resolução descrita anteriormente.

Exemplo de experimento fatorial fracionário

Montgomery dá o seguinte exemplo de um experimento fatorial fracionário. Um engenheiro realizou um experimento para aumentar a taxa de filtração (saída) de um processo para produzir um produto químico e para reduzir a quantidade de formaldeído usada no processo. O experimento fatorial completo é descrito na página do Wikipedia Experimento fatorial . Quatro fatores foram considerados: temperatura (A), pressão (B), concentração de formaldeído (C) e taxa de agitação (D). Os resultados nesse exemplo foram que os efeitos principais A, C e D e as interações AC e AD foram significativos. Os resultados desse exemplo podem ser usados para simular um experimento fatorial fracionário usando uma meia fração do projeto original de 2 ⁴ = 16 execuções. A tabela mostra o planejamento do experimento de meia fração 2 ^{4 - 1} = 8 execuções e a taxa de filtração resultante, extraída da tabela para o experimento fatorial completo de 16 execuções .

UMA	B	C	D	Taxa de Filtração
-1	-1	-1	-1	45
1	-1	-1	1	100
-1	1	-1	1	45
1	1	-1	-1	65
-1	-1	1	1	75
1	-1	1	-1	60
-1	1	1	-1	80
1	1	1	1	96

Neste projeto fracionário, cada efeito principal tem o apelido de uma interação de 3 fatores (por exemplo, A = BCD), e cada interação de 2 fatores tem o apelido de outra interação de 2 fatores (por exemplo, AB = CD). Os relacionamentos de aliasing são mostrados na tabela. Este é um design de resolução IV, o que significa que os efeitos principais são aliasados com interações de 3 vias e as interações de 2 vias são aliasadas a interações de 2 vias.

Apelido
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
AB = CD
AC = BD
BC = AD

As estimativas da análise de variância dos efeitos estão demonstradas na tabela a seguir. A partir da inspeção da tabela, parece haver grandes efeitos devido a A, C e D. O coeficiente para a interação AB é bastante pequeno. A menos que as interações AB e CD tenham efeitos aproximadamente iguais, mas opostos, essas duas interações parecem ser desprezíveis. Se A, C e D têm grandes efeitos, mas B tem pouco efeito, então as interações AC e AD são provavelmente significativas. Essas conclusões são consistentes com os resultados do experimento fatorial completo de 16 execuções.

Coeficiente	Estimativa	Estrutura de alias
UMA	19,0	A + BCD
B	1,5	B + ACD
C	14,0	C + ABD
D	16,5	D + ABC
A: B	-1,0	AB + CD
A: C	-18,5	AC + BD
DE ANÚNCIOS	19,0	AD + BC

Como B e suas interações parecem insignificantes, B pode ser excluído do modelo. A eliminação de B resulta em um experimento fatorial completo 2 ³ para os fatores A, C e D. Executar a anova usando os fatores A, C e D e os termos de interação A: C e A: D, dá os resultados mostrados no tabela, que são muito semelhantes aos resultados do experimento experimental fatorial completo , mas têm a vantagem de exigir apenas 8 execuções de meia fração em vez de 16.

Coeficiente	Estimativa	Padrão Erro	valor t	Valor P
Interceptar	70,75	0,64	111	8.11E-05
UMA	9,5	0,64	14,9	0,00447
C	7	0,64	10,98	0,00819
D	8,25	0,64	12,94	0,00592
A: C	-9,25	0,64	-14,51	0,00471
DE ANÚNCIOS	9,5	0,64	14,9	0,00447

links externos

Veja também

Projetos de parâmetros robustos

Referências

^ Box, GE; Hunter, JS; Hunter, WG (2005). Estatísticas para experimentadores: Design, inovação e descoberta, 2ª edição . Wiley. ISBN 0-471-71813-0.
^ Montgomery, Douglas C. (2013), Design and Analysis of Experiments (8ª ed.), Wiley

[BHH2005-1] Box, GE; Hunter, JS; Hunter, WG (2005). Estatísticas para experimentadores: Design, inovação e descoberta, 2ª edição . Wiley. ISBN 0-471-71813-0.

[Montgomery-2] Montgomery, Douglas C. (2013), Design and Analysis of Experiments (8ª ed.), Wiley

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