Exemplos de grupos - Examples of groups
Alguns exemplos elementares de grupos em matemática são apresentados em Grupo (matemática) . Outros exemplos são listados aqui.
Permutações de um conjunto de três elementos
Considere três blocos coloridos (vermelho, verde e azul), inicialmente colocados na ordem RGB. Seja a a operação "trocar o primeiro bloco e o segundo bloco" e b a operação "trocar o segundo bloco e o terceiro bloco".
Podemos escrever xy para a operação "primeiro faça y , depois faça x "; de modo que ab é a operação RGB → RBG → BRG, que poderia ser descrita como "mova os dois primeiros blocos uma posição para a direita e coloque o terceiro bloco na primeira posição". Se escrevermos e para "deixar os blocos como estão" (a operação de identidade), podemos escrever as seis permutações dos três blocos da seguinte maneira:
- e : RGB → RGB
- a : RGB → GRB
- b : RGB → RBG
- ab : RGB → BRG
- ba : RGB → GBR
- aba : RGB → BGR
Observe que aa tem o efeito RGB → GRB → RGB; então podemos escrever aa = e . Da mesma forma, bb = ( aba ) ( aba ) = e ; ( ab ) ( ba ) = ( ba ) ( ab ) = e ; então cada elemento tem um inverso.
Pela inspeção, podemos determinar a associatividade e o fechamento; observe em particular que ( ba ) b = bab = b ( ab ).
Uma vez que é construída a partir de operações básicas a e b , dizemos que o conjunto { a , b } gera este grupo. O grupo, denominado grupo simétrico S 3 , tem ordem 6 e não é abeliano (já que, por exemplo, ab ≠ ba ).
O grupo de traduções do avião
Uma translação do plano é um movimento rígido de todos os pontos do plano por uma certa distância em uma determinada direção. Por exemplo, "mover na direção Nordeste por 2 milhas" é uma translação do avião. Duas traduções, como a e b podem ser compostas para formar uma nova tradução de um ∘ b da seguinte forma: primeiro siga a prescrição de b , então a de um . Por exemplo, se
- a = "mover Nordeste por 3 milhas"
e
- b = "mover para sudeste por 4 milhas"
então
- a ∘ b = "mova para o rumo de 8,13 ° por 5 milhas" (o rumo é medido no sentido anti-horário e do leste)
Ou se
- a = "mover para o rumo 36,87 ° por 3 milhas" (o rumo é medido no sentido anti-horário e de leste)
e
- b = "mover para o rumo 306,87 ° por 4 milhas" (o rumo é medido no sentido anti-horário e do leste)
então
- a ∘ b = "mova para o leste por 5 milhas"
(veja o teorema de Pitágoras para saber por que isso é assim, geometricamente).
O conjunto de todas as translações do plano com composição como operação forma um grupo:
- Se um e b são traduções, em seguida, um ∘ b também é uma tradução.
- A composição das traduções é associativa: ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ).
- O elemento de identidade para este grupo é a tradução com a prescrição "mova zero milhas em qualquer direção desejada".
- O inverso de uma tradução é dado caminhando na direção oposta pela mesma distância.
Este é um grupo abeliano e nosso primeiro exemplo (não discreto) de um grupo de Lie : um grupo que também é uma variedade .
O grupo de simetria de um quadrado: grupo diédrico de ordem 8
 Dih 4 como grupo de pontos 2D, D 4 , [4], (* 4 •), ordem 4, com uma rotação de 4 vezes e um gerador de espelho. |
 Dih 4 no grupo diédrico 3D D 4 , [4,2] + , (422), ordem 4, com um gerador de rotação vertical de 4 vezes, ordem 4 e gerador horizontal de 2 vezes |
Os grupos são muito importantes para descrever a simetria dos objetos, sejam eles geométricos (como um tetraedro ) ou algébricos (como um conjunto de equações). Como exemplo, consideramos um quadrado de vidro de certa espessura (com a letra "F" escrita nele, apenas para tornar as diferentes posições discrimináveis).
Para descrever a sua simetria, formamos o conjunto de todos aqueles movimentos rígidos do quadrado que não fazem uma diferença visível (exceto o "F"). Por exemplo, se um objeto girado 90 ° no sentido horário ainda parece o mesmo, o movimento é um elemento do conjunto, por exemplo, a . Também poderíamos virá-lo horizontalmente para que seu lado inferior se torne o lado superior, enquanto a borda esquerda se torna a borda direita. Novamente, após realizar este movimento, o quadrado de vidro parece o mesmo, então este também é um elemento do nosso conjunto e o chamamos de b . Um movimento que não faz nada é denotado por e .
Dadas duas tais movimentos x e y , é possível definir a composição x ∘ y como acima: em primeiro lugar o movimento y é realizada, seguido pelo movimento x . O resultado vai deixar a laje com a aparência de antes.
A questão é que o conjunto de todos esses movimentos, com composição como operação, forma um grupo. Este grupo é a descrição mais concisa da simetria do quadrado. Os químicos usam grupos de simetria desse tipo para descrever a simetria de cristais e moléculas.
Gerando o grupo
Vamos investigar nosso grupo de simetria de quadrados um pouco mais. Neste momento, temos os elementos a , b e e , mas podemos facilmente formar mais: por exemplo, um ∘ um , também escrito como um 2 , é uma volta de 180 ° graus. um 3 é uma rotação de 270 ° no sentido horário (ou uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário). Também vemos que b 2 = e e também a 4 = e . Aqui está um interessante: o que a ∘ b faz? Primeiro vire horizontalmente e depois gire. Tente visualizar que a ∘ b = b ∘ a 3 . Além disso, a 2 ∘ b é uma inversão vertical e é igual ab ∘ a 2 .
Dizemos que elementos de um e b gerar o grupo.
Este grupo de pedido 8 tem a seguinte tabela Cayley :
| ∘ | e | b | uma | a 2 | a 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | uma | a 2 | a 3 | ab | a 2 b | a 3 b |
| b | b | e | a 3 b | a 2 b | ab | a 3 | a 2 | uma |
| uma | uma | ab | a 2 | a 3 | e | a 2 b | a 3 b | b |
| a 2 | a 2 | a 2 b | a 3 | e | uma | a 3 b | b | ab |
| a 3 | a 3 | a 3 b | e | uma | a 2 | b | ab | a 2 b |
| ab | ab | uma | b | a 3 b | a 2 b | e | a 3 | a 2 |
| a 2 b | a 2 b | a 2 | ab | b | a 3 b | uma | e | a 3 |
| a 3 b | a 3 b | a 3 | a 2 b | ab | b | a 2 | uma | e |
Para quaisquer dois elementos no grupo, a tabela registra qual é sua composição.
Aqui escrevemos " a 3 b " como uma abreviação para a 3 ∘ b .
Em matemática, esse grupo é conhecido como o grupo diedro de ordem 8 e é denotado como Dih 4 , D 4 ou D 8 , dependendo da convenção. Este foi um exemplo de grupo não abeliano: a operação ∘ aqui não é comutativa , o que pode ser visto na tabela; a mesa não é simétrica em relação à diagonal principal.
;_subgroup_of_S4.svg)
.
Subgrupo normal
Esta versão da tabela Cayley mostra que este grupo tem um subgrupo normal mostrado com um fundo vermelho. Nesta tabela, r significa rotações ef significa inversões. Como o subgrupo é normal, o coset esquerdo é igual ao coset direito.
| e | r 1 | r 2 | r 3 | f v | f h | f d | f c | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | r 1 | r 2 | r 3 | f v | f h | f d | f c |
| r 1 | r 1 | r 2 | r 3 | e | f c | f d | f v | f h |
| r 2 | r 2 | r 3 | e | r 1 | f h | f v | f c | f d |
| r 3 | r 3 | e | r 1 | r 2 | f d | f c | f h | f v |
| f v | f v | f d | f h | f c | e | r 2 | r 1 | r 3 |
| f h | f h | f c | f v | f d | r 2 | e | r 3 | r 1 |
| f d | f d | f h | f c | f v | r 3 | r 1 | e | r 2 |
| f c | f c | f v | f d | f h | r 1 | r 3 | r 2 | e |
| Os elementos e, r 1 , r 2 e r 3 formam um subgrupo , destacado em vermelho (região superior esquerda). Um coset esquerdo e direito deste subgrupo é destacado em verde (na última linha) e amarelo (última coluna), respectivamente. | ||||||||
Grupo livre em dois geradores
O grupo livre com dois geradores de um e b é composto por todos os finitos cordas que podem ser formados a partir dos quatro símbolos um , um -1 , b e b -1 tais que não um aparece directamente ao lado de uma uma -1 e nenhuma b aparece directamente próximo a a b -1 . Duas dessas strings podem ser concatenadas e convertidas em uma string desse tipo, substituindo repetidamente as substrings "proibidas" pela string vazia. Por exemplo: " abab −1 a −1 " concatenado com " abab −1 a " produz " abab −1 a −1 abab −1 a ", que é reduzido a " abaab −1 a ". Pode-se verificar que o conjunto dessas strings com esta operação forma um grupo com elemento neutro a string vazia ε: = "". (Normalmente, as aspas são deixadas de fora; é por isso que o símbolo ε! É obrigatório)
Este é outro grupo infinito não abeliano.
Os grupos livres são importantes na topologia algébrica ; o grupo livre em dois geradores também é usado para uma prova do paradoxo Banach – Tarski .
O conjunto de mapas
Os conjuntos de mapas de um conjunto para um grupo
Seja G um grupo e S um conjunto não vazio. O conjunto de mapas M ( S , G ) é ele próprio um grupo; a saber, para dois mapas f, g de S em G , definimos fg como o mapa tal que ( fg ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) para cada x ∈ S e f −1 como o mapa tal que f −1 ( x ) = f ( x ) −1 .
Faz mapeia f , g , e h em H ( S , L ) . Para cada x em S , f ( x ) e g ( x ) estão em G e ( fg ) ( x ) também. Portanto, fg também está em M ( S , G ) , ou M ( S , G ) está fechado. Para (( fg ) h ) ( x ) = ( fg ) ( x ) h ( x ) = ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) = f ( x ) ( g ( x ) h ( x ) ) = f ( x ) ( gh ) ( x ) = ( f ( gh )) ( x ), M ( S , G ) é associativo. E existe um mapa i tal que I ( x ) = e onde e é o elemento da unidade de L . O mapa i faz todas as funções f em M ( S , G ) tais que if = fi = f , ou i é o elemento unitário de M ( S , G ) . Assim, M ( S , G ) é na verdade um grupo.
Se G for comutativo, então ( fg ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ( x ) = ( gf ) ( x ) . Portanto, M ( S , G ) também .
Grupos de automorfismo
Grupos de permutações
Seja G o conjunto de mapeamentos bijetivos de um conjunto S sobre si mesmo. Então G forma um grupo sob a composição comum de mapeamentos. Este grupo é denominado grupo simétrico e é comumente denotado por Σ S ou . O elemento de unidade G é o mapa de identidade de S . Para dois mapas de f e g em L são bijective, fg também é bijective. Portanto, G está fechado. A composição dos mapas é associativa; logo, G é um grupo. S pode ser finito ou infinito.
Grupos matriciais
Se n é um número inteiro positivo, podemos considerar o conjunto de todos invertível n por n matrizes sobre os reais , dizem. Este é um grupo com multiplicação de matrizes como operação. É denominado grupo linear geral , GL ( n ). Geometricamente, ele contém todas as combinações de rotações, reflexões, dilatações e transformações enviesadas do espaço euclidiano n- dimensional que fixam um determinado ponto (a origem ).
Se nos restringirmos a matrizes com determinante 1, obteremos outro grupo, o grupo linear especial , SL ( n ). Geometricamente, isso consiste em todos os elementos de GL ( n ) que preservam a orientação e o volume dos vários sólidos geométricos no espaço euclidiano.
Se, em vez disso, nos restringirmos a matrizes ortogonais , obteremos o grupo ortogonal O ( n ). Geometricamente, consiste em todas as combinações de rotações e reflexos que fixam a origem. Essas são precisamente as transformações que preservam comprimentos e ângulos.
Finalmente, se impormos ambas as restrições, obteremos o grupo ortogonal especial SO ( n ), que consiste apenas em rotações.
Esses grupos são nossos primeiros exemplos de grupos infinitos não abelianos. Eles também são grupos de Lie . Na verdade, a maioria dos grupos de Lie importantes (mas não todos) podem ser expressos como grupos de matriz.
Se essa ideia for generalizada para matrizes com números complexos como entradas, obteremos outros grupos de Lie úteis, como o grupo unitário U ( n ). Também podemos considerar matrizes com quatérnios como entradas; neste caso, não existe uma noção bem definida de um determinante (e, portanto, nenhuma boa maneira de definir um "volume" quaterniônico), mas ainda podemos definir um grupo análogo ao grupo ortogonal, o grupo simplético Sp ( n ).
Além disso, a ideia pode ser tratada puramente algebricamente com matrizes em qualquer campo , mas então os grupos não são grupos de Lie.
Por exemplo, temos os grupos lineares gerais sobre campos finitos . O teórico de grupos JL Alperin escreveu que "O exemplo típico de um grupo finito é o grupo linear geral de n dimensões sobre o campo com elementos q. O aluno que é apresentado ao assunto com outros exemplos está sendo completamente enganado."
