Relação euclidiana - Euclidean relation
Em matemática , as relações euclidianas são uma classe de relações binárias que formalizam o " Axioma 1 " nos Elementos de Euclides : "Magnitudes iguais às mesmas são iguais entre si".
Definição
Uma relação binária R em um conjunto X é euclidiana (às vezes chamada de euclidiana direita ) se ela satisfaz o seguinte: para todo a , b , c em X , se a está relacionado ab e c , então b está relacionado a c . Para escrever isso na lógica de predicado :
Dualmente, uma relação R em X é deixada euclidiana se para cada a , b , c em X , se b está relacionado a a e c está relacionado a a , então b está relacionado a c :
Propriedades
- Devido à comutatividade de ∧ no antecedente da definição, aRb ∧ aRc mesmo implica bRc ∧ cRb quando R é euclidiana direita. Da mesma forma, bRa ∧ CRA implica bRc ∧ cRb quando R é deixado euclidiana.
- A propriedade de ser euclidiano é diferente de transitividade . Por exemplo, ≤ é transitivo, mas não euclidiano correto, enquanto xRy definido por 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 não é transitivo, mas euclidiano correto em números naturais.
- Para relações simétricas , transitividade, euclidianidade direita e euclidianidade esquerda coincidem. No entanto, também uma relação não simétrica pode ser transitiva e euclidiana direita, por exemplo, xRy definido por y = 0.
- Uma relação que é ao mesmo tempo euclidiana correta e reflexiva também é simétrica e, portanto, uma relação de equivalência . Da mesma forma, cada relação euclidiana e reflexiva esquerda é uma equivalência.
- O alcance de uma relação euclidiana correta é sempre um subconjunto de seu domínio . A restrição de uma relação euclidiana correta ao seu alcance é sempre reflexiva e, portanto, uma equivalência. Da mesma forma, o domínio de uma relação euclidiana esquerda é um subconjunto de seu intervalo, e a restrição de uma relação euclidiana esquerda a seu domínio é uma equivalência.
- Uma relação R é Euclidiana esquerda e direita, se, e somente se, o domínio e o conjunto de intervalo de R concordam, e R é uma relação de equivalência nesse conjunto.
- Uma relação euclidiana à direita é sempre quase-transitiva e, portanto, uma relação euclidiana à esquerda.
- Uma relação euclidiana correta conectada é sempre transitiva; e assim é uma relação euclidiana esquerda conectada.
- Se X tem pelo menos 3 elementos, um conectado direita relação euclidiano R em X não pode ser anti-simétrica , e nem pode uma relação euclidiana deixado conectado em X . No conjunto de 2 elementos X = {0, 1}, por exemplo, a relação xRy definida por y = 1 é conectada, euclidiana direita e antissimétrica, e xRy definida por x = 1 é conectada, euclidiana esquerda e antissimétrica.
- Uma relação R em um conjunto X é euclidiana correta se, e somente se, a restrição R ' : = R | ran ( R ) é uma equivalência e para cada x em X \ ran ( R ), todos os elementos com os quais x está relacionado em R são equivalentes em R ' . Da mesma forma, R em X é deixado euclidiano se, e somente se, R ' : = R | dom ( R ) é uma equivalência e para cada x em X \ dom ( R ), todos os elementos relacionados ax em R são equivalentes em R ' .
- Uma relação euclidiana à esquerda é única à esquerda se, e somente se, for antissimétrica . Similarmente, uma relação euclidiana certa é única certa se, e somente se, for anti-simétrica.
- Uma relação euclidiana esquerda e única esquerda é vacuamente transitiva, e assim é uma relação euclidiana direita e única direita.
- Uma relação euclidiana esquerda é quase reflexiva esquerda . Para relações únicas à esquerda, o inverso também é válido. Dualmente, cada relação euclidiana certa é quase-reflexiva certa, e cada relação única certa e quase-reflexiva certa é euclidiana certa.