Teoria da eliminação - Elimination theory

Em álgebra comutativa e geometria algébrica , teoria da eliminação é o nome clássico para abordagens algorítmicas para eliminar algumas variáveis ​​entre polinômios de várias variáveis, a fim de resolver sistemas de equações polinomiais .

A teoria clássica eliminação culminou com a obra de Francis Sowerby Macaulay sobre resultantes multivariadas , e sua descrição no capítulo teoria Eliminação das primeiras edições (1930) de Bartel Leendert van der Waerden 's Moderne Algebra . Depois disso, a teoria da eliminação foi ignorada pela maioria dos geômetras algébricos por quase trinta anos, até a introdução de novos métodos para resolver equações polinomiais, como as bases de Gröbner , que eram necessárias para álgebra computacional .

História e conexão com teorias modernas

O campo da teoria das eliminações foi motivado pela necessidade de métodos para a solução de sistemas de equações polinomiais .

Um dos primeiros resultados foi o teorema de Bézout , que limita o número de soluções (no caso de dois polinômios em duas variáveis ​​no tempo de Bézout).

Exceto pelo teorema de Bézout, a abordagem geral era eliminar variáveis ​​para reduzir o problema a uma única equação em uma variável.

O caso das equações lineares foi completamente resolvido pela eliminação gaussiana , onde o método mais antigo da regra de Cramer não procede por eliminação, e funciona apenas quando o número de equações é igual ao número de variáveis. Durante o século 19, isso foi estendido para equações diofantinas lineares e grupo abeliano com a forma normal de Hermite e a forma normal de Smith .

Antes do século 20, diferentes tipos de eliminantes foram introduzidos, incluindo resultantes e vários tipos de discriminantes . Em geral, esses eliminantes também são invariantes e também são fundamentais na teoria dos invariantes .

Todos esses conceitos são eficazes, no sentido de que sua definição inclui um método de cálculo. Por volta de 1890, David Hilbert introduziu métodos não eficazes, e isso foi visto como uma revolução, que levou a maioria dos geômetras algébricos da primeira metade do século 20 a tentar "eliminar a eliminação". No entanto, o Nullstellensatz de Hilbert pode ser considerado pertencente à teoria da eliminação, pois afirma que um sistema de equações polinomiais não tem solução se e somente um pode eliminar todas as incógnitas para obter 1.

A teoria da eliminação culminou com o trabalho de Leopold Kronecker e, finalmente, Macaulay , que introduziu as resultantes multivariadas e as resultantes U , fornecendo métodos de eliminação completos para sistemas de equações polinomiais, que foram descritos no capítulo Teoria da eliminação das primeiras edições (1930) da Moderne Algebra de van der Waerden .

Depois disso, a teoria da eliminação foi considerada antiquada, removida das próximas edições da Álgebra Moderna e geralmente ignorada, até a introdução dos computadores , e mais especificamente da álgebra computacional , que estabeleceu o problema de projetar algoritmos de eliminação que são suficientemente eficientes para sendo implementado. Os principais métodos para essa renovação da teoria da eliminação são as bases de Gröbner e a decomposição algébrica cilíndrica , introduzidas por volta de 1970.

Conexão com a lógica

Há também uma faceta lógica para a teoria da eliminação, como visto no problema de satisfatibilidade booleana . No pior caso, é presumivelmente difícil eliminar variáveis ​​computacionalmente. Eliminação de quantificador é um termo usado em lógica matemática para explicar que, em algumas teorias, toda fórmula é equivalente a uma fórmula sem quantificador. Este é o caso da teoria dos polinômios sobre um campo algebraicamente fechado , onde a teoria da eliminação pode ser vista como a teoria dos métodos para tornar a eliminação do quantificador algoritmicamente eficaz. A eliminação do quantificador sobre os reais é outro exemplo, fundamental na geometria algébrica computacional .

Veja também

Referências

  • Israel Gelfand , Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky , Discriminantes, resultantes e determinantes multidimensionais . Matemática: Teoria e Aplicações. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x + 523 pp. ISBN  0-8176-3660-9
  • Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
  • David Cox, John Little, Donal O'Shea, Using Algebraic Geometry . Segunda edição revisada. Textos de Pós-Graduação em Matemática , vol. 185. Springer-Verlag , 2005, xii + 558 pp., ISBN  978-0-387-20733-9