Autofunção - Eigenfunction

Esta solução do problema do tambor vibratório é, em qualquer momento, uma autofunção do operador Laplace em um disco.

Em matemática , uma autofunção de um operador linear D definida em algum espaço de função é qualquer função diferente de zero f naquele espaço que, quando acionada por D , é apenas multiplicada por algum fator de escala denominado autovalor . Como uma equação, esta condição pode ser escrita como

{\ displaystyle Df = \ lambda f}

para algum autovalor escalar λ. As soluções para esta equação também podem estar sujeitas a condições de contorno que limitam os autovalores e autofunções permitidos.

Uma autofunção é um tipo de autovetor .

Autofunções

Em geral, um autovetor de um operador linear D definido em algum espaço vetorial é um vetor diferente de zero no domínio de D que, quando D age sobre ele, é simplesmente escalado por algum valor escalar denominado autovalor. No caso especial em que D é definido em um espaço de função, os autovetores são referidos como autofunções . Ou seja, uma função f é uma autofunção de D se ela satisfizer a equação

{\ displaystyle Df = \ lambda f,}

( 1 )

onde λ é um escalar. As soluções da Equação ( 1 ) também podem estar sujeitas a condições de contorno. Por causa das condições de contorno, os valores possíveis de λ são geralmente limitados, por exemplo, a um conjunto discreto λ ₁ , λ ₂ , ... ou a um conjunto contínuo ao longo de algum intervalo. O conjunto de todos os autovalores possíveis de D é às vezes chamado de espectro , que pode ser discreto, contínuo ou uma combinação de ambos.

Cada valor de λ corresponde a uma ou mais autofunções. Se várias autofunções linearmente independentes têm o mesmo autovalor, o autovalor é dito degenerado e o número máximo de autofunções linearmente independentes associadas ao mesmo autovalor é o grau de degeneração ou multiplicidade geométrica do autovalor .

Exemplo derivado

Uma classe amplamente usada de operadores lineares que atuam em espaços dimensionais infinitos são os operadores diferenciais no espaço C ^∞ de funções reais ou complexas infinitamente diferenciáveis de um argumento real ou complexo t . Por exemplo, considere o operador derivado com equação de autovalor ${\ textstyle {\ frac {d} {dt}}}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} f (t) = \ lambda f (t).}

Esta equação diferencial pode ser resolvida multiplicando ambos os lados por e integrando. Sua solução, a função exponencial ${\ textstyle {\ frac {dt} {f (t)}}}$

{\ displaystyle f (t) = f_ {0} e ^ {\ lambda t},}

é a autofunção do operador derivativo, onde f ₀ é um parâmetro que depende das condições de contorno. Observe que, neste caso, a autofunção é ela própria uma função de seu autovalor associado λ, que pode assumir qualquer valor real ou complexo. Em particular, observe que para λ = 0 a autofunção f ( t ) é uma constante.

Suponha no exemplo que f ( t ) está sujeito às condições de contorno f (0) = 1 e . Então, descobrimos que ${\ textstyle \ left. {\ frac {df} {dt}} \ right | _ {t = 0} = 2}$

{\ displaystyle f (t) = e ^ {2t},}

onde λ = 2 é o único autovalor da equação diferencial que também satisfaz a condição de contorno.

Link para autovalores e autovetores de matrizes

As autofunções podem ser expressas como vetores de coluna e os operadores lineares podem ser expressos como matrizes, embora possam ter dimensões infinitas. Como resultado, muitos dos conceitos relacionados a autovetores de matrizes são transportados para o estudo de autofunções.

Defina o produto interno no espaço funcional em que D é definido como

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ f ^ {*} (t) g (t) dt,}

integrado sobre algum intervalo de interesse para t chamado Ω. O * denota o conjugado complexo .

Suponha que o espaço de funções tenha uma base ortonormal dada pelo conjunto de funções { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ),…, u _n ( t )}, onde n pode ser infinito. Para a base ortonormal,

{\ displaystyle \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t) dt = \ delta _ {ij } = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ neq j \ end {cases}},}

onde δ _ij é o delta de Kronecker e pode ser considerado como os elementos da matriz de identidade .

As funções podem ser escritas como uma combinação linear das funções básicas,

{\ displaystyle f (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} u_ {j} (t),}

por exemplo, por meio de uma expansão de Fourier de f ( t ). Os coeficientes b _j podem ser empilhados em um n por uma coluna vector b = [ b ₁ b ₂ ... b _n ] ^T . Em alguns casos especiais, como os coeficientes da série de Fourier de uma função senoidal, esse vetor coluna tem dimensão finita.

Além disso, defina uma representação de matriz do operador linear D com elementos

{\ displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt. }

Podemos escrever a função Df ( t ) como uma combinação linear das funções de base ou como D agindo sobre a expansão de f ( t ),

{\ displaystyle Df (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} u_ {j} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} Du_ { j} (t).}

Tomando o produto interno de cada lado desta equação com uma função de base arbitrária u _i ( t ),

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t ) dt & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt, \\ c_ {i} & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} A_ {ij}. \ end {alinhado}}}

Esta é a multiplicação da matriz Ab = c escrita em notação de soma e é uma matriz equivalente do operador D agindo sobre a função f ( t ) expressa na base ortonormal. Se f ( t ) é uma autofunção de D com autovalor λ, então Ab = λb .

Valores próprios e funções próprias de operadores Hermitianos

Muitos dos operadores encontrados na física são hermitianos . Suponha que o operador linear D atue em um espaço de função que é um espaço de Hilbert com uma base ortonormal dada pelo conjunto de funções { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), ..., u _n ( t )}, onde n pode seja infinito. Nesta base, o operador D tem uma representação matricial A com elementos

{\ displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} dt \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t). }

integrado sobre algum intervalo de interesse para t denotado Ω.

Por analogia com as matrizes Hermitianas , D é um operador Hermitiano se A _ij = A _ji *, ou:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle & = \ langle Du_ {i}, u_ {j} \ rangle, \\ [- 1pt] \ int _ {\ Omega } dt \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) & = \ int _ {\ Omega} dt \ u_ {j} (t) [Du_ {i} (t)] ^ { *}. \ end {alinhado}}}

Considere o operador Hermitiano D com autovalores λ ₁ , λ ₂ ,… e autofunções correspondentes f ₁ ( t ), f ₂ ( t ),…. Este operador hermitiano tem as seguintes propriedades:

Seus autovalores são reais, λ _i = λ _i *
Suas autofunções obedecem a uma condição de ortogonalidade, se

i ≠ j

{\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle = 0}

A segunda condição sempre é válida para λ _i ≠ λ _j . Para autofunções degeneradas com o mesmo autovalor λ _i , autofunções ortogonais podem sempre ser escolhidas que abrangem o autespaço associado com λ _i , por exemplo, usando o processo de Gram-Schmidt . Dependendo se o espectro é discreto ou contínuo, as autofunções podem ser normalizadas configurando o produto interno das autofunções igual a uma função delta de Kronecker ou delta de Dirac , respectivamente.

Para muitos operadores de Hermit, notadamente os operadores de Sturm-Liouville , uma terceira propriedade é

Suas autofunções formam uma base do espaço de função no qual o operador é definido

Como consequência, em muitos casos importantes, as autofunções do operador Hermitiano formam uma base ortonormal. Nestes casos, uma função arbitrária pode ser expressa como uma combinação linear das autofunções do operador Hermitiano.

Formulários

Cordas vibratórias

A forma de uma onda estacionária em uma corda fixada em seus limites é um exemplo de uma autofunção de um operador diferencial. Os autovalores admissíveis são governados pelo comprimento da corda e determinam a frequência de oscilação.

Seja $h (x, t)$ o deslocamento transversal de um acorde elástico acentuado, como as cordas vibrantes de um instrumento de cordas , em função da posição $x$ ao longo da corda e do tempo $t$ . Aplicando as leis da mecânica a porções infinitesimais da corda, a função $h$ satisfaz a equação diferencial parcial

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {2 }}},}

que é chamada de equação de onda (unidimensional) . Aqui,

c

é uma velocidade constante que depende da tensão e da massa da corda.

Este problema é suscetível ao método de separação de variáveis . Se assumirmos que $h (x, t)$ pode ser escrito como o produto da forma $X (x) T (t)$ , podemos formar um par de equações diferenciais ordinárias:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} X = - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} X, \ qquad {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} T = - \ omega ^ {2} T.}

Cada uma delas é uma equação de autovalores com autovalores e $-$ $ω$ $2$ , respectivamente. Para quaisquer valores de $ω$ e $c$ , as equações são satisfeitas pelas funções ${\ textstyle - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}}}$

{\ displaystyle X (x) = \ sin \ left ({\ frac {\ omega x} {c}} + \ varphi \ right), \ qquad T (t) = \ sin (\ omega t + \ psi),}

onde os ângulos de fase

φ

e

ψ

são constantes reais arbitrárias.

Se impormos condições de contorno, por exemplo, que as extremidades da corda são fixadas em $x = 0$ e $x = L$ , ou seja, $X (0) = X (L) = 0$ , e que $T (0) = 0$ , restringimos o autovalores. Para essas condições de contorno, $sin (φ) = 0$ e $sin (ψ) = 0$ , então os ângulos de fase $φ = ψ = 0$ , e

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ omega L} {c}} \ right) = 0.}

Esta última condição de contorno restringe $ω$ para assumir um valor $ω n =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ncπ/eu$ , onde $n$ é qualquer número inteiro. Assim, a corda presa suporta uma família de ondas estacionárias da forma

{\ displaystyle h (x, t) = \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) \ sin (\ omega _ {n} t).}

No exemplo de um instrumento de cordas, a frequência $ω n$ é a frequência do $n$ -ésimo harmônico , que é chamado de $(n - 1)$ -ésimo harmônico .

Equação de Schrödinger

Na mecânica quântica , a equação de Schrödinger

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = H \ Psi (\ mathbf {r}, t)}

com o operador hamiltoniano

{\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t)}

pode ser resolvido pela separação de variáveis se o hamiltoniano não depender explicitamente do tempo. Nesse caso, a função de onda

Ψ (r, t) = φ (r) T (t)

leva às duas equações diferenciais,

{\ displaystyle H \ varphi (\ mathbf {r}) = E \ varphi (\ mathbf {r}),}

( 2 )

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial T (t)} {\ partial t}} = ET (t).}

( 3 )

Ambas estas equações diferenciais são equações de valores próprios com valores próprios $E$ . Conforme mostrado em um exemplo anterior, a solução da Equação ( 3 ) é o exponencial

{\ displaystyle T (t) = e ^ {{- iEt} / {\ hbar}}.}

A equação ( 2 ) é a equação de Schrödinger independente do tempo. As autofunções $φ k$ do operador hamiltoniano são estados estacionários do sistema mecânico quântico, cada um com uma energia correspondente $E k$ . Eles representam os estados de energia permitidos do sistema e podem ser restringidos por condições de contorno.

O operador hamiltoniano $H$ é um exemplo de operador hermitiano cujas autofunções formam uma base ortonormal. Quando o hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, as soluções gerais da equação de Schrödinger são combinações lineares dos estados estacionários multiplicados pelo $T$ oscilatório $($ $t$ $)$ , ou, para um sistema com espectro contínuo, ${\ textstyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {k} c_ {k} \ varphi _ {k} (\ mathbf {r}) e ^ {{- iE_ {k} t} / {\ hbar}}}$

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ int dE \, c_ {E} \ varphi _ {E} (\ mathbf {r}) e ^ {{- iEt} / {\ hbar}} .}

O sucesso da equação de Schrödinger em explicar as características espectrais do hidrogênio é considerado um dos maiores triunfos da física do século XX.

Sinais e sistemas

No estudo de sinais e sistemas , uma autofunção de um sistema é um sinal $f (t)$ que, quando inserido no sistema, produz uma resposta $y (t) = λf (t)$ , onde $λ$ é um autovalor escalar complexo.

Veja também

Notas

Citações

Trabalhos citados

Courant, Richard; Hilbert, David. Métodos de Física Matemática . Volume 1. Wiley. ISBN 047150447-5. |volume=tem texto extra ( ajuda )(Volume 2: ISBN 047150439-4 )
Davydov, AS (1976). Mecânica Quântica . Traduzido, editado e com acréscimos por D. ter Haar (2ª ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
Girod, Bernd ; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Sinais e sistemas (2ª ed.). Wiley. ISBN 047198800-6.
Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Física Matemática . Nova York: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Wasserman, Eric W. (2016). "Autofunção" . MathWorld . Wolfram Research . Recuperado em 12 de abril de 2016 .

links externos

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