Número Cullen - Cullen number

Em matemática , um número de Cullen é um membro da sequência inteira (onde é um número natural ). Os números de Cullen foram estudados pela primeira vez por James Cullen em 1905. Os números são casos especiais de números de Proth .

Propriedades

Em 1976, Christopher Hooley mostrou que a densidade natural de inteiros positivos para os quais C n é primo é da ordem o ( x ) para . Nesse sentido, quase todos os números Cullen são compostos . A prova de hooley foi retrabalhado por Hiromi Suyama para mostrar que ele funciona para qualquer sequência de números n  · 2 n  +  um + b , onde um e b são números inteiros, e em particular também para números Woodall . Os únicos primos Cullen conhecidos são aqueles para n igual a:

141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (sequência A005849 no OEIS ).

Ainda assim, conjectura-se que existam infinitos primos Cullen.

Um número de Cullen C n é divisível por p  = 2 n  - 1 se p é um número primo da forma 8 k  - 3; além disso, segue do pequeno teorema de Fermat que se p é um primo ímpar , então p divide C m ( k ) para cada m ( k ) = (2 k  -  k ) ( p  - 1) -  k (para k  > 0) . Também foi mostrado que o número primo p divide C ( p  + 1) / 2 quando o símbolo de Jacobi (2 |  p ) é −1, e que p divide C (3 p  - 1) / 2 quando o símbolo de Jacobi ( 2 |  p ) é +1.

Não se sabe se existe um número primo p tal que C p também seja primo.

Generalizações

Às vezes, um número Cullen generalizado de base b é definido como um número da forma n  ·  b n + 1, onde n  + 2>  b ; se um número primo pode ser escrito dessa forma, ele é então chamado de número primo generalizado de Cullen . Os números de Woodall às vezes são chamados de números de Cullen de segundo tipo .

Em março de 2020, o maior Cullen prime generalizado conhecido é 2805222 · 25 2805222  + 1. Ele tem 3.921.539 dígitos e foi descoberto por Tom Greer, um participante do PrimeGrid .

De acordo com o pequeno teorema de Fermat , se houver um primo p tal que n é divisível por p - 1 e n + 1 é divisível por p (especialmente, quando n = p - 1) e p não divide b , então b n deve ser congruente a 1 mod p (uma vez que b n é uma potência de b p - 1 e b p - 1 é congruente a 1 mod p ). Assim, n  ·  b n + 1 é divisível por p , portanto não é primo. Por exemplo, se algum n congruente com 2 mod 6 (ie 2, 8, 14, 20, 26, 32, ...), n  ·  b n + 1 é primo, então b deve ser divisível por 3 (exceto b = 1).   

O mínimo n tal que n  ·  b n + 1 é primo (com pontos de interrogação se este termo for atualmente desconhecido) são

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1,?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1,?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1,?, 3,?, 9665, 62, 1, 1341174, 3,?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897,?, 1, 13948, 1,?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1, ... (sequência A240234 no OEIS )
b números n tais que n × b n + 1 é primo (esses n são verificados até 101757) Sequência OEIS
1 1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, ... (todos os primos menos 1) A006093
2 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881, ... A005849
3 2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590, 1183414, ... A006552
4 1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375, ... A007646
5 1242, 18390, ...
6 1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496, ... A242176
7 34, 1980, 9898, ... A242177
8 5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816, ..., 749130, ... A242178
9 2, 12382, 27608, 31330, 117852, ... A265013
10 1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777, ... A007647
11 10, ...
12 1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895, ... A242196
13 ...
14 3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545, ... A242197
15 8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430, ... A242198
16 1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301, ... A242199
17 19650, 236418, ...
18 1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928, ... A007648
19 6460, ...
20 3, 6207, 8076, 22356, 151456, ...
21 2, 8, 26, 67100, ...
22 1, 15, 189, 814, 19909, 72207, ...
23 4330, 89350, ...
24 2, 8, 368, ...
25 2805222, ...
26 117, 3143, 3886, 7763, 64020, 88900, ...
27 2, 56, 23454, ..., 259738, ...
28 1, 48, 468, 2655, 3741, 49930, ...
29 ...
30 1, 2, 3, 7, 14, 17, 39, 79, 87, 99, 128, 169, 221, 252, 307, 3646, 6115, 19617, 49718, ...


Referências

Leitura adicional

links externos