Contraste (estatísticas) - Contrast (statistics)

Em estatística , particularmente em análise de variância e regressão linear , um contraste é uma combinação linear de variáveis ( parâmetros ou estatísticas ) cujos coeficientes somam zero, permitindo a comparação de diferentes tratamentos.

Definições

Let Ser um conjunto de variáveis, sejam parâmetros ou estatísticas , e ser constantes conhecidas. A quantidade é uma combinação linear. É chamado de contraste se . Além disso, dois contrastes, e , são ortogonais se . ${\ displaystyle \ theta _ {1}, \ ldots, \ theta _ {t}}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {t}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {t} a_ {i} \ theta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {t} a_ {i} = 0}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {t} a_ {i} \ theta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {t} b_ {i} \ theta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {t} a_ {i} b_ {i} = 0}$

Exemplos

Vamos imaginar que estamos comparando quatro meios ,. A tabela a seguir descreve três contrastes possíveis: ${\ displaystyle \ mu _ {1}, \ mu _ {2}, \ mu _ {3}, \ mu _ {4}}$

${\ displaystyle \ mu _ {1}}$	${\ displaystyle \ mu _ {2}}$	${\ displaystyle \ mu _ {3}}$	${\ displaystyle \ mu _ {4}}$
1	-1	0	0
0	0	1	-1
1	1	-1	-1

O primeiro contraste permite a comparação da primeira média com a segunda, o segundo contraste permite a comparação da terceira média com a quarta e o terceiro contraste permite a comparação da média das duas primeiras com a média das duas últimas.

Em uma análise de variância unilateral balanceada , o uso de contrastes ortogonais tem a vantagem de particionar completamente a soma dos quadrados do tratamento em componentes aditivos não sobrepostos que representam a variação devido a cada contraste. Considere os números acima: cada uma das linhas soma zero (portanto, eles são contrastes). Se multiplicarmos cada elemento da primeira e segunda linha e somarmos, isso novamente resultará em zero, portanto, o primeiro e o segundo contraste são ortogonais e assim por diante.

Conjuntos de contraste

Contrastes ortogonais são um conjunto de contrastes em que, para qualquer par distinto, a soma dos produtos cruzados dos coeficientes é zero (suponha que os tamanhos das amostras sejam iguais). Embora existam conjuntos potencialmente infinitos de contrastes ortogonais, dentro de qualquer conjunto sempre haverá um máximo de exatamente k - 1 contrastes ortogonais possíveis (onde k é o número de médias de grupo disponíveis).
Contrastes polinomiais são um conjunto especial de contrastes ortogonais que testam padrões polinomiais em dados com mais de duas médias (por exemplo, linear, quadrático, cúbico, quártico, etc.).
Contrastes ortonormais são contrastes ortogonais que satisfazem a condição adicional de que, para cada contraste, a soma dos quadrados dos coeficientes é um.

Fundo

Um contraste é definido como a soma da média de cada grupo multiplicada por um coeficiente para cada grupo (ou seja, um número com sinal, c _j ). Na forma de equação , onde L é a soma ponderada das médias do grupo, os coeficientes c _j representam os pesos atribuídos das médias (estes devem somar 0 para contrastes ortogonais) e _j representa as médias do grupo. Os coeficientes podem ser positivos ou negativos e frações ou números inteiros, dependendo da comparação de interesse. Contrastes lineares são muito úteis e podem ser usados para testar hipóteses complexas quando usados em conjunto com ANOVA ou regressão múltipla. Em essência, cada contraste define e testa um padrão particular de diferenças entre os meios. ${\ displaystyle L = c_ {1} {\ bar {X}} _ {1} + c_ {2} {\ bar {X}} _ {2} + \ cdots + c_ {k} {\ bar {X} } _ {k} \ equiv \ sum _ {j} c_ {j} {\ bar {X}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$

Os contrastes devem ser construídos "para responder a questões específicas de pesquisa" e não precisam ser necessariamente ortogonais.

Um contraste simples (não necessariamente ortogonal) é a diferença entre dois meios. Um contraste mais complexo pode testar diferenças entre várias médias (por exemplo, com quatro médias, atribuindo coeficientes de –3, –1, +1 e +3) ou testar a diferença entre uma única média e a média combinada de vários grupos ( por exemplo, se você tiver quatro médias, atribua coeficientes de –3, +1, +1 e +1) ou teste a diferença entre a média combinada de vários grupos e a média combinada de vários outros grupos (ou seja, com quatro médias, atribua coeficientes de -1, -1, +1 e +1). Os coeficientes para as médias a serem combinadas (ou médias) devem ser os mesmos em magnitude e direção, ou seja, igualmente ponderados. Quando as médias são atribuídas a coeficientes diferentes (em magnitude ou direção, ou ambos), o contraste está testando a diferença entre essas médias. Um contraste pode ser qualquer um dos seguintes: o conjunto de coeficientes usados para especificar uma comparação; o valor específico da combinação linear obtida para um determinado estudo ou experimento; a quantidade aleatória definida pela aplicação da combinação linear aos efeitos do tratamento quando estes são considerados como variáveis aleatórias. No último contexto, o termo variável de contraste é algumas vezes usado.

Os contrastes às vezes são usados para comparar efeitos mistos . Um exemplo comum é a diferença entre duas pontuações em testes - uma no início do semestre e outra no final. Observe que não estamos interessados em uma dessas pontuações por si só, mas apenas no contraste (neste caso - a diferença). Como esta é uma combinação linear de variáveis independentes, sua variância é igual à soma ponderada das variâncias da soma; neste caso, os dois pesos são um. Essa "combinação" de duas variáveis em uma pode ser útil em muitos casos, como ANOVA , regressão ou mesmo como estatística descritiva por si só.

Um exemplo de contraste complexo seria comparar 5 tratamentos padrão a um novo tratamento, portanto, dar a cada tratamento antigo uma média de peso de 1/5, e o novo sexto tratamento significa um peso de -1 (usando a equação acima). Se esta nova combinação linear tiver uma média zero, isso significará que não há evidências de que os tratamentos antigos sejam diferentes do novo tratamento em média. Se a soma da nova combinação linear for positiva, há alguma evidência (a força da evidência é frequentemente associada ao valor p calculado nessa combinação linear) de que a média combinada dos 5 tratamentos padrão é maior do que o novo tratamento mau. Conclusões análogas são obtidas quando a combinação linear é negativa. No entanto, a soma da combinação linear não é um teste de significância, consulte a significância do teste (abaixo) para saber como determinar se o contraste calculado a partir da amostra é significativo.

Os resultados usuais para combinações lineares de variáveis aleatórias independentes significam que a variância de um contraste é igual à soma ponderada das variâncias. Se dois contrastes forem ortogonais , as estimativas criadas usando esses contrastes não serão correlacionadas . Se contrastes ortogonais estiverem disponíveis, é possível resumir os resultados de uma análise estatística na forma de uma tabela de análise de variância simples, de forma que contenha os resultados de diferentes estatísticas de teste relacionadas a contrastes diferentes, cada um dos quais é estatisticamente independente. Os contrastes lineares podem ser facilmente convertidos em somas de quadrados . _Contraste SS = , com 1 grau de liberdade , onde n representa o número de observações por grupo. Se os contrastes forem ortogonais, a soma dos _contrastes SS = _tratamento SS . Testar a significância de um contraste requer o cálculo do _contraste SS . ${\ displaystyle {\ tfrac {n (\ sum c_ {j} {\ bar {X}} _ {j}) ^ {2}} {\ sum c_ {j} ^ {2}}}}$

Significância do teste

O _contraste SS também é um quadrado médio porque todos os contrastes têm 1 grau de liberdade. A divisão por produz uma estatística F com um e graus de liberdade, a significância estatística do _contrasteF pode ser determinada comparando a estatística F obtida com um valor crítico de F com os mesmos graus de liberdade. ${\ displaystyle MS_ {contraste}}$ ${\ displaystyle MS_ {erro}}$ ${\ displaystyle df_ {error}}$