Teorema do júri de Condorcet - Condorcet's jury theorem

O teorema do júri de Condorcet é um teorema da ciência política sobre a probabilidade relativa de um determinado grupo de indivíduos chegar a uma decisão correta. O teorema foi expresso pela primeira vez pelo Marquês de Condorcet em seu trabalho de 1785, Ensaio sobre a aplicação da análise à probabilidade das decisões da maioria .

Os pressupostos do teorema são que um grupo deseja chegar a uma decisão por maioria de votos . Um dos dois resultados da votação está correto , e cada eleitor tem uma probabilidade p independente de votar na decisão correta. O teorema pergunta quantos eleitores devemos incluir no grupo. O resultado depende se p é maior ou menor que 1/2:

  • Se p for maior que 1/2 (cada eleitor tem mais probabilidade de votar corretamente), então adicionar mais eleitores aumenta a probabilidade de que a decisão da maioria seja correta. No limite, a probabilidade de a maioria votar corretamente se aproxima de 1 à medida que o número de eleitores aumenta.
  • Por outro lado, se p for menor que 1/2 (cada eleitor tem mais probabilidade de votar incorretamente), então adicionar mais eleitores piora as coisas: o júri ideal consiste em um único eleitor.

Desde Condorcet, muitos outros pesquisadores provaram vários outros teoremas do júri , relaxando algumas ou todas as suposições de Condorcet.

Provas

Prova 1: Calculando a probabilidade de que dois eleitores adicionais alterem o resultado

Para evitar a necessidade de uma regra de desempate, presumimos que n é ímpar. Essencialmente, o mesmo argumento funciona para n mesmo se os empates forem desfeitos por cara ou coroa.

Agora, suponha que comecemos com n eleitores e que m desses eleitores votem corretamente.

Considere o que acontece quando somamos mais dois eleitores (para manter o número total ímpar). A votação da maioria muda em apenas dois casos:

  • m era um voto muito pequeno para obter a maioria dos n votos, mas os dois novos eleitores votaram corretamente.
  • m foi apenas igual à maioria dos n votos, mas os dois novos eleitores votaram incorretamente.

No resto do tempo, ou os novos votos são cancelados, apenas aumentam a lacuna ou não fazem diferença suficiente. Portanto, só nos importamos com o que acontece quando um único voto (entre os primeiros n ) separa uma maioria correta de uma incorreta.

Restringindo a nossa atenção para este caso, podemos imaginar que o primeiro n -1 votos anulam e que o voto decisivo é lançado pelo n eleitor -ésimo. Nesse caso, a probabilidade de obter a maioria correta é apenas p . Agora, suponha que enviemos os dois eleitores extras. A probabilidade de que mudem uma maioria incorreta para uma maioria correta é (1- p ) p 2 , enquanto a probabilidade de que mudem uma maioria correta para uma maioria incorreta é p (1- p ) (1- p ). A primeira dessas probabilidades é maior que a segunda se e somente se p > 1/2, provando o teorema.

Prova 2: Calculando a probabilidade de que a decisão seja correta

Essa prova é direta; apenas resume as probabilidades das maiorias. Cada termo da soma multiplica o número de combinações de uma maioria pela probabilidade dessa maioria. Cada maioria é contada usando uma combinação , n itens tomados k de cada vez, onde n é o tamanho do júri ek é o tamanho da maioria. As probabilidades variam de 0 (= o voto está sempre errado) a 1 (= sempre certo). Cada pessoa decide de forma independente, então as probabilidades de suas decisões se multiplicam. A probabilidade de cada decisão correta é p . A probabilidade de uma decisão incorreta, q , é o oposto de p , ou seja, 1 - p . A notação de potência, ou seja, é uma abreviatura para x multiplicações de p .

As precisões do comitê ou do júri podem ser facilmente estimadas usando essa abordagem em planilhas ou programas de computador.

Como exemplo, tomemos o caso mais simples de n = 3, p = 0,8. Precisamos mostrar que 3 pessoas têm mais de 0,8 chance de estarem certas. De fato:

0,8 × 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,8 + 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,896.

Assintóticos

A probabilidade de uma decisão majoritária correta P ( n ,  p ), quando a probabilidade individual p está perto de 1/2, cresce linearmente em termos de p - 1/2. Para n eleitores, cada um com probabilidade p de decidir corretamente e para n ímpar (onde não há empate possível):

Onde

e a aproximação assintótica em termos de n é muito precisa. A expansão é apenas em potências e ímpares . Em termos simples, isso significa que quando a decisão é difícil ( p próximo de 1/2), o ganho por ter n eleitores cresce proporcionalmente a .

O teorema em outras disciplinas

O teorema do júri de Condorcet foi usado recentemente para conceituar a integração da pontuação quando vários leitores médicos (radiologistas, endoscopistas, etc.) avaliam de forma independente as imagens quanto à atividade da doença. Essa tarefa surge na leitura central realizada durante os ensaios clínicos e tem semelhanças com a votação. De acordo com os autores, a aplicação do teorema pode traduzir pontuações individuais do leitor em uma pontuação final de uma forma que seja matematicamente correta (evitando a média de dados ordinais), matematicamente tratável para análise posterior e de uma maneira que seja consistente com a tarefa de pontuação em questão (com base em decisões sobre a presença ou ausência de recursos, uma tarefa de classificação subjetiva)

O teorema do júri de Condorcet também é usado no aprendizado de conjuntos no campo do aprendizado de máquina . Um método de ensemble combina as previsões de muitos classificadores individuais por votação majoritária. Supondo que cada um dos classificadores individuais preveja com um pouco mais de 50% de precisão e suas predições sejam independentes, então o conjunto de suas predições será muito maior do que suas pontuações preditivas individuais.

Leitura adicional

Notas