Grupo cohomotopia - Cohomotopy group

Em matemática , particularmente na topologia algébrica , os conjuntos de cohomotopia são functores contravariantes particulares da categoria de espaços topológicos pontiagudos e mapas contínuos que preservam o ponto base para a categoria de conjuntos e funções . Eles são duais para os grupos de homotopia , mas menos estudados.

Visão geral

O p- ésimo conjunto de cohomotopia de um espaço topológico pontudo X é definido por

{\ displaystyle \ pi ^ {p} (X) = [X, S ^ {p}]}

o conjunto de pontas de homotopia classes de mapeamentos contínuos a partir da p - esfera . Para p = 1, este conjunto tem uma estrutura de grupo abeliana e, desde que seja um complexo CW , é isomórfico ao primeiro grupo de cohomologia , uma vez que o círculo é um espaço do tipo Eilenberg – MacLane . Na verdade, é um teorema de Heinz Hopf que se é um complexo CW de dimensão no máximo p , então está em bijeção com o p -ésimo grupo de cohomologia . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S ^ {p}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ ${\ displaystyle K (\ mathbb {Z}, 1)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle [X, S ^ {p}]}$ ${\ displaystyle H ^ {p} (X)}$

O conjunto também possui uma estrutura de grupo natural se for uma suspensão , como uma esfera para . ${\ displaystyle [X, S ^ {p}]}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Sigma Y}$ ${\ displaystyle S ^ {q}}$ ${\ displaystyle q \ geq 1}$

Se X não for homotópico equivalente a um complexo CW, então pode não ser isomórfico a . Um contra-exemplo é dado pelo círculo de Varsóvia , cujo primeiro grupo de cohomologia desaparece, mas admite um mapa para o qual não é homotópico a um mapa constante. ${\ displaystyle H ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle [X, S ^ {1}]}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$

Propriedades

Alguns fatos básicos sobre conjuntos de cohomotopia, alguns mais óbvios do que outros:

${\ displaystyle \ pi ^ {p} (S ^ {q}) = \ pi _ {q} (S ^ {p})}$ para todos os p e q .
Para ou , o grupo é igual a . (Para provar esse resultado, Lev Pontryagin desenvolveu o conceito de cobordismo enquadrado .) ${\ displaystyle q = p + 1}$ ${\ displaystyle p + 2 \ geq 4}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {p} (S ^ {q})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$
Se tem para todo x , então , e a homotopia é suave se f e g forem. ${\ displaystyle f, g \ dois pontos X \ a S ^ {p}}$ ${\ displaystyle \ | f (x) -g (x) \ | <2}$ ${\ displaystyle [f] = [g]}$
Para uma variedade lisa compacta , é isomórfico ao conjunto de classes de homotopia de mapas suaves ; neste caso, todo mapa contínuo pode ser uniformemente aproximado por um mapa suave e quaisquer mapas homotópicos suaves serão suavemente homotópicos. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {p} (X)}$ ${\ displaystyle X \ a S ^ {p}}$
Se for um - múltiplo , então para . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {p} (X) = 0}$ ${\ displaystyle p> m}$
Se for uma - variedade com limite , o conjunto está canonicamente em bijeção com o conjunto de classes de cobordismo de codimensão - p subvariedades emolduradas do interior . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {p} (X, \ parcial X)}$ ${\ displaystyle X \ setminus \ partial X}$
O grupo de cohomotopia estável é o colimite ${\ displaystyle X}$