Condição Chapman-Jouguet - Chapman–Jouguet condition

A condição Chapman-Jouguet se mantém aproximadamente em ondas de detonação em explosivos altos . Ele afirma que a detonação se propaga a uma velocidade na qual os gases reagentes atingem a velocidade sônica (no quadro da onda de choque principal ) quando a reação cessa.

David Chapman e Émile Jouguet originalmente (c. 1900) estabeleceram a condição para uma detonação infinitesimalmente fina. Uma interpretação física da condição é geralmente baseada na modelagem posterior (c. 1943) por Yakov Borisovich Zel'dovich , John von Neumann e Werner Döring (o chamado modelo de detonação ZND ).

Em mais detalhes (no modelo ZND) no quadro do choque principal da onda de detonação, os gases entram em velocidade supersônica e são comprimidos através do choque a um fluxo subsônico de alta densidade. Essa mudança repentina na pressão inicia a liberação de energia química (ou às vezes, como nas explosões de vapor , física). A liberação de energia acelera novamente o fluxo de volta à velocidade local do som. Pode ser mostrado de forma bastante simples, a partir das equações de gás unidimensionais para fluxo constante, que a reação deve cessar no plano sônico ("CJ"), ou haveria gradientes de pressão descontinuamente grandes naquele ponto.

O plano sônico forma um chamado ponto de estrangulamento que permite ao choque de chumbo, e à zona de reação, viajar a uma velocidade constante, sem ser perturbado pela expansão dos gases na região de rarefação além do plano CJ.

Este modelo unidimensional simples é muito bem-sucedido em explicar detonações. No entanto, as observações da estrutura de detonações químicas reais mostram uma estrutura tridimensional complexa, com partes da onda viajando mais rápido do que a média e outras mais lentas. Na verdade, essas ondas são extintas à medida que sua estrutura é destruída. A teoria de detonação Wood-Kirkwood pode corrigir algumas dessas limitações.

Descrição matemática

A equação da linha de Rayleigh e a equação da curva de Hugoniot obtidas a partir das relações Rankine-Hugoniot para um gás ideal , com a suposição de calor específico constante e peso molecular constante, respectivamente, são

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {{\ tilde {p}} - 1} {{\ tilde {v}} - 1}} & = - \ mu \\ {\ tilde {p}} & = {\ frac {[2 \ alpha + (\ gamma +1) / (\ gamma -1)] - {\ tilde {v}}} {[(\ gamma +1) / (\ gamma -1)] { \ tilde {v}} - 1}}, \ end {alinhado}}}$

onde está a proporção de calor específico e ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}}, \ quad {\ tilde {v}} = {\ frac {\ rho _ {1}} { \ rho _ {2}}}, \ quad \ alpha = {\ frac {q \ rho _ {1}} {p_ {1}}}, \ quad \ mu = {\ frac {m ^ {2}} { p_ {1} \ rho _ {1}}}.}$

Aqui, o subscrito 1 e 2 identifica as propriedades do fluxo (pressão , densidade ) a montante e a jusante da onda e é o fluxo de massa constante e é o calor liberado na onda. As inclinações da linha de Rayleigh e da curva de Hugoniot são ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d {\ tilde {p}}} {d {\ tilde {v}}}} & = {\ frac {{\ tilde {p}} - 1} { {\ tilde {v}} - 1}}, \\ [3pt] {\ frac {d {\ tilde {p}}} {d {\ tilde {v}}}} & = - {\ frac {[( \ gamma +1) / (\ gamma -1)] {\ tilde {p}} + 1} {[(\ gamma +1) / (\ gamma -1)] {\ tilde {v}} - 1}} . \ end {alinhado}}}$ ⋅

No ponto Chapman-Jouguet, ambas as inclinações são iguais, levando a condição de que

${\ displaystyle {\ tilde {p}} = {\ frac {\ tilde {v}} {(\ gamma +1) {\ tilde {v}} - \ gamma}}.}$

Substituindo isso de volta na equação de Rayleigh, encontramos

${\ displaystyle \ mu = \ gamma {\ frac {\ tilde {p}} {\ tilde {v}}}.}$

Usando a definição de fluxo de massa , onde denota a velocidade do fluxo, encontramos ${\ displaystyle m \ equiv \ rho _ {1} u_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2}}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle M_ {2} = {\ frac {u_ {2}} {c_ {2}}} = 1}$

onde está o número de Mach e é a velocidade do som , ou seja, o fluxo a jusante é sônico em relação à onda de Chapman-Jouguet. Expressões explícitas para as variáveis ​​podem ser derivadas, ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {p}} _ {\ pm} & = 1+ \ alpha (\ gamma -1) \ left \ {1 \ pm \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right \}, \\ {\ tilde {v}} _ {\ pm} & = 1 + {\ frac {\ alpha \ left (\ gamma -1 \ right)} {\ gamma}} \ left \ {1 \ mp \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma } {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)}} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right \}, \\\ mu _ {\ pm} & = \ gamma + \ alpha (\ gamma ^ {2} -1) \ left \ {1 \ pm \ left [1 + {\ frac {2 \ gamma} {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ direita)}} \ direita] ^ {\ frac {1} {2}} \ direita \}. \ end {alinhado}}}$

O sinal superior aplica -se ao ponto Chapman-Jouguet superior ( detonação ) e o sinal inferior aplica -se ao ponto Chapman-Jouguet inferior ( deflagração ). Da mesma forma, o número Mach upstream pode ser encontrado em

${\ displaystyle M_ {1 \ pm} = \ left [1 + {\ frac {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)} {2 \ gamma}} \ right] ^ {\ frac { 1} {2}} \ pm \ left [{\ frac {\ alpha \ left (\ gamma ^ {2} -1 \ right)} {2 \ gamma}} \ right] ^ {\ frac {1} {2 }}}$

e a relação de temperatura pode ser encontrada na relação . ${\ displaystyle {\ tilde {T}} = T_ {2} / T_ {1}}$${\ displaystyle {\ tilde {T}} = {\ tilde {p}} {\ tilde {v}}}$

Referências

Leitura adicional

• Bowen, EJ (1958). "David Leonard Chapman 1869–1958" . Memórias biográficas de membros da Royal Society . 4 : 34–44. doi : 10.1098 / rsbm.1958.0004 .
• Jacques Charles Emile Jouguet (1871–1943) (em francês), annales.org
• Ginzburg, VL (1994). "Yakov Borissovich Zel'dovich. 8 de março de 1914 - 2 de dezembro de 1987" . Memórias biográficas de membros da Royal Society . 40 : 430–441. doi : 10.1098 / rsbm.1994.0049 .