Teoria de Burmester - Burmester's theory

A teoria de Burmester compreende técnicas geométricas para síntese de ligações . Foi introduzido no final do século 19 por Ludwig Burmester (1840–1927). Sua abordagem era calcular as restrições geométricas da ligação diretamente do movimento desejado pelo inventor para uma ligação flutuante. Deste ponto de vista, uma articulação de quatro barras é uma articulação flutuante que possui dois pontos restritos a dois círculos.

Burmester começou com um conjunto de locais, geralmente chamados de poses , para o link flutuante, que são vistos como instantâneos do movimento restrito desse link flutuante no dispositivo a ser projetado. O projeto de uma manivela para o link agora se torna encontrar um ponto no link flutuante móvel que, quando visto em cada uma dessas posições especificadas, tem uma trajetória que fica em um círculo. A dimensão da manivela é a distância do ponto no elo flutuante, denominado ponto circular, ao centro do círculo sobre o qual ele se desloca, denominado ponto central. Duas manivelas projetadas dessa forma formam a articulação de quatro barras desejada.

Esta formulação da síntese matemática de uma ligação de quatro barras e a solução das equações resultantes é conhecida como Teoria de Burmester. A abordagem foi generalizada para a síntese de mecanismos esféricos e espaciais.

Síntese de posição finita

Formulação geométrica

A teoria de Burmester busca pontos em um corpo em movimento que tenham trajetórias que se situam em um círculo chamado pontos circulares. O designer aproxima o movimento desejado com um número finito de posições de tarefa; e Burmester mostrou que existem pontos circulantes para até cinco posições de tarefa. Encontrar esses pontos circulares requer a resolução de cinco equações quadráticas em cinco incógnitas, o que ele fez usando técnicas de geometria descritiva. As construções gráficas de Burmester ainda aparecem nos livros de teoria das máquinas até hoje.

Duas posições: Como exemplo, considere uma tarefa definida por duas posições do link do acoplador, conforme mostrado na figura. Escolha dois pontos A e B no corpo, de forma que suas duas posições definam os segmentos A ¹ B ¹ e A ² B ² . É fácil ver que A é um ponto circular com um centro que está na bissetriz perpendicular do segmento A ¹ A ² . Da mesma forma, B é um ponto circular com um centro que é qualquer ponto na bissetriz perpendicular de B ¹ B ² . Uma articulação de quatro barras pode ser construída a partir de qualquer ponto nas duas bissetoras perpendiculares como os pivôs fixos e A e B como os pivôs móveis. O ponto P é claramente especial, pois é uma dobradiça que permite o movimento rotacional puro de A ¹ B ¹ a A ² B ² . É chamado de pólo de deslocamento relativo.

Três posições: Se o projetista especifica três posições de tarefa, os pontos A e B no corpo em movimento são pontos circulantes, cada um com um ponto central exclusivo. O ponto central de A é o centro do círculo que passa por A ¹ , A ² e A ³ nas três posições. Da mesma forma, o ponto central de B é o centro do círculo que passa por B ¹ , B ² e B ³ . Assim, para três posições de tarefa, uma ligação de quatro barras é obtida para cada par de pontos A e B escolhidos como pivôs móveis.

Quatro posições: A solução gráfica para o problema de síntese torna-se mais interessante no caso de quatro posições de tarefa, porque nem todo ponto do corpo é um ponto circular. Quatro posições de tarefa geram seis pólos de deslocamento relativo, e Burmester selecionou quatro para formar o quadrilátero do pólo oposto, que ele então usou para gerar graficamente a curva do ponto circular ( Kreispunktcurven ). Burmester também mostrou que a curva do ponto circular era uma curva cúbica circular no corpo em movimento.

Cinco posições: para atingir cinco posições de tarefa, Burmester cruza a curva de ponto circular gerada pelo quadrilátero do pólo oposto para um conjunto de quatro das cinco posições de tarefa, com a curva de ponto circular gerada pelo quadrilátero oposto para diferentes conjuntos de quatro posições . Cinco poses implicam dez pólos de deslocamento relativo, o que resulta em quatro quadriláteros de pólos opostos diferentes, cada um com sua própria curva de ponto circular. Burmester mostra que essas curvas se cruzam em até quatro pontos, chamados de pontos Burmester , cada um dos quais traça cinco pontos em um círculo em torno de um ponto central. Como dois pontos circulares definem uma articulação de quatro barras, esses quatro pontos podem produzir até seis articulações de quatro barras que orientam a conexão do acoplador através das cinco posições de tarefa especificadas.

Formulação algébrica

A abordagem de Burmester para a síntese de uma ligação de quatro barras pode ser formulada matematicamente pela introdução de transformações de coordenadas [ T _i ] = [ A _i ,  d _i ], i  = 1, ..., 5, onde [ A ] é um 2 × Matriz de rotação 2 ed é um vetor de translação 2 × 1, que define as posições da tarefa de um quadro móvel M especificado pelo projetista.

O objetivo do procedimento de síntese é calcular as coordenadas w  = ( w _x ,  w _y ) de um pivô móvel anexado ao quadro móvel M e as coordenadas de um pivô fixo G  = ( u ,  v ) no quadro fixo F que tem a propriedade de que w viaja em um círculo de raio R sobre G . A trajetória de w é definida pelas cinco posições de tarefa, de modo que

${\ displaystyle \ mathbf {W} ^ {i} = [T_ {i}] \ mathbf {w} = [A_ {i}] \ mathbf {w} + \ mathbf {d} _ {i}, \ quad i = 1, \ ldots, 5.}$

Assim, as coordenadas w e G devem satisfazer as cinco equações,

${\ displaystyle (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G}) \ cdot (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G}) = R ^ {2}, \ quad i = 1, \ ldots, 5.}$

Elimine o raio desconhecido R subtraindo a primeira equação do resto para obter as quatro equações quadráticas em quatro incógnitas,

${\ displaystyle (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G}) \ cdot (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G}) - (\ mathbf {W} ^ {1} - \ mathbf {G}) \ cdot (\ mathbf {W} ^ {1} - \ mathbf {G}) = 0, \ quad i = 2, \ ldots, 5.}$

Essas equações de síntese podem ser resolvidas numericamente para obter as coordenadas w  = ( w _x ,  w _y ) e G  = ( u ,  v ) que localizam os pivôs fixos e móveis de uma manivela que pode ser usada como parte de uma ligação de quatro barras . Burmester provou que existem no máximo quatro dessas manivelas, que podem ser combinadas para produzir no máximo seis articulações de quatro barras que orientam o acoplador através das cinco posições de tarefa especificadas.

É útil notar que as equações de síntese podem ser manipuladas na forma,

${\ displaystyle (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {W} ^ {1}) \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {W} ^ {i} + \ mathbf {W} ^ { 1}} {2}} - \ mathbf {G} \ right) = 0, \ quad i = 2, \ ldots, 5,}$

que é o equivalente algébrico da condição de que o pivô fixo G encontra-se nas bissetoras perpendiculares de cada um dos quatro segmentos W ⁱ  -  W ¹ , i  = 2, ..., 5.

Síntese entrada-saída

Uma das aplicações mais comuns de uma articulação de quatro barras aparece como uma haste que conecta duas alavancas , de modo que a rotação da primeira alavanca a rotação da segunda. As alavancas são articuladas a uma estrutura de aterramento e são chamadas de manivelas de entrada e saída , e a biela é chamada de elo do acoplador . A abordagem de Burmester para o projeto de uma articulação de quatro barras pode ser usada para localizar o acoplador de modo que cinco ângulos especificados da manivela de entrada resultem em cinco ângulos especificados da manivela de saída.

Sejam θ _i , i  = 1, ..., 5 as posições angulares da manivela de entrada e sejam ψ _i , i  = 1, ..., 5 os ângulos correspondentes da manivela de saída. Por conveniência, localize o pivô fixo da manivela de entrada na origem da estrutura fixa, O  = (0, 0), e deixe o pivô fixo da manivela de saída estar localizado em C  = ( c _x ,  c _y ), que é escolhido pelo designer. As incógnitas neste problema de síntese são as coordenadas g  = ( g _x ,  g _y ) da fixação do acoplador à manivela de entrada e as coordenadas w  = ( w _x ,  w _y ) da fixação à manivela de saída, medidas em seus respectivos quadros de referência.

Embora as coordenadas de w e g não sejam conhecidas, suas trajetórias no referencial fixo são dadas por,

${\ displaystyle \ mathbf {G} ^ {i} = [A (\ theta _ {i})] \ mathbf {g}, \ quad \ mathbf {W} ^ {i} = [A (\ psi _ {i })] \ mathbf {w} + \ mathbf {C}, \ quad i = 1, \ ldots, 5,}$

onde [A (•)] denota a rotação pelo ângulo dado.

As coordenadas de w e g devem satisfazer as cinco equações de restrição,

${\ displaystyle (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G} ^ {i}) \ cdot (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G} ^ {i}) = R ^ {2}, \ quad i = 1, \ ldots, 5.}$

Elimine o comprimento do acoplador desconhecido R subtraindo a primeira equação do resto para obter as quatro equações quadráticas em quatro incógnitas,

${\ displaystyle (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G} ^ {i}) \ cdot (\ mathbf {W} ^ {i} - \ mathbf {G} ^ {i}) - (\ mathbf {W} ^ {1} - \ mathbf {G} ^ {1}) \ cdot (\ mathbf {W} ^ {1} - \ mathbf {G} ^ {1}) = 0, \ quad i = 2 , \ ldots, 5.}$

Essas equações de síntese podem ser resolvidas numericamente para obter as coordenadas w  = ( w _x ,  w _y ) e g  = ( g _x ,  g _y ) que localizam o acoplador da ligação de quatro barras.

Esta formulação da síntese de entrada-saída de uma ligação de quatro barras é uma inversão da síntese de posição finita, onde o movimento da manivela de saída em relação à manivela de entrada é especificado pelo projetista. Deste ponto de vista, o elo de solo OC é uma manivela que satisfaz as posições finitas especificadas do movimento da manivela de saída em relação à manivela de entrada, e os resultados de Burmester mostram que sua existência garante a presença de pelo menos um elo do acoplador. Além disso, os resultados de Burmester mostram que pode haver até três desses links acopladores que fornecem a relação entrada-saída desejada.

Referências

Leitura adicional

• Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation , § 3.5 Burmester Points, página 58, Cambridge University Press ISBN  0-521-00264-8 .
• M. Ceccarelli e T. Koetsier, Burmester e Allievi: uma teoria e sua aplicação para o projeto de mecanismos no final do século 19 , ASME 2006

links externos

• RE Kaufman fornece links para vídeos de KINSYN, que é o software gráfico interativo original que implementa a síntese de quatro posições do Burmester.
• O software Lincages da Universidade de Minnesota implementa a síntese de quatro posições de Burmester.
• O software Synthetica 3.0 aplica a abordagem de Burmester à síntese de ligações espaciais.
• A síntese de ligação em Mechanicaldesign101.com fornece um bloco de notas Mathematica para a síntese de cinco posições da Burmester.