Funções Brillouin e Langevin - Brillouin and Langevin functions

As funções de Brillouin e Langevin são um par de funções especiais que aparecem ao estudar um material paramagnético idealizado em mecânica estatística .

Função Brillouin

A função Brillouin é uma função especial definida pela seguinte equação:

${\ displaystyle B_ {J} (x) = {\ frac {2J + 1} {2J}} \ coth \ left ({\ frac {2J + 1} {2J}} x \ right) - {\ frac {1 } {2J}} \ coth \ left ({\ frac {1} {2J}} x \ right)}$

A função é geralmente aplicada (veja abaixo) no contexto onde é uma variável real e é um inteiro positivo ou meio-inteiro. Nesse caso, a função varia de -1 a 1, aproximando-se de +1 as e -1 as .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle x \ to + \ infty}$${\ displaystyle x \ to - \ infty}$

A função é mais conhecida por surgir no cálculo da magnetização de um paramagneto ideal . Em particular, ele descreve a dependência da magnetização no campo magnético aplicado e o número quântico total do momento angular J dos momentos magnéticos microscópicos do material. A magnetização é dada por: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle M = Ng \ mu _ {\ rm {B}} JB_ {J} (x)}$

Onde

• ${\ displaystyle N}$ é o número de átomos por unidade de volume,
• ${\ displaystyle g}$ o fator g ,
• ${\ displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$ o magneto Bohr ,
• ${\ displaystyle x}$ é a razão da energia Zeeman do momento magnético no campo externo para a energia térmica : ${\ displaystyle k _ {\ rm {B}} T}$

${\ displaystyle x = J {\ frac {g \ mu _ {\ rm {B}} B} {k _ {\ rm {B}} T}}}$

• ${\ displaystyle k _ {\ rm {B}}}$ é a constante de Boltzmann e a temperatura. ${\ displaystyle T}$

Note-se que no sistema de SI de unidades dadas em Tesla representa o campo magnético , onde é o campo magnético auxiliar dada em A / m e é a permeabilidade do vácuo . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B = \ mu _ {0} H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mu _ {0}}$

Clique em "mostrar" para ver uma derivação desta lei:

Uma derivação desta lei que descreve a magnetização de um paramagneto ideal é a seguinte. Seja z a direção do campo magnético. A componente z do momento angular de cada momento magnético (também conhecido como número quântico azimutal ) pode assumir um dos 2J + 1 valores possíveis -J, -J + 1, ..., + J. Cada um deles tem uma energia diferente, devido ao campo externo B : A energia associada ao número quântico m é ${\ displaystyle E_ {m} = - mg \ mu _ {\ rm {B}} B = -k _ {\ rm {B}} Txm / J}$ (onde g é o fator g , μ B é o magneto de Bohr e x é conforme definido no texto acima). A probabilidade relativa de cada um deles é dada pelo fator de Boltzmann : ${\ displaystyle P (m) = e ^ {- E_ {m} / (k _ {\ rm {B}} T)} / Z = e ^ {xm / J} / Z}$ onde Z (a função de partição ) é uma constante de normalização tal que as probabilidades somam a unidade. Calculando Z , o resultado é: ${\ displaystyle P (m) = e ^ {xm / J} / \ left (\ sum _ {m '= - J} ^ {J} e ^ {xm' / J} \ right)}$ . Ao todo, o valor esperado do número quântico azimutal m é ${\ displaystyle \ langle m \ rangle = (- J) \ times P (-J) + \ cdots + J \ times P (J) = \ left (\ sum _ {m = -J} ^ {J} me ^ {xm / J} \ right) / \ left (\ sum _ {m = -J} ^ {J} e ^ {xm / J} \ right)}$ . O denominador é uma série geométrica e o numerador é um tipo de série aritmético-geométrica , de modo que as séries podem ser somadas explicitamente. Depois de alguma álgebra, o resultado acaba sendo ${\ displaystyle \ langle m \ rangle = JB_ {J} (x)}$ Com N momentos magnéticos por unidade de volume, a densidade de magnetização é ${\ displaystyle M = Ng \ mu _ {\ rm {B}} \ langle m \ rangle = NgJ \ mu _ {\ rm {B}} B_ {J} (x)}$ .

Takacs propôs a seguinte aproximação para o inverso da função de Brillouin:

${\ displaystyle B_ {J} (x) ^ {- 1} = {\ frac {axJ ^ {2}} {1-bx ^ {2}}}}$

onde as constantes e são definidas para ser ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle a = {\ frac {0,5 (1 + 2J) (1-0,055)} {(J-0,27) 2J}} + {\ frac {0,1} {J ^ {2}}}}$

${\ displaystyle b = 0,8}$

Função Langevin

Função Langevin (linha azul), em comparação com (linha magenta). ${\ displaystyle \ tanh (x / 3)}$

No limite clássico, os momentos podem ser alinhados continuamente no campo e podem assumir todos os valores ( ). A função Brillouin é então simplificada na função Langevin , em homenagem a Paul Langevin : ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J \ to \ infty}$

${\ displaystyle L (x) = \ coth (x) - {\ frac {1} {x}}}$

Para pequenos valores de x , a função Langevin pode ser aproximada por um truncamento de sua série de Taylor :

${\ displaystyle L (x) = {\ tfrac {1} {3}} x - {\ tfrac {1} {45}} x ^ {3} + {\ tfrac {2} {945}} x ^ {5 } - {\ tfrac {1} {4725}} x ^ {7} + \ pontos}$

Uma aproximação alternativa e melhor comportada pode ser derivada da expansão de fração contínua de Lambert de tanh ( x ) :

${\ displaystyle L (x) = {\ frac {x} {3 + {\ tfrac {x ^ {2}} {5 + {\ tfrac {x ^ {2}} {7 + {\ tfrac {x ^ { 2}} {9+ \ ldots}}}}}}}}}$

Para x pequeno o suficiente , ambas as aproximações são numericamente melhores do que uma avaliação direta da expressão analítica real, uma vez que esta última sofre de perda de significância .

A função Langevin inversa L ⁻¹ ( x ) é definida no intervalo aberto (−1, 1). Para pequenos valores de x , ele pode ser aproximado por um truncamento de sua série de Taylor

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) = 3x + {\ tfrac {9} {5}} x ^ {3} + {\ tfrac {297} {175}} x ^ {5} + {\ tfrac { 1539} {875}} x ^ {7} + \ pontos}$

e pelo Padé aproximant

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) = 3x {\ frac {35-12x ^ {2}} {35-33x ^ {2}}} + O (x ^ {7}).}$

Gráficos de erro relativo para x ∈ [0, 1) para aproximações de Cohen e Jedynak

Como essa função não tem forma fechada, é útil ter aproximações válidas para valores arbitrários de x . Uma aproximação popular, válida em todo o intervalo (-1, 1), foi publicada por A. Cohen:

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) \ approx x {\ frac {3-x ^ {2}} {1-x ^ {2}}}.}$

Isso tem um erro relativo máximo de 4,9% na vizinhança de x = ± 0,8 . Maior precisão pode ser alcançada usando a fórmula fornecida por R. Jedynak:

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) \ approx x {\ frac {3,0-2,6x + 0,7x ^ {2}} {(1-x) (1 + 0,1x)}},}$

válido para x ≥ 0 . O erro relativo máximo para esta aproximação é 1,5% na vizinhança de x = 0,85. Uma precisão ainda maior pode ser alcançada usando a fórmula dada por M. Kröger:

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) \ approx {\ frac {3x-x (6x ^ {2} + x ^ {4} -2x ^ {6}) / 5} {1-x ^ {2 }}}}$

O erro relativo máximo para esta aproximação é inferior a 0,28%. Aproximação mais precisa foi relatada por R. Petrosyan:

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) \ approx 3x + {\ frac {x ^ {2}} {5}} \ sin \ left ({\ frac {7x} {2}} \ right) + {\ frac {x ^ {3}} {1-x}},}$

válido para x ≥ 0 . O erro relativo máximo para a fórmula acima é inferior a 0,18%.

Nova aproximação dada por R. Jedynak, é o aproximador mais bem relatado na complexidade 11:

${\ displaystyle L ^ {- 1} (x) \ approx {\ frac {x (3-1,00651x ^ {2} -0,962251x ^ {4} + 1,47353x ^ {6} -0,48953x ^ {8}) } {(1-x) (1 + 1,01524x)}},}$

válido para x ≥ 0 . Seu erro relativo máximo é inferior a 0,076%.

O diagrama do estado da arte atual das aproximações da função Langevin inversa apresenta a figura abaixo. É válido para os aproximados racionais / Padé,

Diagrama do estado da arte atual das aproximações da função Langevin inversa,

Um artigo publicado recentemente por R. Jedynak fornece uma série de aproximações ótimas para a função de Langevin inversa. A tabela abaixo relata os resultados com comportamentos assintóticos corretos.

Comparação de erros relativos para as diferentes aproximações racionais ótimas, que foram calculadas com restrições (Apêndice 8 Tabela 1)

Complexidade	Aproximação ótima	Erro relativo máximo [%]
3	${\ displaystyle R_ {2,1} (y) = {\ frac {-2y ^ {2} + 3y} {1-y}}}$	13
4	${\ displaystyle R_ {3,1} (y) = {\ frac {0,88y ^ {3} -2,88y ^ {2} + 3y} {1-y}}}$	0,95
5	${\ displaystyle R_ {3,2} (y) = {\ frac {1.1571y ^ {3} -3,3533y ^ {2} + 3y} {(1-y) (1-0,1962y)}}}$	0,56
6	${\ displaystyle R_ {5,1} (y) = {\ frac {0,756y ^ {5} -1,383y ^ {4} + 1,5733y ^ {3} -2.9463y ^ {2} + 3y} {1- y}}}$	0,16
7	${\ displaystyle R_ {3,4} (y) = {\ frac {2,14234y ^ {3} -4,22785y ^ {2} + 3y} {(1-y) \ left (0,71716y ^ {3} -0,41103 y ^ {2} -0,39165y + 1 \ right)}}}$	0,082

Também recentemente, um aproximador de precisão próximo à máquina eficiente, baseado em interpolações de spline, foi proposto por Benítez e Montáns, onde o código Matlab também é fornecido para gerar o aproximador baseado em spline e para comparar muitos dos aproximadores previamente propostos em todas as funções domínio.

Limite de alta temperatura

Quando isto é, quando é pequeno, a expressão da magnetização pode ser aproximada pela lei de Curie : ${\ displaystyle x \ ll 1}$${\ displaystyle \ mu _ {\ rm {B}} B / k _ {\ rm {B}} T}$

${\ displaystyle M = C \ cdot {\ frac {B} {T}}}$

onde é uma constante. Pode-se notar que é o número efetivo de magnetos de Bohr. ${\ displaystyle C = {\ frac {Ng ^ {2} J (J + 1) \ mu _ {\ rm {B}} ^ {2}} {3k _ {\ rm {B}}}}}$${\ displaystyle g {\ sqrt {J (J + 1)}}}$

Limite de campo alto

Quando , a função Brillouin vai para 1. A magnetização satura com os momentos magnéticos completamente alinhados com o campo aplicado: ${\ displaystyle x \ to \ infty}$

${\ displaystyle M = Ng \ mu _ {\ rm {B}} J}$

Referências