Forma de curvatura - Curvature form

Na geometria diferencial , a forma de curvatura descreve a curvatura de uma conexão em um feixe principal . Pode ser considerado uma alternativa ou generalização do tensor de curvatura na geometria Riemanniana .

Definição

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie , e P → B um G -bundle principal . Seja ω uma conexão de Ehresmann em P (que é uma forma- valorizada em P ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Então, a forma de curvatura é a forma 2 -valorada em P definida por ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ displaystyle \ Omega = d \ omega + {1 \ over 2} [\ omega \ wedge \ omega] = D \ omega.}

Aqui significa derivada externa , é definida no artigo " Forma com valor de álgebra de Lie " e D denota a derivada covariante externa . Em outros termos, ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle [\ cdot \ wedge \ cdot]}$

{\ displaystyle \, \ Omega (X, Y) = d \ omega (X, Y) + {1 \ over 2} [\ omega (X), \ omega (Y)]}

onde X , Y são vectores tangentes a P .

Há também outra expressão para Ω: se X , Y são campos vetoriais horizontais em P , então

{\ displaystyle \ sigma \ Omega (X, Y) = - \ omega ([X, Y]) = - [X, Y] + h [X, Y]}

onde hZ significa a componente horizontal de Z , à direita identificamos um campo vetorial vertical e um elemento de álgebra de Lie que o gerou ( campo vetorial fundamental ), e é o inverso do fator de normalização usado por convenção na fórmula para a derivada externa . ${\ displaystyle \ sigma \ in \ {1,2 \}}$

Uma conexão é considerada plana se sua curvatura desaparecer: Ω = 0. Equivalentemente, uma conexão é plana se o grupo de estrutura pode ser reduzido ao mesmo grupo subjacente, mas com a topologia discreta.

Forma de curvatura em um pacote vetorial

Se E → B é um feixe vetorial, então também se pode pensar em ω como uma matriz de formas 1 e a fórmula acima torna-se a equação de estrutura de E. Cartan:

{\ displaystyle \, \ Omega = d \ omega + \ omega \ wedge \ omega,}

onde está o produto de cunha . Mais precisamente, se e denotam os componentes de ω e Ω correspondentemente, (então cada um é uma forma 1 usual e cada um é uma forma 2 usual), então ${\ displaystyle \ wedge}$ ${\ displaystyle {\ omega ^ {i}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ Omega ^ {i}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ omega ^ {i}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ Omega ^ {i}} _ {j}}$

{\ displaystyle \ Omega _ {j} ^ {i} = d {\ omega ^ {i}} _ {j} + \ sum _ {k} {\ omega ^ {i}} _ {k} \ wedge {\ ômega ^ {k}} _ {j}.}

Por exemplo, para o feixe tangente de uma variedade Riemanniana , o grupo de estrutura é O ( n ) e Ω é uma forma 2 com valores na álgebra de Lie de O ( n ), ou seja, as matrizes anti - simétricas . Neste caso, a forma Ω é uma descrição alternativa do tensor de curvatura , ou seja,

{\ displaystyle \, R (X, Y) = \ Omega (X, Y),}

usando a notação padrão para o tensor de curvatura Riemanniano.

Identidades Bianchi

Se for a forma 1 com valor vetorial canônico no pacote de estrutura, a torção da forma de conexão é a forma 2 com valor vetorial definida pela equação de estrutura ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ Theta}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ displaystyle \ Theta = d \ theta + \ omega \ wedge \ theta = D \ theta,}

onde, como acima, D denota a derivada covariante externa .

A primeira identidade Bianchi assume a forma

{\ displaystyle D \ Theta = \ Omega \ wedge \ theta.}

A segunda identidade Bianchi assume a forma

{\ displaystyle \, D \ Omega = 0}

e é válido de forma mais geral para qualquer conexão em um pacote principal .

Notas

Referências

Shoshichi Kobayashi e Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry , Vol.I, Capítulo 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience .

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