Postulado de Bertrand - Bertrand's postulate

Na teoria dos números , o postulado de Bertrand é um teorema que afirma que, para qualquer inteiro , sempre existe pelo menos um número primo com ${\ displaystyle n> 3}$ ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle n <p <2n-2.}$

Uma formulação menos restritiva é: para cada há sempre pelo menos um primo tal que ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle n <p <2n.}$

Outra formulação, onde é o -ésimo primo, é para${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle p_ {n + 1} <2p_ {n}.}$

Esta declaração foi conjecturada pela primeira vez em 1845 por Joseph Bertrand (1822–1900). O próprio Bertrand verificou sua declaração para todos os inteiros . ${\ displaystyle 2 \ leq n \ leq 3 \, 000 \, 000}$

Sua conjectura foi completamente provada por Chebyshev (1821-1894) em 1852 e, portanto, o postulado também é chamado de teorema de Bertrand-Chebyshev ou teorema de Chebyshev . O teorema de Chebyshev também pode ser declarado como uma relação com , onde é a função de contagem de primos (número de primos menor ou igual a ): ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle x \,}$

${\ displaystyle \ pi (x) - \ pi {\ bigl (} {\ tfrac {x} {2}} {\ bigr)} \ geq 1}$, para todos .${\ displaystyle x \ geq 2}$

Teorema do número primo

O teorema dos números primos (PNT) implica que o número de primos até x é aproximadamente x / ln ( x ), então, se substituirmos x por 2 x , vemos que o número de primos até 2 x é assintoticamente duas vezes o número de primos até x (os termos ln (2 x ) e ln ( x ) são assintoticamente equivalentes). Portanto, o número de primos entre n e 2 n é aproximadamente n / ln ( n ) quando n é grande e, portanto, em particular, há muito mais primos neste intervalo do que os garantidos pelo Postulado de Bertrand. Portanto, o postulado de Bertrand é comparativamente mais fraco do que o PNT. Mas PNT é um teorema profundo, enquanto o Postulado de Bertrand pode ser declarado de forma mais memorável e provado mais facilmente, e também faz afirmações precisas sobre o que acontece para pequenos valores de n . (Além disso, o teorema de Chebyshev foi provado antes do PNT e, portanto, tem interesse histórico.)

A conjectura semelhante e ainda não resolvida de Legendre pergunta se para cada n > 1, existe um primo p , tal que n ² < p <( n  + 1) ² . Mais uma vez, esperamos que haja não apenas um, mas muitos primos entre n ² e ( n  + 1) ² , mas, neste caso, o PNT não ajuda: o número de primos até x ² é assintótico a x ² / ln ( x ² ) enquanto o número de primos até ( x  + 1) ² é assintótico para ( x  + 1) ² / ln (( x  + 1) ² ), que é assintótico para a estimativa nos primos até x ² . Portanto, ao contrário do caso anterior de xe 2 x , não temos uma prova da conjectura de Legendre, mesmo para todos os n grandes . As estimativas de erro no PNT não são (na verdade, não podem ser) suficientes para provar a existência de até mesmo um primo neste intervalo.

Generalizações

Em 1919, Ramanujan (1887–1920) usou propriedades da função Gama para fornecer uma prova mais simples. O pequeno artigo incluiu uma generalização do postulado, do qual mais tarde surgiria o conceito de primos de Ramanujan . Outras generalizações dos primos de Ramanujan também foram descobertas; por exemplo, há uma prova de que

${\ displaystyle 2p_ {in}> p_ {i} {\ text {for}} i> k {\ text {onde}} k = \ pi (p_ {k}) = \ pi (R_ {n}) \, ,}$

com p _k a k th privilegiada e R _n o n th privilegiada Ramanujan.

Outras generalizações do Postulado de Bertrand foram obtidas usando métodos elementares. (A seguir, n percorre o conjunto de inteiros positivos.) Em 2006, M. El Bachraoui provou que existe um primo entre 2 n e 3 n . Em 1973, Denis Hanson provou que existe um primo entre 3 n e 4 n . Além disso, em 2011, Andy Loo provou que como n tende para o infinito, o número de primos entre 3 n e 4 n também vai para o infinito, generalizando assim os resultados de Erdős e Ramanujan (ver a seção sobre teoremas de Erdős abaixo). O primeiro resultado é obtido com métodos elementares. O segundo é baseado em limites analíticos para a função fatorial .

Teorema de Sylvester

O postulado de Bertrand foi proposto para aplicações a grupos de permutação . Sylvester (1814-1897) generalizou o enunciado mais fraco com o enunciado: o produto de k inteiros consecutivos maiores que k é divisível por um primo maior que k . O postulado (mais fraco) de Bertrand segue daí tomando k  =  n , e considerando os k números n  + 1, n  + 2, até e incluindo n  +  k = 2 n , onde n  > 1. De acordo com a generalização de Sylvester, um dos esses números têm um fator primo maior que  k . Como todos esses números são menores que 2 ( k  + 1), o número com fator primo maior que  k tem apenas um fator primo e, portanto, é primo. Observe que 2 n não é primo e, portanto, agora sabemos que existe um primo  p com n  <  p  <2 n .

Teoremas de Erdős

Em 1932, Erdős (1913-1996) também publicou uma prova mais simples usando coeficientes binomiais e a função Chebyshev ϑ , definida como:

${\ displaystyle \ vartheta (x) = \ sum _ {p = 2} ^ {x} \ ln (p)}$

onde p ≤ x é executado sobre os primos. Veja a prova do postulado de Bertrand para os detalhes.

Erdős provou em 1934 que, para qualquer número inteiro positivo k , existe um número natural N tal que, para todo n  >  N , existem pelo menos k primos entre n e 2 n . Uma afirmação equivalente foi provada em 1919 por Ramanujan (ver Ramanujan prime ).

Melhores resultados

Resulta do teorema dos números primos que para qualquer real existe um tal que para todos existe um primo tal que . Pode-se mostrar, por exemplo, que ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle n_ {0}> 0}$${\ displaystyle n> n_ {0}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n <p <(1+ \ varepsilon) n}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ pi ((1+ \ varepsilon) n) - \ pi (n)} {n / \ log n}} = \ varejpsilon,}$

o que implica que vai para o infinito (e, em particular, é maior que 1 para suficientemente grande ). ${\ displaystyle \ pi ((1+ \ varepsilon) n) - \ pi (n)}$ ${\ displaystyle n}$

Limites não assintóticos também foram comprovados. Em 1952, Jitsuro Nagura provou que para sempre há um primo entre e . ${\ displaystyle n \ geq 25}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ bigl (} 1 + {\ tfrac {1} {5}} {\ bigr)} n}$

Em 1976, Lowell Schoenfeld mostrou que para , sempre há um primo no intervalo aberto . ${\ displaystyle n \ geq 2 \, 010 \, 760}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n <p <{\ bigl (} 1 + {\ tfrac {1} {16 \, 597}} {\ bigr)} n}$

Em sua tese de doutoramento 1998, o Pierre Dusart melhorou o resultado acima, mostrando que para , e em particular para , existe um primo no intervalo . ${\ displaystyle k \ geq 463}$${\ displaystyle p_ {k + 1} \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {2 \ ln ^ {2} {p_ {k}}}} \ right) p_ {k}}$${\ displaystyle x \ geq 3 \, 275}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {2 \ ln ^ {2} {x}}} \ right) x}$

Em 2010, Pierre Dusart provou que para haver pelo menos um primo no intervalo . ${\ displaystyle x \ geq 396 \, 738}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {25 \ ln ^ {2} {x}}} \ right) x}$

Em 2016, Pierre Dusart melhorou seu resultado de 2010, mostrando (Proposição 5.4) que, se , houver pelo menos um primo no intervalo . Ele também mostra (Corolário 5.5) que, pois , há pelo menos um primo no intervalo . ${\ displaystyle x \ geq 89 \, 693}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {\ ln ^ {3} {x}}} \ right) x}$${\ displaystyle x \ geq 468 \, 991 \, 632}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x <p \ leq \ left (1 + {\ frac {1} {5 \, 000 \ ln ^ {2} {x}}} \ right) x}$

Baker, Harman e Pintz provaram que há um primo no intervalo para todos suficientemente grande . ${\ displaystyle [xx ^ {0,525}, \, x]}$${\ displaystyle x}$

Dudek provou que, para todos , existe pelo menos um primo entre e . ${\ displaystyle n \ geq e ^ {e ^ {33.3}}}$${\ displaystyle n ^ {3}}$${\ displaystyle (n + 1) ^ {3}}$

Consequências

• A sequência de primos, junto com 1, é uma sequência completa ; qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de primos (e 1) usando cada um no máximo uma vez.
• O único número harmônico que é um inteiro é o número 1.

Veja também

• Conjectura de Oppermann
• Prova do postulado de Bertrand

Notas

Bibliografia

• P. Erdős (1934). “Um Teorema de Sylvester e Schur”. Journal of the London Mathematical Society . 9 (4): 282–288. doi : 10.1112 / jlms / s1-9.4.282 .
• Jitsuro Nagura (1952). “No intervalo contendo pelo menos um número primo” . Proc. Japan Acad . 28 (4): 177–181. doi : 10.3792 / pja / 1195570997 .
• Chris Caldwell, o postulado de Bertrand no glossário do Prime Pages .
• H. Ricardo (2005). "Goldbach's Conjecture Implies Bertrand's Postulate" . Amer. Matemática. Mensalmente . 112 : 492.
• Hugh L. Montgomery ; Robert C. Vaughan (2007). Teoria dos números multiplicativos I. Teoria clássica . Tratados de Cambridge em matemática avançada. 97 . Cambridge: Cambridge Univ. Pressione. p. 49. ISBN 978-0-521-84903-6.
• J. Sondow (2009). "Primos de Ramanujan e o postulado de Bertrand". Amer. Matemática. Mensalmente . 116 (7): 630–635. arXiv : 0907.5232 . doi : 10.4169 / 193009709x458609 .

links externos

• Sondow, Jonathan & Weisstein, Eric W. "Postulado de Bertrand" . MathWorld .
• Uma prova da versão fraca no sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Postulado de Bertrand - Uma prova da versão fraca em www.dimostriamogoldbach.it/en/