Pacote de Banach (geometria não comutativa) - Banach bundle (non-commutative geometry)

Em matemática , um feixe de Banach é um feixe de fibras sobre um espaço topológico de Hausdorff , de modo que cada fibra tem a estrutura de um espaço de Banach .

Definição

Let ser um espaço de Hausdorff topológico, um ( contínua ) Banach feixe ao longo é um tuplo , onde é um espaço topológico Hausdorff, e é um contínua , aberta surjection , de tal modo que cada fibra é um espaço de Banach. Que satisfaz as seguintes condições: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} = (B, \ pi)}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos B \ a X}$ ${\ displaystyle B_ {x}: = \ pi ^ {- 1} (x)}$

O mapa é contínuo para todos ${\ displaystyle b \ mapsto \ | b \ |}$ ${\ displaystyle b \ in B}$
A operação é contínua ${\ displaystyle + \ colon \ {(b_ {1}, b_ {2}) \ in B \ times B: \ pi (b_ {1}) = \ pi (b_ {2}) \} \ to B}$
Para cada , o mapa é contínuo ${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle b \ mapsto \ lambda \ cdot b}$
Se , e é uma rede em , tal que e , então . Onde denota o zero da fibra . ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle \ {b_ {i} \}}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ | b_ {i} \ | \ to 0}$ ${\ displaystyle \ pi (b_ {i}) \ a x}$ ${\ displaystyle b_ {i} \ a 0_ {x} \ in B}$ ${\ displaystyle 0_ {x}}$ ${\ displaystyle B_ {x}}$

Se o mapa for apenas semicontínuo superior , é chamado de feixe semicontínuo superior. ${\ displaystyle b \ mapsto \ | b \ |}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$

Exemplos

Pacote trivial

Seja A um espaço de Banach, X um espaço topológico de Hausdorff. Defina e por . Então, é um pacote Banach, chamado de pacote trivial ${\ displaystyle B: = A \ vezes X}$ ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos B \ a X}$ ${\ displaystyle \ pi (a, x): = x}$ ${\ displaystyle (B, \ pi)}$