A identidade de Bézout - Bézout's identity

Na teoria dos números elementares , a identidade de Bézout (também chamada de lema de Bézout ), em homenagem a Étienne Bézout , é o seguinte teorema :

Aqui o máximo divisor comum de 0 e 0 é considerado como sendo 0. Os inteiros x e y são chamados coeficientes Bézout para ( a , b ); eles não são únicos. Um par de coeficientes de Bézout pode ser calculado pelo algoritmo euclidiano estendido , e esse par é um dos dois pares que e . Igualdade ocorre somente se um dos um e b é um múltiplo do outro. ${\ displaystyle | x | \ leq | b / d |}$${\ displaystyle | y | \ leq | a / d |}$

Como exemplo, o maior divisor comum de 15 e 69 é 3, e 3 pode ser escrito como uma combinação de 15 e 69 como 3 = 15 × (−9) + 69 × 2, com coeficientes de Bézout −9 e 2.

Muitos outros teoremas na teoria dos números elementares, como o lema de Euclides ou o teorema do resto chinês , resultam da identidade de Bézout.

Um domínio de Bézout é um domínio integral no qual a identidade de Bézout se mantém. Em particular, a identidade de Bézout se mantém nos principais domínios ideais . Todo teorema que resulta da identidade de Bézout é, portanto, verdadeiro em todos os domínios ideais principais.

Estrutura de soluções

Se um e b não são ambos zero e um par de coeficientes Bézout ( x , y ) foi calculada (por exemplo, usando o algoritmo de Euclides estendido ), todos os pares podem ser representados na forma

${\ displaystyle \ left (xk {\ frac {b} {d}}, \ y + k {\ frac {a} {d}} \ right),}$

onde k é um número inteiro arbitrário, d é o maior divisor comum de um e b , e as fracções de simplificar a números inteiros.

Se um e b são ambos diferente de zero, em seguida, exatamente dois destes pares de pares de coeficientes Bézout satisfazer

${\ displaystyle | x | \ leq \ left | {\ frac {b} {d}} \ right | \ quad {\ text {and}} \ quad | y | \ leq \ left | {\ frac {a} { d}} \ certo |,}$

e a igualdade pode ocorrer apenas se um de a e b dividir o outro.

Isso se baseia em uma propriedade da divisão euclidiana : dados dois inteiros diferentes de zero c e d , se d não divide c , há exatamente um par ( q , r ) tal que c = dq + r e 0 < r <| d | , e outro tal que c = dq + r e - | d | < r <0 .

Os dois pares de coeficientes de Bézout pequenos são obtidos a partir do dado ( x , y ) escolhendo para k na fórmula acima qualquer um dos dois inteiros próximos a . ${\ displaystyle {\ frac {x} {b / d}}}$

O algoritmo Euclidiano estendido sempre produz um desses dois pares mínimos.

Exemplo

Sejam a = 12 e b = 42 , então mdc (12, 42) = 6 . Em seguida, são tidas as seguintes identidades de Bézout, com os coeficientes de Bézout escritos em vermelho para os pares mínimos e em azul para os demais.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vdots \\ 12 & \ times ({\ color {blue} {- 10}}) & + \; \; 42 & \ times \ color {blue} {3} & = 6 \ \ 12 & \ times ({\ color {red} {- 3}}) & + \; \; 42 & \ times \ color {red} {1} & = 6 \\ 12 & \ times \ color {red} {4} & + \; \; 42 & \ times ({\ color {red} {- 1}}) & = 6 \\ 12 & \ times \ color {blue} {11} & + \; \; 42 & \ times ({\ cor {azul} {- 3}}) & = 6 \\ 12 & \ times \ color {blue} {18} & + \; \; 42 & \ times ({\ color {blue} {- 5}}) & = 6 \\\ vdots \ end {alinhados}}}$

Se (x, y) = (18, -5) é o par original de coeficientes de Bézout, então produz os pares mínimos via k = 2 , respectivamente k = 3 ; ou seja, (18 - 2 ⋅ 7, -5 + 2 ⋅ 2) = (4, -1) e (18 - 3 ⋅ 7, -5 + 3 ⋅ 2) = (-3, 1) . ${\ displaystyle {\ frac {18} {42/6}} \ in [2,3]}$

Prova

Dados quaisquer inteiros diferentes de zero a e b , deixe O conjunto S é não-vazia, uma vez que contém quer um ou - uma (com x = ± 1 e y = 0 ). Como S é um conjunto não vazio de inteiros positivos, ele tem um elemento mínimo , pelo princípio de boa ordenação . Para provar que d é o máximo divisor comum de um e b , deve ser provado que d é um divisor comum de um e b , e que para qualquer outro comum divisor c , tem-se c ≤ d . ${\ displaystyle S = \ {ax + por \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} {\ text {e}} ax + por> 0 \}.}$${\ displaystyle d = as + bt}$

A divisão euclidiana de a por d pode ser escrita

${\ displaystyle a = dq + r \ quad {\ text {com}} \ quad 0 \ leq r <d.}$

O restante r está dentro , porque ${\ displaystyle S \ cup \ {0 \}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} r & = a-qd \\ & = aq (as + bt) \\ & = a (1-qs) -bqt. \ end {alinhado}}}$

Portanto, r tem a forma e, portanto . No entanto, 0 ≤ r < d , ed é o menor inteiro positivo em S : o resto r pode, portanto, não estar em S , tornando r necessariamente 0. Isso implica que d é um divisor de a . Da mesma forma, d também é um divisor de b e d é um divisor comum de a e b . ${\ displaystyle ax + by}$${\ displaystyle r \ in S \ cup \ {0 \}}$

Agora, seja c qualquer divisor comum de a e b ; isto é, existe u e v tais que um = Cu e b = cv . Tem-se assim

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} d & = as + bt \\ & = cus + cvt \\ & = c (us + vt). \ end {alinhado}}}$

Ou seja, c é um divisor de d , e, portanto, c ≤ d.

Generalizações

Por três ou mais inteiros

A identidade de Bézout pode ser estendida a mais de dois inteiros: se

${\ displaystyle \ gcd (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = d}$

então existem números inteiros que ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ displaystyle d = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}}$

tem as seguintes propriedades:

• d é o menor inteiro positivo desta forma
• cada número deste formulário é um múltiplo de d

Para polinômios

A identidade de Bézout funciona para polinômios univariados sobre um campo exatamente da mesma maneira que para inteiros. Em particular, os coeficientes de Bézout e o maior divisor comum podem ser calculados com o algoritmo Euclidiano estendido .

Como as raízes comuns de dois polinômios são as raízes de seu maior divisor comum, a identidade de Bézout e o teorema fundamental da álgebra implicam o seguinte resultado:

Para polinómios de uma variável de f e g com coeficientes de um campo, existem polinómios um e b de tal forma que af + BG = 1, se e somente se f e g não têm raiz comum em qualquer campo algebricamente fechado (vulgarmente o campo de números complexos ).

A generalização desse resultado para qualquer número de polinômios e indeterminados é o Nullstellensatz de Hilbert .

Para principais domínios ideais

Conforme observado na introdução, a identidade de Bézout funciona não apenas no anel dos inteiros, mas também em qualquer outro domínio ideal principal (PID). Isto é, se R é um PID, e um e b são elementos de R , e d é um divisor comum maior de um e b , em seguida, existem elementos de x e y em R tal que ax + por = d . A razão é que o Ra + Rb ideal é principal e igual a Rd .

Um domínio integral no qual a identidade de Bézout se mantém é chamado de domínio de Bézout .

História

O matemático francês Étienne Bézout (1730–1783) provou essa identidade para polinômios. No entanto, essa declaração para inteiros já pode ser encontrada no trabalho de um matemático francês anterior, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).

Veja também

• Teorema AF + BG , um análogo da identidade de Bézout para polinômios homogêneos em três indeterminados
• Teorema fundamental da aritmética
• Lema de Euclides

Notas

links externos

• Calculadora online para a identidade de Bézout.
• Weisstein, Eric W. "Identidade de Bézout" . MathWorld .