Teoria do feixe de Timoshenko-Ehrenfest - Timoshenko–Ehrenfest beam theory

Orientações da linha perpendicular ao plano médio de um livro de capa mole grosso sob a dobra.

A teoria do feixe Timoshenko – Ehrenfest foi desenvolvida por Stephen Timoshenko e Paul Ehrenfest no início do século XX. O modelo leva em consideração a deformação por cisalhamento e os efeitos de flexão rotacional , tornando-o adequado para descrever o comportamento de vigas grossas, vigas compostas sanduíche ou vigas sujeitas à excitação de alta frequência quando o comprimento de onda se aproxima da espessura da viga. A equação resultante é de 4ª ordem, mas, ao contrário da teoria do feixe de Euler-Bernoulli , também há uma derivada parcial de segunda ordem presente. Fisicamente, levando em consideração os mecanismos de deformação adicionados, diminui efetivamente a rigidez da viga, enquanto o resultado é uma maior deflexão sob uma carga estática e menores frequências próprias previstas para um determinado conjunto de condições de contorno. O último efeito é mais perceptível para frequências mais altas à medida que o comprimento de onda se torna mais curto (em princípio comparável à altura da viga ou menor) e, portanto, a distância entre as forças de cisalhamento opostas diminui.

O efeito de inércia rotativa foi introduzido por Bresse e Rayleigh.

Se o módulo de cisalhamento do material da viga se aproxima do infinito - e, portanto, a viga se torna rígida em cisalhamento - e se os efeitos da inércia rotacional são desprezados, a teoria do feixe de Timoshenko converge para a teoria do feixe comum.

Feixe quasistático de Timoshenko

Deformação de um feixe de Timoshenko (azul) em comparação com um feixe de Euler-Bernoulli (vermelho).

Deformação de um feixe de Timoshenko. O normal gira em um valor que não é igual a .${\ displaystyle \ theta _ {x} = \ varphi (x)}$${\ displaystyle dw / dx}$

Na teoria do feixe de Timoshenko estático sem efeitos axiais, os deslocamentos do feixe são assumidos como dados por

${\ displaystyle u_ {x} (x, y, z) = - z ~ \ varphi (x) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x , y) = w (x)}$

onde estão as coordenadas de um ponto da viga, são os componentes do vetor de deslocamento nas três direções das coordenadas, é o ângulo de rotação da normal para a superfície média da viga e é o deslocamento da superfície média na direção. ${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle z}$

As equações governantes são o seguinte sistema acoplado de equações diferenciais ordinárias :

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} \ left (EI {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} x}} \ right) = q (x) \\ & {\ frac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} x}} = \ varphi - {\ frac {1} {\ kappa AG}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left (EI {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} x}} \ direita). \ end {alinhado}}}$

A teoria do feixe de Timoshenko para o caso estático é equivalente à teoria de Euler-Bernoulli quando o último termo acima é negligenciado, uma aproximação que é válida quando

${\ displaystyle {\ frac {EI} {\ kappa L ^ {2} AG}} \ ll 1}$

Onde

• ${\ displaystyle L}$ é o comprimento da viga.
• ${\ displaystyle A}$ é a área da seção transversal.
• ${\ displaystyle E}$é o módulo de elasticidade .
• ${\ displaystyle G}$é o módulo de cisalhamento .
• ${\ displaystyle I}$é o segundo momento da área .
• ${\ displaystyle \ kappa}$, chamado de coeficiente de cisalhamento de Timoshenko, depende da geometria. Normalmente, para uma seção retangular.${\ displaystyle \ kappa = 5/6}$
• ${\ displaystyle q (x)}$ é uma carga distribuída (força por comprimento).

A combinação das duas equações dá, para um feixe homogêneo de seção transversal constante,

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} w} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x) - {\ cfrac {EI} {\ kappa AG} } ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}}$

O momento fletor e a força cortante na viga estão relacionados ao deslocamento e à rotação . Essas relações, para uma viga de Timoshenko elástica linear, são: ${\ displaystyle M_ {xx}}$${\ displaystyle Q_ {x}}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle M_ {xx} = - EI ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ quad {\ text {and}} \ quad Q_ {x} = \ kappa ~ AG ~ \ left ( - \ varphi + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} \ right) \ ,.}$

Derivação de equações quasi-estáticas do feixe de Timoshenko

A partir das suposições cinemáticas para um feixe de Timoshenko, os deslocamentos do feixe são dados por ${\ displaystyle u_ {x} (x, y, z, t) = - z ~ \ varphi (x, t) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z, t) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x, y, z) = w (x, t)}$ Então, a partir das relações de deslocamento-deformação para pequenas deformações, as deformações diferentes de zero com base nas suposições de Timoshenko são ${\ displaystyle \ varepsilon _ {xx} = {\ frac {\ parcial u_ {x}} {\ parcial x}} = - z ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial x}} ~; ~~ \ varejpsilon _ {xz} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ parcial u_ {x}} {\ parcial z}} + {\ frac {\ parcial u_ {z}} { \ parcial x}} \ direita) = {\ frac {1} {2}} \ esquerda (- \ varphi + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} \ direita)}$ Uma vez que a deformação de cisalhamento real na viga não é constante ao longo da seção transversal, introduzimos um fator de correção de modo que ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {xz} = {\ frac {1} {2}} ~ \ kappa ~ \ left (- \ varphi + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} \ right)}$ A variação da energia interna do feixe é ${\ displaystyle \ delta U = \ int _ {L} \ int _ {A} (\ sigma _ {xx} \ delta \ varepsilon _ {xx} +2 \ sigma _ {xz} \ delta \ varejpsilon _ {xz} ) ~ \ mathrm {d} A ~ \ mathrm {d} L = \ int _ {L} \ int _ {A} \ left [-z ~ \ sigma _ {xx} {\ frac {\ parcial (\ delta \ varphi)} {\ partial x}} + \ sigma _ {xz} ~ \ kappa \ left (- \ delta \ varphi + {\ frac {\ partial (\ delta w)} {\ partial x}} \ right) \ direita] ~ \ mathrm {d} A ~ \ mathrm {d} L}$ Definir ${\ displaystyle M_ {xx}: = \ int _ {A} z ~ \ sigma _ {xx} ~ \ mathrm {d} A ~; ~~ Q_ {x}: = \ kappa ~ \ int _ {A} \ sigma _ {xz} ~ \ mathrm {d} A}$ Então ${\ displaystyle \ delta U = \ int _ {L} \ left [-M_ {xx} {\ frac {\ partial (\ delta \ varphi)} {\ partial x}} + Q_ {x} \ left (- \ delta \ varphi + {\ frac {\ partial (\ delta w)} {\ partial x}} \ right) \ right] ~ \ mathrm {d} L}$ A integração por partes, e observando que por causa das condições de contorno as variações são zero nas extremidades da viga, leva a ${\ displaystyle \ delta U = \ int _ {L} \ left [\ left [\ left ({\ frac {\ partial M_ {xx}} {\ partial x}} - Q_ {x} \ right) ~ \ delta \ varphi - {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} ~ \ delta w \ right] ~ \ mathrm {d} L}$ A variação no trabalho externo feito na viga por uma carga transversal por unidade de comprimento é ${\ displaystyle q (x, t)}$ ${\ displaystyle \ delta W = \ int _ {L} q ~ \ delta w ~ \ mathrm {d} L}$ Então, para um feixe quasistático, o princípio do trabalho virtual dá ${\ displaystyle \ delta U = \ delta W \ implica \ int _ {L} \ left [\ left ({\ frac {\ partial M_ {xx}} {\ partial x}} - Q_ {x} \ right) ~ \ delta \ varphi - \ left ({\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} + q \ right) ~ \ delta w \ right] ~ \ mathrm {d} L = 0}$ As equações governantes para a viga são, a partir do teorema fundamental do cálculo variacional, ${\ displaystyle {\ frac {\ parcial M_ {xx}} {\ parcial x}} - Q_ {x} = 0 ~; ~~ {\ frac {\ parcial Q_ {x}} {\ parcial x}} + q = 0}$ Para um feixe elástico linear ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} M_ {xx} & = \ int _ {A} z ~ \ sigma _ {xx} ~ \ mathrm {d} A = \ int _ {A} z ~ E ~ \ varejpsilon _ {xx} ~ \ mathrm {d} A = - \ int _ {A} z ^ {2} ~ E ~ {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial x}} ~ \ mathrm {d} A = - EI ~ {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \\ Q_ {x} & = \ int _ {A} \ sigma _ {xz} ~ \ mathrm {d} A = \ int _ {A } 2G ~ \ varepsilon _ {xz} ~ \ mathrm {d} A = \ int _ {A} \ kappa ~ G ~ \ left (- \ varphi + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} \ direita) ~ \ mathrm {d} A = \ kappa ~ AG ~ \ left (- \ varphi + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} \ right) \ end {alinhado}}}$ Portanto, as equações que regem a viga podem ser expressas como ${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (EI {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ right) + \ kappa AG ~ \ esquerda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} - \ varphi \ direita) & = 0 \\ {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ esquerda [\ kappa AG \ esquerda ({ \ frac {\ partial w} {\ partial x}} - \ varphi \ right) \ right] + q & = 0 \ end {alinhados}}}$ Combinar as duas equações dá ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left (EI {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ right) = q \\ & {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} = \ varphi - {\ cfrac {1} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ partial} {\ partial x }} \ left (EI {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ right) \ end {alinhado}}}$

Condições de limite

As duas equações que descrevem a deformação de um feixe de Timoshenko devem ser aumentadas com as condições de contorno para serem resolvidas. Quatro condições de contorno são necessárias para que o problema seja bem colocado . As condições de contorno típicas são:

• Vigas simplesmente apoiadas : O deslocamento é zero nas localizações dos dois apoios. O momento fletor aplicado à viga também deve ser especificado. A rotação e a força de corte transversal não são especificadas.${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle M_ {xx}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle Q_ {x}}$
• Vigas fixadas : O deslocamento e a rotação são especificados como zero na extremidade fixada. Se uma extremidade estiver livre, a força de cisalhamento e o momento fletor devem ser especificados nessa extremidade.${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle Q_ {x}}$${\ displaystyle M_ {xx}}$

Exemplo: viga cantilever

Uma viga de Timoshenko em balanço sob uma carga pontual na extremidade livre

Para uma viga cantilever , um limite é fixado enquanto o outro está livre. Vamos usar um sistema de coordenadas para destros, onde a direção é positiva para a direita e a direção é positiva para cima. Seguinte convenção normal, assumimos que as forças positivas agir nas direções positivas dos e eixos e momentos positivos agir no sentido horário. Também assumimos que a convenção de sinal das resultantes de tensão ( e ) é tal que os momentos de flexão positivos comprimem o material na parte inferior da viga ( coordenadas inferiores ) e as forças de cisalhamento positivas giram a viga no sentido anti-horário. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle M_ {xx}}$${\ displaystyle Q_ {x}}$${\ displaystyle z}$

Vamos supor que a extremidade presa está em e a extremidade livre está em . Se uma carga pontual é aplicada à extremidade livre na direção positiva , um diagrama de corpo livre da viga nos dá ${\ displaystyle x = L}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle -Px-M_ {xx} = 0 \ implica M_ {xx} = - Px}$

e

${\ displaystyle P + Q_ {x} = 0 \ implica Q_ {x} = - P \,}$

Portanto, a partir das expressões para o momento fletor e força de cisalhamento, temos

${\ displaystyle Px = EI \, {\ frac {d \ varphi} {dx}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad -P = \ kappa AG \ left (- \ varphi + {\ frac {dw} {dx}} \ right) \ ,.}$

A integração da primeira equação e a aplicação da condição de contorno em , leva a ${\ displaystyle \ varphi = 0}$${\ displaystyle x = L}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = - {\ frac {P} {2EI}} \, (L ^ {2} -x ^ {2}) \,}$

A segunda equação pode então ser escrita como

${\ displaystyle {\ frac {dw} {dx}} = - {\ frac {P} {\ kappa AG}} - {\ frac {P} {2EI}} \, (L ^ {2} -x ^ { 2}) \ ,.}$

Integração e aplicação da condição de contorno em dá ${\ displaystyle w = 0}$${\ displaystyle x = L}$

${\ displaystyle w (x) = {\ frac {P (Lx)} {\ kappa AG}} - {\ frac {Px} {2EI}} \, \ left (L ^ {2} - {\ frac {x ^ {2}} {3}} \ right) + {\ frac {PL ^ {3}} {3EI}} \ ,.}$

A tensão axial é dada por

${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, z) = E \, \ varepsilon _ {xx} = - E \, z \, {\ frac {d \ varphi} {dx}} = - {\ frac { Pxz} {I}} = {\ frac {M_ {xx} z} {I}} \ ,.}$

Feixe dinâmico de Timoshenko

Na teoria do feixe de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos do feixe são assumidos como dados por

${\ displaystyle u_ {x} (x, y, z, t) = - z ~ \ varphi (x, t) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z, t) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x, y, z, t) = w (x, t)}$

onde estão as coordenadas de um ponto da viga, são os componentes do vetor de deslocamento nas três direções das coordenadas, é o ângulo de rotação da normal para a superfície média da viga e é o deslocamento da superfície média na direção. ${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle u_ {x}, u_ {y}, u_ {z}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle z}$

Partindo da suposição acima, a teoria do feixe de Timoshenko, permitindo vibrações, pode ser descrita com as equações diferenciais parciais lineares acopladas :

${\ displaystyle \ rho A {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} - q (x, t) = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ esquerda [\ kappa AG \ esquerda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} - \ varphi \ direita) \ direita]}$

${\ displaystyle \ rho I {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left (EI {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ right) + \ kappa AG \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial x}} - \ varphi \ right)}$

onde as variáveis ​​dependentes são , o deslocamento translacional da viga, e , o deslocamento angular. Observe que, ao contrário da teoria de Euler-Bernoulli , a deflexão angular é outra variável e não é aproximada pela inclinação da deflexão. Também, ${\ displaystyle w (x, t)}$${\ displaystyle \ varphi (x, t)}$

• ${\ displaystyle \ rho}$é a densidade do material do feixe (mas não a densidade linear ).
• ${\ displaystyle A}$ é a área da seção transversal.
• ${\ displaystyle E}$é o módulo de elasticidade .
• ${\ displaystyle G}$é o módulo de cisalhamento .
• ${\ displaystyle I}$é o segundo momento da área .
• ${\ displaystyle \ kappa}$, chamado de coeficiente de cisalhamento de Timoshenko, depende da geometria. Normalmente, para uma seção retangular.${\ displaystyle \ kappa = 5/6}$
• ${\ displaystyle q (x, t)}$ é uma carga distribuída (força por comprimento).
• ${\ displaystyle m: = \ rho A}$
• ${\ displaystyle J: = \ rho I}$

Esses parâmetros não são necessariamente constantes.

Para um feixe linear elástico, isotrópico e homogêneo de seção transversal constante, essas duas equações podem ser combinadas para fornecer

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + m ~ {\ cfrac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2} }} - \ left (J + {\ cfrac {EIm} {\ kappa AG}} \ right) {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} ~ \ partial t ^ {2} }} + {\ cfrac {mJ} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial t ^ {4}}} = q (x, t) + {\ cfrac { J} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ partial ^ {2} q} {\ partial t ^ {2}}} - {\ cfrac {EI} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial x ^ {2}}}}$

Derivação da equação combinada do feixe de Timoshenko

As equações que governam a flexão de uma viga de Timoshenko homogênea de seção transversal constante são ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} (1) && \ quad m ~ {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} & = \ kappa AG ~ \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial x}} \ direita) + q (x, t) ~; ~~ m: = \ rho A \\ (2) && \ quad J ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ parcial t ^ {2}}} & = EI ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} \ varphi} {\ partial x ^ {2}}} + \ kappa AG ~ \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial x}} - \ varphi \ right) ~; ~~ J: = \ rho I \ end {alinhado}}}$ Da equação (1), assumindo suavidade apropriada, temos ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} (3) && \ quad {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} & = {\ cfrac {q} {\ kappa AG}} - {\ cfrac {m } {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial t ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial x ^ {2 }}} \\ (4) && \ quad {\ cfrac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial x ^ {3}}} & = {\ frac {1} {\ kappa AG}} {\ frac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial x ^ {2}}} - {\ frac {m} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial t ^ {2}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {4}}} \\ (5) && \ quad {\ cfrac {\ parcial ^ {3} \ varphi} {\ parcial x \ parcial t ^ {2}}} & = {\ frac {1} {\ kappa AG}} {\ frac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial t ^ {2}}} - {\ frac {m} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial t ^ {4}}} + {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial t ^ {2}}} \ end {alinhado}}}$ A equação de diferenciação (2) dá ${\ displaystyle {\ begin {align} (6) && \ quad J ~ {\ frac {\ partial ^ {3} \ varphi} {\ partial x \ partial t ^ {2}}} & = EI ~ {\ frac {\ parcial ^ {3} \ varphi} {\ parcial x ^ {3}}} + \ kappa AG ~ \ esquerda ({\ frac {\ parcial w ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} - {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ right) \ end {alinhados}}}$ Substituindo a equação (3), (4), (5) na equação (6) e reorganizando, obtemos ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} EI ~ {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + m ~ {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ parcial t ^ {2}}} - \ esquerda (J + {\ cfrac {mEI} {\ kappa AG}} \ direita) ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial t ^ {2}}} + {\ cfrac {mJ} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial t ^ {4}}} = q + {\ cfrac { J} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ partial ^ {2} q} {\ partial t ^ {2}}} - {\ cfrac {EI} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial x ^ {2}}} \ end {alinhado}}}$

A equação de Timoshenko prevê uma frequência crítica. Para os modos normais, a equação de Timoshenko pode ser resolvida. Sendo uma equação de quarta ordem, existem quatro soluções independentes, duas oscilatórias e duas evanescentes para as frequências abaixo . Para frequências maiores do que todas as soluções são oscilatórias e, como conseqüência, surge um segundo espectro. ${\ displaystyle \ omega _ {C} = 2 \ pi f_ {c} = {\ sqrt {\ frac {\ kappa GA} {\ rho I}}}.}$${\ displaystyle f_ {c}}$${\ displaystyle f_ {c}}$

Efeitos axiais

Se os deslocamentos da viga são dados por

${\ displaystyle u_ {x} (x, y, z, t) = u_ {0} (x, t) -z ~ \ varphi (x, t) ~; ~~ u_ {y} (x, y, z , t) = 0 ~; ~~ u_ {z} (x, y, z, t) = w (x, t)}$

onde há um deslocamento adicional na direção, então as equações governantes de um feixe de Timoshenko assumem a forma ${\ displaystyle u_ {0}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} m {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} & = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [ \ kappa AG \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial x}} - \ varphi \ right) \ right] + q (x, t) \\ J {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ parcial t ^ {2}}} & = N (x, t) ~ {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ esquerda (EI {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial x}} \ direita) + \ kappa AG \ esquerda ({\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}} - \ varphi \ direita) \ fim {alinhado}}}$

onde e é uma força axial aplicada externamente. Qualquer força axial externa é equilibrada pelo estresse resultante ${\ displaystyle J = \ rho I}$${\ displaystyle N (x, t)}$

${\ displaystyle N_ {xx} (x, t) = \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {xx} ~ dz}$

onde é a tensão axial e a espessura da viga foi assumida como . ${\ displaystyle \ sigma _ {xx}}$${\ displaystyle 2h}$

A equação de viga combinada com efeitos de força axial incluídos é

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + N ~ {\ cfrac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2} }} + m ~ {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} - \ left (J + {\ cfrac {mEI} {\ kappa AG}} \ right) ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial x ^ {2} \ parcial t ^ {2}}} + {\ cfrac {mJ} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4 } w} {\ parcial t ^ {4}}} = q + {\ cfrac {J} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial t ^ {2}}} - {\ cfrac {EI} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial x ^ {2}}}}$

Amortecimento

Se, além das forças axiais, assumirmos uma força de amortecimento que é proporcional à velocidade com a forma

${\ displaystyle \ eta (x) ~ {\ cfrac {\ partial w} {\ partial t}}}$

as equações governantes acopladas para um feixe de Timoshenko assumem a forma

${\ displaystyle m {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial t ^ {2}}} + \ eta (x) ~ {\ cfrac {\ partial w} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [\ kappa AG \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial x}} - \ varphi \ right) \ right] + q (x, t) }$

${\ displaystyle J {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial t ^ {2}}} = N {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial } {\ partial x}} \ left (EI {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}} \ right) + \ kappa AG \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial x}} - \ varphi \ right)}$

e a equação combinada torna-se

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} EI ~ {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} & + N ~ {\ cfrac {\ partial ^ {2} w} { \ parcial x ^ {2}}} + m ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} w} {\ parcial t ^ {2}}} - \ left (J + {\ cfrac {mEI} {\ kappa AG} } \ right) ~ {\ cfrac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial t ^ {2}}} + {\ cfrac {mJ} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {4} w} {\ parcial t ^ {4}}} + {\ cfrac {J \ eta (x)} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {3} w } {\ parcial t ^ {3}}} \\ & - {\ cfrac {EI} {\ kappa AG}} ~ {\ cfrac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} \ esquerda (\ eta (x) {\ cfrac {\ parcial w} {\ parcial t}} \ direita) + \ eta (x) {\ cfrac {\ parcial w} {\ parcial t}} = q + {\ cfrac { J} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ partial ^ {2} q} {\ partial t ^ {2}}} - {\ cfrac {EI} {\ kappa AG}} ~ {\ frac {\ parcial ^ {2} q} {\ parcial x ^ {2}}} \ end {alinhado}}}$

Uma advertência a esta força de amortecimento Ansatz (semelhante à viscosidade) é que, enquanto a viscosidade leva a uma taxa de amortecimento dependente da frequência e independente da amplitude das oscilações do feixe, as taxas de amortecimento medidas empiricamente são insensíveis à frequência, mas dependem da amplitude da deflexão do feixe .

Coeficiente de cisalhamento

A determinação do coeficiente de cisalhamento não é simples (nem os valores determinados são amplamente aceitos, ou seja, há mais de uma resposta); geralmente deve satisfazer:

${\ displaystyle \ int _ {A} \ tau dA = \ kappa AG (\ varphi - {\ frac {\ parcial w} {\ parcial x}})}$ .

O coeficiente de cisalhamento depende do coeficiente de Poisson . As tentativas de fornecer expressões precisas foram feitas por muitos cientistas, incluindo Stephen Timoshenko , Raymond D. Mindlin , GR Cowper, NG Stephen, JR Hutchinson etc. (veja também a derivação da teoria do feixe de Timoshenko como uma teoria do feixe refinada baseada na variação -método assintótico no livro de Khanh C. Le levando a diferentes coeficientes de cisalhamento nos casos estático e dinâmico). Na prática da engenharia, as expressões de Stephen Timoshenko são suficientes na maioria dos casos. Em 1975, Kaneko publicou uma excelente revisão dos estudos do coeficiente de cisalhamento. Mais recentemente, novos dados experimentais mostram que o coeficiente de cisalhamento está subestimado.

De acordo com Cowper (1966) para seções transversais retangulares sólidas,

${\ displaystyle \ kappa = {\ cfrac {10 (1+ \ nu)} {12 + 11 \ nu}}}$

e para seções transversais circulares sólidas,

${\ displaystyle \ kappa = {\ cfrac {6 (1+ \ nu)} {7 + 6 \ nu}}}$

onde está o coeficiente de Poisson. ${\ displaystyle \ nu}$

Veja também

• Teoria das placas
• Teoria sanduíche

Referências